III. — Opérations sur les séries de Fourier

52. Multiplication. — Pour pouvoir utiliser une série ir ne suffit pas de savoir lui attribuer une somme, il faut encore savoir effectuer sur elle certaines opérations simples.

Il est évident que la série de Fourier de af -h 6/ 2 , a et. 6 étant des constantes, s'obtient par l'addition des séries de Fourier de f et f 2 multipliées respectivement par a et b. Il est plus difficile de former la série de Fourier de f i f 2 = F. Nous poserons

/i~ - a -h 2u^ ap cos P x "•" bp sinpx),

/î~ - *o+T] (*/>cqspx-h $j,sinpT),

F ~ - A -f- \ ( A p cospx -+- B 7 , sinpx);

nous nous bornerons au cas où f etf 2 sont bornées ce qui permet d'affirmer que F a une série de Fourier si f et f 2 en ont une.

Nous avons trouvé des cas où les coefficients a,, £/, a,-, (î/ forment des suites absolument convergentes, n° 28; alors les séries représentant j\ et / 2 sont absolument convergentes, on peut les multiplier terme à terme, remplacer les produits de cosinus ou sinus par des sommes algébriques de cosinus et sinus et grouper les termes ainsi obtenus d'une manière quelconque. Groupons ensemble les termes contenant cospx ou sinpx, nous obtenons, en convenant que a*=a*, £* = — 6*,

A = ^a a -l- - ^ à (a p ct p -h b p $ lt ), P = \

OD

(M) •• A„= - a q ;i -+- - ^ [a,> ( a /M -« -+• «/>-/t ) + &/* ( (W/< H- [iy, -„ )] , (/i^o),

B« = - a P«-t- - ^ [«/*((&/>-*-« — (3,,„) — bj^bp+n— b pn )\. P = \

Ces égalités ne sont jusqu'ici démontrées que si les séries N | a/ 1,

^jI^'I' 2l a 'l' 2lP'l sont conver g entes et en particulier elles sont vraies quand ces séries ne contiennent qu'un nombre fini de termes non nuls, c'est-à-dire quand il s'agit de multiplier deux suites finies de Fourier. Elles sont vraies aussi quand une seule des séries de Fourier à multiplier se réduit à une suite finie; pour le voir il suffira évidemment d'examiner le cas où f 2 se réduit à cospx ou à s'mpx. Supposons, par exemple, / 2 =cos/>;r et examinons seulement l'égalité relative à A w , tous les a et les [3 sont alors nuls sauf ol p qui est égal à i, l'égalité qui donne A w se réduit à

ce qui n'est qu'une autre manière d'écrire l'égalité évidente :

- / /i(Ô)cos/iecos/?6rf0

= ^ f /i(6)cos(/n-/i)0^e-h f / 1 (ô)cos(/? — /i)8<*6 .

Ces remarques faites, il suffira évidemment de démontrer la

première des égalités (M) pour tous les systèmes de deux fonctions bornées et sommables pour avoir le droit de conclure à l'exactitude de toutes les formules (M) pour ces fonctions; car, si l'on applique la première formule (M) aux fonctions f h et / 2 cos/i#, dont on connaît les séries de Fourier, on a la formule qui donne A n et de même, si l'on applique la première formule (M) aux fonctions f % et f 2 sin/i.r, on a la formule qui donne B fi .

Simplifions encore le théorème à démontrer. Dans le cas du produit/,, il se réduit à

•Si cette égalité était démontrée, il suffirait de l'appliquer au calcul de

I (/n-W<» = / f\M + i\ AArfe + X'/ /i m,

X désignant une constante indéterminée, pour en déduire la première des formules (M). En définitive, pour démontrer ces formules (M), il nous suffira de faire voir que, pour toute fonction / bornée et sommable,

f ~ -a -h ^.(ap cospx-+- b,, sin/>:r), on a

(N) i f >(e)dB=IaJ + 2(a«+6«).

Cette formule est exacte, nous le savons, quand il s'agit d'une suite finie de Fourier ; appliquons-la à la somme a n de M. Féjer relative à la fonction /. On trouve

D'ailleurs, /étant bornée, les <r„ sont aussi bornés et, puisque <r* tend vers f 2 partout, sauf pour les points d'un ensemble de mesure

<x* rf8 tend vers / f 2 rf8, quand n augmente

SÉRIES DE POURIER QUELCONQUES. IOI

indéfiniment (n" 12). Par suite l'égalité (N) serait démontrée si Ton convenait d'appliquer au second membre de (N) le procédé de sommation suivant : à la série

on fait correspondre comme somme la limite de

Pour que (N) soit démontrée quand on emploie le procédé ordinaire de sommation des séries, il suffit donc de prouver que le procédé de sommation par les 2„ fournit le même résultat que le procédé ordinaire quand on l'applique à une série à termes positifs, comme celle qui figure dans (N). Or, cela résulte de ce que, quand les u sont positifs, 2„ est au moins égal à la somme de ses p premiers termes, laquelle tend vers la somme des /> premiers termes de la série proposée quand n croît indéfiniment, et de ce que 2„ est au plus égal àa + u t -\-.. .-h «/«.

L'égalité (N) et, par suite, les égalités (M) sont ainsi démontrées pour toutes les fonctions sommables bornées, c'esUà-dire que nous savons éprire la série de Fourier du produit de deux telles fonctions données par leurs séries de Fourier. Ce n'est qu'assez récemment que cette multiplication des séries de Fourier a été légitimée pour toutes les séries correspondant à des fonctions intégrables au sens de Riemann; la métbode qui vient d'être employée pour le cas des fonctions sommables est peu différente de «elle qu'avait utilisée M. Hurwitz pour le cas des fonctions intégrables de Riemann ( ■ ).

11 serait naturel maintenant d'étudier la division des séries de Fourier; on ne connaît que bien peu de choses à ce sujet.

L'idée qui se présente immédiatement à l'esprit consiste à considérer dans les équations (M) les A, B, a et (3 comme connus et les a et b comme inconnus. Le problème est ainsi ramené à la résolution d'une infinité d'équations à une infinité d'inconnues; je me bornerai à renvoyer aux quelques travaux que j'ai cités

( l ) Voir Math. Ann., t. LVII et LIX. On trouvera là des indications bibliographiques concernant la multiplication et l'intégration des séries de Fourier.

IOÎ CHAPITRK IV.

(n° 18) et qui concernent ces systèmes, ainsi qu'à un article de M. P. Appell (Bull, de la Soc. math, de France, t. XIII).

J'indique encore une question qui mériterait d'être étudiée soigneusement : de la convergence des séries de Fourier de f t et/ 2 peut-on conclure, dans des cas étendus, à la convergence de la série de Fourier de/i/ 2 ?