Autre exemple de série de Fourier divergente. — Je pose

f(.v) = s,/, (n t x) -h ZifiiriiX) -h z 3 f z (n 3 x)-*-...

= F />(^) -*-s/m-i //^-hi(/i/>-»-i^)-i-. .. ;

dans cette expression les e/ sont positifs et la série N e, est convergente et de somme inférieure à i, les fonctions // sont des fonctions de période ait, continues, paires, à variation bornée et inférieures à i en valeur absolue. De plus, l'une au moins des sommes de la série de Fourier de £///(/) doit, pour t = o, surpasser i -+- i quand on la prend en valeur absolue ; soit pi l'indice d'une telle somme. Quant à /?/, c'est le plus petit des indices des sommes de la série de Fourier uniformément convergente de F/,, à partir duquel ces sommes, prises en valeur absolue, ne surpassent pas i . Dans ces conditions, il est évident que f est continue et de période 27: et que, pour x = o, la somme d'indice ni pi de la série de Fourier de /, qui est égale à la somme correspondante de F/, a une valeur absolue supérieure à i. La série de Fourier de f diverge pour x = o.

47. Existence de fonctions continues représentâmes par leurs séries de Fourier non uniformément convergentes. — Considérons des valeurs a = Tz, a { , a 2 , ... positives, décroissantes et tendant vers zéro. l p désignera l'intervalle (a 2p , a>i P -\ ), oc p sera son milieu, ih p sa longueur. f P {oo) sera une fonction de période 2tt, continue, à variation bornée, et telle que l'on ait \pf P \ <i. De plus, en x p , l'une des sommes, prise en valeur absolue, de la série de Fourier de f p surpassera p -\-~R(h p ) (n° io); soit p p l'indice d'une telle somme. Alors, si f(x) est une fonction impaire, continue, de période an, à variation bornée sauf autour de x = o, et, quel que soit /?, égale à f p dans l p , sa série de Fourier converge partout, même à l'origine puisque cette série ne contient que des sinus. Cependant cette série n'est pas uniformément convergente autour de x = o, puisqu'en x p la somme d'indice \x p de cette série surpasse p quand on la prend en valeur absolue, d'après le second énoncé du n° 4o (' ).

Nous venons de construire des fonctions présentant une certaine singularité à l'origine : à l'aide de séries construites à partir

(') Les raisonnements qui précèdent peuvent être utilisés pour l'étude de développements plus généraux que les séries de Fourier (voir H. Lebksgue, Comptes rendus, 17 novembre 1905).

de ces fonctions nous pourrions obtenir de nouvelles fonctions pour lesquelles la singularité considérée se présenterait pour tous les points de certains ensembles. Mais il paraît plus difficile de savoir si l'on peut faire en sorte que la singularité considérée se présente partout, c'est-à-dire de répondre à ces questions : Existel-il des fonctions continues dont la série de Fourier est divergente partout? Existe-t-il des fonctions continues dont la série de Fourier est partout convergente, sans être uniformément convergente dans aucun intervalle ( ' )?

Je signale une autre question analogue : on a vu qu'il existait des fonctions sommables, non intégrables au sens de Riemann dans (o, 2 11) et qui sont représentables partout par leurs séries de Fourier convergentes; existe-t-il de telles fonctions qui ne soient intégrables au sens de Riemann dans aucun intervalle?