Sommes de Gauss. — Dirichlet a fait connaître un procédé

de calcul des sommes de Gauss, \* cos^^-, V sin^-^-, qui

utilise la formule de Poisson [Journal de C relie, t. 18 et 21).

Les sommes à calculer constituent la partie réelle et le coefficient de i dans l'expression

S=^/(o)+/(^.7:)4-/(4-)H-...4-/(ï7r=li:)-*-i/(îiiiir),

SERIES DE FOURIKR CONVERGENTES. 8l

où l'on a pris /(0) = e inn . La formule de Poisson s'applique à cette fonction /*, parce qu'elle supplique à sa partie réelle et à sa partie imaginaire; cette formule donne

/iniz if* "L ^2/171 if*

e 2/nr^ f . 2 V / e 2mz cos ptdt.

'™ 1 Jq

Supposons d'abord n multiple de 4> auquel cas e 2 ==i, ce qui permet d'écrire

, 2/iTT it* /t 2nTZ if*

I e*™ cospt dt=l e* 7 ** ( e'P* -h e-*>< ) dt

J / ,2n7T i v , /ȔnU i , s ,,

f <?*** ' dt-h I e*»* r t

~l/>H-2)n7t i q, ~(—p+l)nlz i A»

La somme S^ des /? -+- i premiers termes de la formule de Poisson peut donc s'écrire

~\p + i)nn #0* ~(p + \)nTZ i6»

J—pmz J—(p + \)mz

Or, en posant = £, on a

ûfc

J-h 2 Wo V* ^o /*

si donc on pose

*—dt = i (i), yt

(') Pour démontrer l'existence de la limite, il suffit de démontrer l'existence

. •• • /* A cost ,, r A s\nt . . ,, , i j i

de limites pour / — — dt et / — — - dt; si Ion s'occupe, par exemple, de la

seconde intégrale, on vérifiera facilement que la série

Jq yt «Ar y* J<ltz sjt

est à termes alternés, indéfiniment et constamment décroissants en valeur absolue. L. 6

on a

•21: S = limS ; , = 1% /*«/iir, S =1/ — *"

Pour n = 4 7 par un calcul direct onaS = 2(i4-t); d'où a, puis la formule générale qui donne S,

Pour passer au cas où /i n'est pas multiple de 4 > posons a\ec Dirichlet

* -0 m et n entiers, /? positif. Remarquons que Ton a

i° f(m', /i) = f(ni, /i) si m'==m (mod/t).

On a encore, si c est premier avec /1,

en effet, les restes des divisions — (s = o, 1 , . . ., /i — 1) étant tous

différents, sont égaux à o, 1 , . . ., n — 1 . Les termes qui composent les deux membres sont donc les mêmes, à Tordre près. Enfin, si m et n sont positifs et premiers entre eux, on a

3° o(m, /i)cp(n, /n) = <p(i, m/i)-!

en effet, le premier membre est égal à