Intégration. — Soit une fonction sommable

y ^ — 1 -+-}( a p cospx -h b fi sin/ja-),

son intégrale F(x) = / f(&) dx, étant à variation bornée (n° 11 ),

Jo est représentable dans (o, irî) par sa série de Fourier uniformément convergente (n° W>), sauf autour de x = o,

F(.r) = — ? -+-^( &p cospx -f- H /t sinpx) (o < x < stc),

avec, pour/? ^ o,

i /- 27r A»= - / F cos pxdx

TtJ

i [„sinpxyK , /.«* . 6

= - I F — <—- / /sin pj dx = '- 9

tt[ p Jo />tcJ ' />

i /* 27t B 7> = - / Fs'mpxdx

i [", cos/>.r~]° i Z* 271 . , «o «/* = - F £— h / fcospxdx = 1 -•

*l P JîTt />*./> /> P

D'où

i? / x A V 1 / bp a p • «o • \

F(x) = — - -+- > ( -cos/># h -smpx s\npx\ .

Faisons x = o ; en tenant compte de F (-h o) = o on trouve

F(+o)+F(îïï — o) iza A ^ &p

d'où A ; et, d'autre part, dans (o, 27t),

2a . a? — ir sinpa?= a î p 2

SÉRIES DU FOURIER QUELCONQUES. lo3

donc on a

F (or) = — x H- X, "" l a p sinp* — bp( cos# — i)];

la série de Fourier de f est donc intégrable terme à terme de o à.r<27c. En soustrayant F(x 2 ) de F(.r 4 ) on verra que la série de Fourier de /est intégrable dans (x%, #0), pourvu que dans cet intervalle ne se trouve aucune valeur congrue à o. Si l'on faisait le changement de variable x = X — a avant le raisonnement, on serait conduit à constater la possibilité d'intégrer la série de Fourier dans (.x 1 ,, x t ) ne contenant pas de valeur congrue à a, c'està-dire, puisque a est quelconque, dans tout intervalle d'étendue moindre que 2?t. En partageant un intervalle quelconque en parties d'étendues moindres que 2*rc, on vérifiera l'énoncé général :

La série de Fourier de f, intégrée ternie à ternie dans un intervalle quelconque, fournit V intégrale de f dans cet intervalle. Si V une des extrémités de cet. intervalle est variable, la série obtenue est uniformément convergente.

54. Dérivation. — Supposons qu'on connaisse la série de Fourier d'une fonction F(.r) partout dérivable, sauf pour x = o, et dont la dérivée est sommable, et proposons-nous de former la série de Fourier de sa dérivée/; ou bien, supposons que F(x) soit l'intégrale indéfinie de/', et proposons-nous de former la série de f. En conservant les notations du numéro précédent, les égalités qui y ont été établies résolvent le problème; seulement, comme on ne suppose plus F(-h o) = o, l'égalité qui nous a servi à calculer A doit être remplacée par la suivante :

F(-+-0) -h F('2TT — O)

d'où l'on tirera

F(aïï-o)-F(+n) aF(+o) A «V*

Supposons que l'on dérive terme à terme la série de Fourier de F, nous obtenons, en tenant compte des relations indiquées,

\ — pA f ,s\npx -hpB p cospx =\ b t , sin/?a?-f- a,, cospa? — a cospx.

Io4 CHAPITRE IV.

En général ce n'est pas une série convergente; en effet, a p tend vers zéro quand p croit, donc, sauf si a = o, le coefficient (a,, — a ) de cospx dans cette série ne tend pas vers zéro, et nous verrons que c'est là une condition de divergence (n°57). La série obtenue ne diffère de la série de Fourier de f que par l'absence du terme constant et par la présence des termes a cospx. Mais, d'après ce qui a été dit au n° 50 sur l'application du procédé de M. Fejer à la série 2cos/?;r, la série obtenue en dérivant la série de Fourier de F est sommable par le procédé de la moyenne arithmétique et représente f en tous les points où la série de Fourier de f serait sommable par le même procédé.

Bien entendu la série obtenue en dérivant la série de Fourier de F pourrait aussi être sommée par le procédé de Riemann, en tout point si f est la dérivée de F, partout sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle si F est l'intégrale indéfinie de /.

Pour que la série de Fourier de F fournisse, par dérivation, la série de Fourier de f\\ faut et il suffit que a =o, c'est-à-dire que F soit périodique, et c'est dans ce cas seulement que la dérivation peut conduire à une série convergente partout.

Ainsi, quand on est dans les meilleures conditions possibles, une série de Fourier dérivée terme à terme conduit à une série de Fourier; intégrée une fois elle conduit en général à une série trigonométrique plus un polynôme du premier degré, intégrée n fois elle conduit à une série trigonométrique plus un polynôme dn n Wme degré. Si donc on veut utiliser les séries de Fourier pour obtenir des développements qu'on puisse dériver ou intégrer indéfiniment terme à terme sans que le développement change de forme il sera naturel d'essayer si l'on ne pourrait pas arriver au résultat désiré par l'emploi de la somme d'une série de Fourier et d'une série entière. En fait M. Borel a démontré que ces sommes convenaient pour la représentation des fonctions indéfiniment dérivantes (*).

(') Voir la Thèse de M. Borel (Annales de l'École Normale, 189a, p. 37) ou le Chapitre IV de ses Leçons sur les fonctions de variables réelles. Dans le Volume cité des Ann. de l'Éc. A'orm. on trouvera aussi un Mémoire de M. M. Lerch : Sur la dérivation d'une classe de séries trigono métriques.

SÉRIES DE FOUR 1ER QUELCONQUES. Io5