I. - KxiHTKNCK DK SERIES DE FoUIUER DIVERGENTES

it, luremple de fonction continue dont la série de Fourier ne cons x crpe pas partout. — Paul du Bois-Reymond réussit le premier a construire des fonctions continues dont la série de Fourier m» converge pus partout (M.

I /étude du très remarquable Mémoire de Paul du Bois-Reymond doit être recommandée à tous ceux qui veulent approfondir les que*tiou* relut i\ es a la eomergence et à la dixergence des séries de Fourier» Du Bois-Reymond y introduit une notion que nous n ? a\ons pan eu Poecusion d'utiliser : la notion de type d*infinitude d J une Jonction fyt^ </ui croit indê/initncnt acer t ( x *).

Pour les fonctions continues qu'étudie du Bois-Reymond, fonctions toutes spéciales et formées par un procédé très particulier il e*t \i\Hx c'est par la comparaison de types d % intinitudes qu on peut dévider de la conxergence ou de la divergence. Il y a là un fait dont de\i\*nl >ans doute tenir compte ceux qui \oudraient essaTer d obtenir des conditions de di\ergenee des séries de Fourier.

le ne donnerai pa> ici les fonctions à séries de Fourier divergente^ construites par P. vlu Bots-Revmond: leur définition et leur étude MUtl a<sc* cv»mplivjuees. IV l exemple général de du Bois— Ueviuoudx XL Schwar* a doduit un exemple plus particulier et plus

\ Ml. îW *

SÉRIES DK FOURIKR QUKLCONQUES. 85

simple qu'il a fait connaître dans ses Cours et qu'on trouvera dans la Notice de M. Arnold Sachse déjà citée (n° 15).

Voici un exemple un peu plus simple que celui de M. Schwarz duquel d'ailleurs il diffère peu.

Soient Cj, c 2 ... des nombres tendant vers zéro; soient /i , /i|, /i 2 , . . . des entiers impairs croissant indéfiniment, posons

a(k) = /i /ii/is/i3. • ./i/o

et désignons par I* l'intervalle — —. > -*^j- • Définissons une

fonction continue par la condition que l'on ait f(œ)=f( — x) et,

dans 1*, en conservant les relations des n os 33 et suivants,

/ x . r , , x ï sin t

*(t) = c,<sii\[a(k)t] — .

/{x) est ainsi entièrement déterminée pour x assez petit, on la définira ailleurs par la condition qu'elle soit partout continue et de période 2 7t. Pour cette fonction, on a

f* <p(nsin(a/i -+- \)t , ~ / sin t

TCS W = /

V 1 r sin (2/1 -4- i )t sin \a(k)t] , = e„-h y^Ck j y - L * dt,

i , il-* a(k ) — i £,, tendant vers zéro avec - • raisons n = =. v*.

7uS Vfc = ÊVfc-^- / «/il

■» ti ( k

' o{t) sin \a( k )t] ■

"sin[rt( k)t]s\n[a(p)t]

dt.

La première intégrale tend vers zéro quand k croît, c'est le résultat d'un calcul déjà fait; étudions les autres. Pour p^ék, on a

Pour p = Xr, on a

I /' cos[2a(X:)0

d'après l'inégalité du n° 25.

Donc, on a, ti* n'augmentant pas indéfiniment avec £,

P =k-i *|S Vfc |^ \c k \ lln k — ^ I^K.A^-hii*.

Si donc on fait en sorte que

^k A -K"A— ^ I c pI-C"/>

augmente indéfiniment avec k, la série de Fourier de f sera divergente pour t = o. Or cette condition est facile à réaliser; on pourra prendre, par exemple,

|c*|-Oa=4*P, c k = ^, d'où n A =(eP)»*.

Pour P = 4^3, /ia= 3 8/r sera bien impair.

45. Remarques sur la convergence des séries de Fourier. — On peut rattacher l'existence de séries de Fourier divergentes à une remarque immédiate qu'on peut énoncer ainsi :

La limite supérieure Mp(n.)de la valeur absolue des (n-\-i) ièmes sommes S„ des séries de Fourier des /onctions f(x), telles que Von ait constamment |/|£M, croit indéfiniment avec n.

On a en eflfet

1C , il /* 7C sin(-2Ai-hi)* -

|S„|=- / \ f(x + 2t)dt

cette limite Mo(ai) est atteinte quand f(oc-{- it) est la fonction discontinue /1 égale à dz M et de même signe que ! — • Il

résulte de là qu'on peut s'approcher autant qu'on le veut de cette limite en prenant pour f des fonctions continues comprises entre ±Met tendant vers/', (n° 12); on peut d'ailleurs supposer que ces fonctions f sont à variation bornée et sont des fonctions paires comme /,, c'est-à-dire telles que f(x-ht)=f(x — t). Reste à étudier p(n).

Considérons les intervalles dans lesquels |sin(2/i -h i)*| surpasse -• TtTT-^ » tc T-r- : est un tel intervalle: sa contri-

r 2 [ b(in-hi) b(in-hi)] '

bution dans o n est supérieure à

^J 61» -i 2 t nz^-bp -4- i '27r^\ 6p -+■ I /

p, t est donc supérieure à la somme des 2/1 -+- 1 premiers termes de la série dont le terme général est

H 27T^\ bp-\-l/

Or cette série est divergente, car p u p tend vers la limite % - quand p croit, donc p« croît indéfiniment avec n.

A cette remarque j'en ajoute une autre qui ne diffère d'ailleurs pas du premier théorème du n° 34.

Si Von a constamment \ f | <M et si, dans (x — A, x -+- A), on a f= o, on peut tracer pour |S ;/ (^ )| u ^ e limite supérieure de la forme MR(A).

En effet, dans ces conditions, on a