II. — Applications diverses

M. Formule de Fourier. — Les résultats obtenus jusqu'ici sont relatifs à la convergence de l'intégrale 7tS„

sin(2/i-+- i)-

2 sin

quand /i augmente indéfiniment. Nous avons vu que la limite de cette intégrale restait la même quand on l'étend de P à y au lieu de l'étendre de a à arc + a, pourvu que Ton ait p < x < y < P -h 27:. Il existe toute une classe de fonctions ©(/', 8) des deux variables n et 8 qui jouissent des propriétés suivantes : i° pour une certaine valeur x de 8 la fonction o(/î, 9) croît indéfiniment

ç(fl, 6) rf6 tend vers zéro avec n pourvu que x n'ap-

pardonne pas à l'intervalle (P, y); 3° au contraire cette intégrale tend vers une limite déterminée et non nulle quand n croît, si x est intérieur à l'intervalle (P, y); cette limite est alors évidemment indépendante de p et y. Ces intégrales ont reçu le nom d7/i/ég raies singulières; dans beaucoup de cas on peut démontrer qu'une intégrale est singulière et rechercher sa limite en utilisant des raisonnements analogues à ceux qui ont servi à l'étude de Fintégrale singulière itS„.

C'est d'ailleurs toujours par l'emploi des méthodes qui conviennent au cas de tcS /# et, en particulier, par l'emploi des théorèmes de la moyenne qu'on a étudié les intégrales singulières plus générales. Le principal intérêt d'une telle étude c'est qu'elle permet de démontrer du même coup la possibilité de développer une fonction en série de Fourier et en d'autres séries particulières comme celles dont les termes sont des polynômes de Legendre ('). Je vais me

(*) On pourra consulter à ce sujet l'Ouvrage déjà cité de M. Dini : Série de Fourier e altra reprezentazioni, etc.. et le Tome II du Cours d'Analyse de M. Jordan.

contenter ici d'étudier l'intégrale de Fourier très voisine de l'intégrale tcS w . On a

f /(0)sin/i(a? — 0)cot"

/(0)cos/i(# — 9)û?0; a

du théorème de Rieman, sur la limite des modules des coefficients des séries de Fourier, il résulte que la dernière intégrale de l'égalité précédente tend vers zéro quand n croît. Par suite, s'il s'agit d'une fonction /n'ayant que des points de discontinuité de première espèce et dont la série de Fourier est convergente, on a

lim f

/(6)sin/i(^ — 0)cot — — dO = ~ \f(x ■+- o) -h /(a? — o)].

Supposons en particulier que f soit à variation bornée ; alors il

en est de même de __l tang et l'on peut appliquer à cette

fonction la formule précédente, ce qui donne

Jim f

/^sin/i(#— 0)rf0 = *[/0-4-o)+./0— °)J-

Jusqu'ici nous avons supposé que/(6) était de période 2tc et alors le choix de a importait peu; si/ (6) n'a pas la période 27i il faut prendre a de telle manière que x soit intérieur à (a, 2ir -+- a). Pour rendre fixes les limites de notre intégrale remarquons que, si j /(6) | existe et a une intégrale dans ( — oo, H- oo) ( * ), on a

tlZ-hOL

-Ul.^ sinw(a; ~ 6)rfe h^X" l/(e)|d6;

pour p>>2 7r-|-a la première intégrale du second membre tend

(') L'intégrale dans un intervalle infini se définit comme dans un intervalle fini, de sorte que / n'a une intégrale que si |/| en a une.

CHAPITRK III.

vers zéro quand n croît, car x est extérieur à (au 4- a, jï); d'autre part on peut prendre (3 assez grand pour que la seconde intégrale du second membre soit aussi petite que l'on veut; donc l'intégrale du premier membre tend vers zéro quand n croît.

On peut raisonner de même pour l'intégrale étendue de — oo à a ; cela nous donne le résultat suivant :

Si /(ô) est à variation bornée clans ( — oo, H-oo) et si

I |/(S) | d§ a un sens, on a, en tout point régulier,

lim f I^si n/l (x--b)d<) = -[f(x-i-o)-hf(x--o)].

Cette formule est connue sous le nom de formule de Fourier. Il serait facile, bien entendu, de la démontrer dans des cas plus généraux et de la démontrer directement; il serait facile aussi d'étudier la convergence uniforme, quand n croît, de Y intégrale de Fourier qui figure au premier membre de la formule.

Fourier a obtenu sa formule sous une autre forme qu'il est intéressant de connaître: je ne la démontrerai que dans le cas

très simple où / \f(^)\d§ a un sens et où il n existe qu'un

* - « nombre fini de points en lesquels /(0) cesse de croître pour

décroître, ou inversement; on supposera de plus comme plus haut

que /* n'a que des points réguliers.

Remarquons que Ton a

: — = I cosv(x — 8Wv,

sin/i(x — 0)

de sorte qu'on peut écrire l'intégrale de Fourier F„ sous la forme

*+- r * F«= / / y\0)cosv(.r— 0)rfvc/8

= lim / / /(6^cosv(x — 6)<ttrfv.

Donnons à v une valeur quelconque, l'intégrale

a une limite poup» a = oo qui est / /(6) cosv(.r — 6)û?8«tla

différence entre l'intégrale et sa limite est bornée, quels que soient a et v; nous sommes donc dans un cas (n° 12) où Ton a

I ! /(O)cosv(x — 0)^6 <fv

/ /(8)cosv(# — 0)rf8 rfv.

Remplaçons maintenant la variable discontinue /i, par une variable continue qu'on notera n + ^,(5<i);ona

F /l+s — F„ = f f /(6)cos(n-*-v)(a? — 8)rf8rfv.

*/ «^— oo

Partageons l'intégrale de — oo à 4- oo, qui figure dans cette formule, en des intégrales prises respectivement de — oo à — a, de — a k -f- a, de « à + oo. On peut faire en sorte que la première et la troisième aient une somme inférieure à P en valeur absolue.

M Quant à l'intégrale de — a à -h a. elle est de l'ordre de >

M étant fixe (n° 27). Donc, puisque z est inférieur à i ,

P peut être pris à volonté, M est indépendant de <?, donc F„ +z et F,j ont la même limite. Par suite : dans les conditions indiquées on a, jjl étant positif quelconque ,

-[/(* + *)+/(* — °)1= ,im / / /(O)cosvO — 8)</8rfv (i).

(*) On écrit généralement le second membre sous la forme f f /(8)cosv(a?--ô)tf8tfv,

mais, avec les conventions adoptées ici, du fait que / ©(v)d'v a une limite

Jfi CfUHITRe III.

Vi. Formula somntatoires. — On a vu que l'intégrale »in(2/i -H i)

»«- / , ,; /( 9 > rfe

j» sin

imiil, pour // :», une limite indépendante de l'intervalle auquel ou IVlend, pourvu cependant que cet intervalle et la fonction /( 9 ) *iiti»f<i*H<*nt a certaines conditions. Dans ce qui suit, on va supposer, ci 1 qui sera bien suffisamment général, /(8) à variation bornée, niais on ne supposera plus/(8) périodique. Quelle est la limite de l M , si on étend cette intégrale à l'intervalle (A, B)?

Ton! d'abord on peut toujours supposer B — A multiple de 2tc, car, si cela n'était pas, et si B f — A était un multiple de air, H, étant supérieur ù B, on pourrait étendre I» de A à B,, à condition de faire/(0)=^o dans (B, B,). Ceci posé, partageons (A, B) eu t Ai A \ % kn) % { A -f- att, V + 4^0, . . . et appliquons à chacun de ee* intervalles les résultats trouvés, nous obtenons

Km 1 »- /^i)+/l^i+.— J[»/lA) + ?/(B)],

%*V v*v , « , étant les \ «leurs congrues à x suivant le module 2tc et intérieures à ^ \* BV a ^ou Jï > étant égal à i ou o suivant que A (ou B) est ou non congru ù x suivant le modules. Si l'on remarque que

- U est I» somme des h premiers termes d'une série analogue à la

série de Fourier* on a* en désignant par S la somme figurant au second membre de l» formule précédente»

\pi*U\juou> cette formule au cas où V = o. R=: j wt^ puis faisons

le changement de variable qui remplace — par » nous aurons,

pour x = a,

-hf(a-i- n — ia>) -h -/(a+nw)= S, S-^/(0*H-i2jTV(Oco.-^l£>*;

cest la formule somma toire de Poisson.

Cette formule est employée au calcul de S ou au calcul de Terreur commise en prenant wS pour valeur approchée de Tintera

grale / f(t)dt) aussi est-il utile de pouvoir apprécier Tordre de

grandeur des termes de la série du second membre. Ces termes sont analogues à ceux d'une série de Fourier, on aura leur ordre de grandeur par les procédés indiqués précédemment (n° 27).

Admettons, en particulier, que f ait des dérivées continues, au moins jusqu'à Tordre im\ alors chaque terme pourra être transformé par des intégrations par parties successives et Ton utilisera des égalités telles que la suivante :

t ) cos xp TZ - dt

En posant

où B a est le a ième nombre de Bernoulli, nous trouvons

S Ijf*/(0*

-+- (- i)'«-' Y îm [/>»'«-'; (b) — /i*'»-D a] (o«'« -t- (—1)'» R„

et

« If

C'est la formule sommatoire d'Eulèr et Maclaurin. Pour l'appliquer, il est bon de remarquer que l'on a

|R,„|<Y 2m io*'« / |/»*»(Ol«a

de sorte que, quand f(' lm î a un signe constant, le reste R m est au plus égal, en valeur absolue, au dernier ternie régulier conservé.

La formule d'Euler et Maclaurin s'applique facilement dans deux cas : quand y est indéfiniment dérivable et que R m tend vers zéro quand m croît, alors la formule conduit au calcul d'une série convergente; quand cette série existe, mais est divergente, elle peut encore servir au calcul si ses termes commencent à décroître pour croître ensuite, car on obtient alors une valeur approchée de la quantité à calculer en prenant la somme de tous les termes jusqu'au plus petit. Ce procédé, qui n'est légitimé ici que si la dérivée / (amJ correspondant au reste négligé est de signe constant, est employé, comme l'on sait, pour beaucoup de séries divergentes, la série de Stirling par exemple.

L'emploi de la formule sommatoire d'Euler et Maclaurin suppose que l'on a calculé les Y 20t et les B a ; ce calcul peut se faire à l'aide de la formule même. Si l'on y fait /(8) = 8 am , a = o, 6==i, u> = i, on aura une formule de récurrence entre les ni premiers nombres Y 2/w . De cette formule on déduira facilement que les Y et les B sont rationnels.