II. — Sommation des séries de Fourier divergentes

48. Procédé de Poisson. — A l'époque de Poisson, contemporain de Fourier, la convergence des séries de Fourier n'était pas démontrée; de plus, on ne distinguait pas encore soigneusement les séries de Fourier des autres séries trigonométriques et il arrivait fréquemment qu'un calcul analytique conduisait à une série trigonométrique divergente. C'est ainsi que, si l'on dérive terme à terme l'égalité

t. — x x^ s ' n nx

on obtient l'égalité toute formelle

= ^ cosn.r,

dans laquelle le second membre est une série divergente (n° 21).

(*) Dans une Note des Comptes rendus (29 décembre 1902) M. Slekloff a indiqué que la réponse à 1h première de ces questions étail, pour lui, négative. La démonstration de cette propriété n'a pas encore été publiée et les renseignements que contient la Note citée sont insuffisants, à* ce qu'il me semble, pour permettre la reconstitution de cette démonstration.

De sorte que, ou bien il fallait renoncer à l'emploi de ces séries divergentes simples bien qu'elles n'aient jamais trompé dans les cas où on les avait employées : c'est le parti qu'on a pris généralement à la suite de Cauchy et d'Abel; ou bien il fallait adopter un procédé de sommation des séries autre que le procédé ordinaire : c'est le parti que prit Poisson.

Pour sommer la série

-a -h ^ (a H cosnx h- b n s'innx),

Poisson considère la fonction

/(r, x) = - a +\r"(a„ cosnx -h b„ sinax),

qui existe, pour /<i, dans tous les cas qu'il considère, et il convient que la somme de la série pour x = x {) sera, par définition,

f(x Q )= lim/(r, x ) (*).

S'il s'agit d'une série de Fourier, /(r, x) existera toujours pour /• < 1 . Les considérations du Chapitre H montrent que le procédé de Poisson permet de remonter de la série de Fourier à la fonction correspondante, en tous les points réguliers de cette fonction, s'il s'agit d'une fonction bornée n'ayant qu'un nombre fini de discontinuités (n" 31 ). M. Schwarz, auquel est due la démonstration rigoureuse de ce résultat, l'a étendu à des cas plus généraux.

49. Procédé de Riemann. — Admettons une propriété qui va être bientôt démontrée (n° o3) : toute série de Fourier est inlé-

grable terme à terme. L'intégrale F(x) = f /(x) dx de la fonc-

tion somma ble /(x) sera donc égale à

F(x) = -a x +7 -[a n sinnx — b n (cosnx — i)J, les a n et b n étant les coefficients de la série de Fourier de/". (») Journal de l'École Polytechnique, 18 e Cahier.

Or, quand on connaît F (#), on en déduit /(#), en tout point où /est la dérivée de F, c'est-à-dire en tous les points sauf en ceux d'un ensemble de mesure nulle (n° H), par l'emploi de formules telles que

r , x .. F(x-hh)—F(x) ,, , .. Y(x -H h) — F (a?— h)

L'emploi de la seconde formule est préférable, parce qu'elle permet de calculer/ en tous ses points réguliers. Avec cette formule, on a

a x i- r * v^sinn/i, , 1 ,.

/(x) = lim -a -f- > 7— (a n cos n x -h b n %\wnx) = Iim p^,

en tous les points où notre procédé de sommation s'applique. Précisons quels sont ces points : ce sont d'abord ceux déjà nommés pour lesquels /est la dérivée de F; mais ce sont aussi les points x tels que la fonction de A, f(x -+- h) -+-f(x — h) — if{x), qui est nulle pour h nul, soit la dérivée de son intégrale indéfinie. Si

l'on se rappelle que cette fonction a été désignée par cp ( - U on

pourra conclure que le procédé de sommation qui vient d'être indiqué peut être appliqué en tous les points tels que l'intégrale indéfinie de ©(/) a une dérivée nulle pour t=o, et en particulier pour tous les points réguliers de la fonction f et en tous ceux où f est la dérivée de son intégrale indéfinie, La série

?i (^) -+- rpi(^) — pi(^)] -+- rpi(^) — Pi(aoi -*-• • •

fournit donc une représentation analytique de la fonction f{x) valable partout, sauf pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle. Comme on peut écrire cette représentation dès que l'on connaît la série de Fourier de /, il en résulte qu'une fonction est déterminée, sauf pour un ensemble de valeurs démesure nulle, par sa série de Fourier (n° 24).

La série qui représente F(^) est uniformément convergente (n° 53), donc on a, si §{x) est l'intégrale de F(.r) étendue de o à x,

J(#) = T a # 2 -t-^ I ; (#» cos/ia? -f- 6 /t sin/u?) -i — ^ H -x .

Or (n°6)/(#) est la limite, pour h = o, de

en tous les points où s'applique le procédé de sommation; donc nous pouvons remplacer dans nos énoncés p^ par

&/i(x) = - a — z^\ £— ) (a n cosnx -h 6 n s\nnx).

Ce nouveau procédé de sommation est celui qu'a indiqué Riemann. A la vérité, Riemann ne se proposait pas, comme le faisait Poisson, de sommer des séries trigonométriques divergentes, mais il a démontré, comme on le fera plus loin (n° 58), que ce procédé peut remplacer le procédé de sommation ordinaire partout où celui-ci s'applique, et c'est à l'étude de ce procédé de sommation, plus simple à plusieurs égards que le procédé ordinaire, qu'il a consacré son célèbre Mémoire Sur la possibilité de représenter une fonction par une série tri go nomé trique.

Il faut observer que si /est toujours compris entre m et M il en est de même des rapports

F(x-hh) — ¥{x— h) £(*?-+- h) -{-rj(x — h) — oJ(x) p * = ÏÂ ' Ah= W '

puisque F et -T s'obtiennent en intégrant une et deux fois la fonction f (n" 11). De plus, pour la même raison, si f est compris entre m et M dans (a — h , A -h A ), pA et &h sont encore compris entre m et M, pour h < A . Donc p^ etM/i sont toujours compris entre les limites inférieure et supérieure de f et ils tendent uniformément vers f dans tout intervalle (a, (3) où f est continue; car, si f est d'oscillation au plus égale à e dans tout intervalle de longueur 2A intérieur à (a — A , b -+- A ), pour A < A les quantités p/ t et R/, diffèrent de/ au plus de e, dans (#, b).

50. Procédé de M. Fejér. — Les deux procédés du numéro précédent rentrent comme cas particulier dans les procédés généraux de sommation des séries divergentes que M. Borel puis

SERIES DE FOURIER QUELCONQUES. g3

M. Mittag-Leffler ont employés récemment pour l'étude des séries entières. On sait que ces procédés conduisent à attribuer à la série

Uo-h «1 + Mj + ...

une somme définie ainsi : considérons la série

les coefficients ai (h) tendant vers zéro quand * croît pour A différant d'une certaine valeur singulière, o par exemple, et se réduisant tous à i quand h a cette valeur singulière. Si les ai(h) sont convenablement choisis, cette série sera convergente. La limite, que je suppose existante, vers laquelle tend sa somme quand h tend vers la valeur singulière est, par définition, la somme de la série proposée. Bien entendu les ai{h) sont assujettis à plus de conditions que je n'en ai énoncées, le plus souvent ces coefficients sont entièrement déterminés; quant au paramètre h il est pris continu ou discontinu suivant les cas ( l ).

L'exemple le plus simple de ces procédés de sommation, celui qui est le plus ancien, c'est le procédé de sommation par la moyenne arithmétique, qui consiste à attribuer comme somme à la série considérée, dont les n -+- i premiers termes ont une somme S,,, la limite pour n = <x>, quand elle existe, des quantités

So+ S|+. . .-f- S w — i ""= n

Ici le paramètre h est discontinu, il est égal à — • Cette méthode a été employée tout d'abord à la sommation de la série o -h cos# -+- cos^a? -+- cos3a? -H. . . ,

que nous avons déjà rencontrée (n° 48). Alors sin(*2/i -+- i)-

'2 sin — •i

( l ) Pour plus de renseignements sur ce sujet, voir, par exemple, les Leçons sur les séries divergentes de M. E. Borel.

ce qui conduit à attribuera la série la somme — -» sauf pour x = o,

cas auquel nos calculs ne s'appliquent pas (d'Alembert, Opuscules math., t. IV, p. 1 56 et suiv.).

M. Fejér a pensé à appliquer cette méthode à toutes les séries de Fourier (Math. Ann., t. LV1I1); alors on a

Sn ~ f ~rJ iî777 * {t)dt \

ZF - 1 /"* /sin/i/\* . .

<!„—/ = / ( — : Q(t)dt.

J ni:J \ smt I rv

Je vais démontrer que la méthode de M. Fejér permet la sommation de la série en tous les points pour lesquels \ ®(t) | est la

dérivée de son intégrale indéfinie $(/)== / \v(t)\dt, pour

t = o, c'est-à-dire en tous les points pour lesquels 4>'(o) = o (*). Faisons d'abord une remarque très simple. On a

So-H Si -h...-»- S,,-! n — p S,,-f- S^-Hi-h.. .-+- S«-i /„^„\

donc si, à partir d'une certaine valeur p de q, tous les S q sont compris entre /« et M il en sera de même de la limite, ou des limites, de v H . En particulier le procédé de sommation par la moyenne arithmétique s'applique toujours quand la série est con- >ergente; il est alors d'accord avec le procédé de sommation ordinaire.

Ceci posé, partageons l'intervalle ( o, - j en (o, a) et (a, ^)- La

contribution de ( *> 7 ) dans t w — J est la moyenne des contributions du même intervalle dans les diflerences S — /, S t — /, . . ., S*.! — f\ or la contribution dans S v — f tend vers zéro avec—* par suite la contribution de ( a. 7 ) dans t w — f tend vers zéro

\ x \ J'ai démontré pour la première fois cette propriété dans un Mémoire Sur lu comvr^ejtœ t/es stries </e Foutïer* paru au\ Math. An*. % t. LXl-La méthode du texte est beaucoup plus simple que celle que j'avais employée tout d'abord.

SÉRIES l)K FOURIER QUELCONQUES. 95

avec -• Il suffit de s'occuper de rnz J \ suif / 4

mzj \ smt } TV rnzj w \ sin* / TV

în+l

En remplaçant — : — par n dans la première intégrale et par dans la seconde, on trouve

M Utt) «'>*

ttlt sin -

Si, dans (o, a), on a constamment $(*)<8/, la plus grande des

limites, pour /i = oo, est au plus -8 H j8a; et, comme on peut

prendre 8 aussi petit que l'on veut, à condition de prendre a assez petit, il est démontré que <j /t — f tend vers zéro quand n croit indéfiniment.

Si /est continue dans (a, 6), y compris a et 6, on pourra, ayant choisi 8 arbitrairement petit, prendre la valeur correspondante de a indépendamment de x dans (a, b) et alors les contributions

de (o, a) et (a, - \ dans <j n — / tendent uniformément vers zéro

quel que soit x dans (a, 6). Cela est évident pour la contribution

de (o, a), et cela résulte pour la contribution de ( a, - J dans <r n — f

de ce que la contribution du même intervalle dans S„ — / tend vers zéro uniformément. Avant de conclure remarquons que, si l'oscillation de f est toujours inférieure à Q, auquel cas | <p | est toujours inférieure à 2Û, on a

rnzj \smt/

Le multiplicateur de Q est ce que devient <x„ — / quand /est partout constante et égale à i sauf au point considéré où f= o; dans ce cas S,, — /et a>, — /sont, quel que soit /*, égaux à i; donc, le multiplicateur de Ù est égal à i et, dans le cas général, | <j, t — / | est au plus égale à Q.

Ainsi, quand n croit, ies quantités <r n tendent vers f en tous les points pour lesquels 4>'(o) = o ; cr„ est bornée, quelque soit n, si f est bornée; <r n tend uniformément vers f dans tout intervalle où f est continue.

Or, pour que <J>'(o) = o, il faut que, pour t = o, | 'f (*) | soit la dérivée de son intégrale indéfinie et, puisque l'on a

<?{t)=[f(x->r<lt)-f{x)\+-[f(x-lt)-f(x)],

cela sera réalisé en particulier quand \f(x + 2t) — /(#) | et \/(x — 2t) — f{ x )\ seront, pour t = o, les dérivées de leurs intégrales indéfinies, c'est-à-dire quand |/(X) — /(a?) |, considérée comme fonction de X, sera, pour X = x, la dérivée de son intégrale indéfinie. Or nous savons (n" 11) que cette condition est réalisée pour tous les points sauf peut-être pour ceux d'un ensemble de mesure nulle ; les sommes 37, ont donc des propriétés entièrement analogues aux sommes p^ et ^a-

51. Nature de la divergence des séries de Fourier. — Je laisse de côté le procédé de Poisson, très peu étudié ici, et pour l'examen duquel on pourrait d'ailleurs utiliser les résultats des deux autres procédés (*). Ces deux procédés, et tous ceux qu'on peut déduire des procédés généraux de sommation de M. Borel (voir le § 2 du Mémoire de M. Fejér), fournissent des résultats équivalents.

Tous ces procédés montrent qu'une fonction / sommable est déterminée par sa série de Fourier et fournissent une représentation analytique de /, comme il a été dit au n° 49. Tous permettent de démontrer le théorème de Weierstrass sur la représentation

(') Voir, au sujet du procédé de Poisson, un Mémoire de M. P. Fatou qui paraîtra dans les Acta mathematica.

approchée des fonctions d'une manière analogue à celle employée au n° 29(«).

Le procédé de M. Fejér est particulièrement commode pour l'approximation des fonctions parce que les quantités a*,/ auxquelles il conduit sont des suites finies de Fourier et non des séries; nous l'utiliserons de préférence aux autres, sauf dans le Chapitre V consacré à l'étude du procédé de sommation de Riemann.

Voici des conséquences évidentes de nos résultats :

Une série de Fourier ne peut être convergente en un point de continuité x de f(x) sans converger vers f(x ), ni en un point de discontinuité de première espèce x t sans converger

vers ~[f(x t — o) -\-f(x t -h o)], puisque o" w (^ ) &*n{x\) tendent

vers ces valeurs.

Lorsqu } une série de Fourier est divergente en un point de continuité x ou en un point de discontinuité de première espèce x K la plus petite et la plus grande des limites des sommes successives de cette série contiennent toujours entre

elles f(x ) ou [f(x t — o) — f{x\ H- o)], sans cela <r rt , dont la

limite est comprise entre ces plus petite et plus grande limites, ne

tendrait pas vers f(x ) ou -[/(*£< — o) — f{%\ -h o)]. Les points

de divergence sont donc, en x et# l7 des points d'indétermination de la série et non pas des points où les sommes successives tendent vers -4- 00 ou vers — oo. Il en est d'ailleurs presque toujours ainsi. On a, en effet, en appelant L la limite supérieure de /,

(!) Lorsqu'on utilise de la même manière le procédé de Poisson, supposé légitimé par le raisonnement de M. Schwarz et non par celui du n° 31, on a la démonstration du théorème de Weiersirass qu'a fait connaître M. Picard ( Traité d'Analyse, t. I).

dans le dernier membre, le multiplicateur de L est ce que devient i n quand f{§) est constante et égale à i , donc ce multiplicateur égale i. De ce raisonnement et d'un raisonnement analogue on déduit que <x w est comprise entre les limites inférieure et supérieure de /.

Supposons maintenant que f soit comprise entre / et L quand on ne s'occupe que de (x — h, x -\- A), alors, en modifiant f à l'extérieur de cet intervalle de façon qu'elle soit partout comprise entre / et L, on ne modifie <r,i(x) que d'une quantité qui tend vers zéro quand n croît, donc : les limites inférieure et supérieure de la fonction f au point x 2 comprennent entre elles toutes les limites vers lesquelles tendent <T n (x 2 ) quand n croit indéfiniment. Par suite, l'intervalle, qui a pour origine et pour extrémité la plus petite et la plus grande des limites des sommes successives y pour x = x 2 , de la série de Fourier de f(x), a toujours au moins un point commun avec V intervalle qui a pour origine et pour extrémité la limite inférieure et la limite supérieure de f au point x«.