IV. — Applications géométriques
55. Théorème de Jean Bernoulli. — Pour appliquer les résultats qu'on vient d'obtenir, je vais démontrer un théorème de Jean Bernoulli par la méthode qu'a employée Poisson dans ce but {Journal de V École Polytechnique, Cahier 18).
Considérons une courbe C ayant des tangentes et supposons que, lorsqu'un point M parcourt C, la tangente en M tourne toujours dans le même sens, ce que nou,s exprimerons en disant que C est convexe (*). Soit AB l'arc de courbe C considéré, nous supposons que la tangente en B fait un angle droit avec la tangente en A. Soit T celle des développantes de C dont le rayon de courbure en A est nul, c'est-à-dire qui passe par A.
J'appelle B, son extrémité. Soit C, celle des développantes de T qui passe par B«, j'appelle A, son extrémité. Soit r< celle des développantes de Ci qui passe par A,, j'appelle B 2 son extrémité, et ainsi de suite. Les points A, A,, A 2 , ... sont sur la normale AX à C en A; les points B, B 4 , B,, ... sont sur la tangente BX' à C en B. AX et BX' sont deux droites parallèles. Nous nous proposons de rechercher si les courbes C/ et les courbes T/, qui s'éloignent indéfiniment entre AXet BX', ne tendraient pas vers une forme limite.
Considérons un point M de C et les points {/. et M< correspondants de T et C|. Désignons par# l'angle aigu de la tangente en M avec BX', par s l'arc BM de C, par r le rayon de courbure de C en M; par x t , s^ r K nous désignons les éléments analogues de C { ; par Ç l'angle aigu de la tangente à F en u, avec AX, par t l'arc Ajjl de T, par p le rayon de courbure de T en jx. Avant d'aller plus loin remarquons qu'on n'introduit aucune hypothèse nouvelle en supposant l'existence de rayons de courbures, car, si C n'en avait pas, Ci en aurait un et il suffirait de faire commencer à C t la suite
( l ) Bien qu'une droite puisse parfois rencontrer C en plus de deux points; c'est ainsi qu'avec la définition du texte un arc quelconque de spirale d'Archimède est convexe. Cette définition est celle qu'a adoptée M. Borel dans sa Géométrie élémentaire, p. 39 et 4*>.
lo6 CHAPITRK IV.
des courbes C. On a
x = Xt, &-*-}; = — > s -+■ p = const., a -»- r t = const.,
ds __ da __
dx~ ~ ''' S? ~ p ;
d'où
d*r x __ d*a \4/ dp ___ d^ __ *£r 2 ~ <£r* ûfcr ~~ dx ~~ dx ~~
Posons alors
/• ~ b x sin.r -+- b% sin3.r -h 65 sinfia? -f-, . .,
ce qui est possible puisque /■ n'est encore défini que dans ( o, - )•
On pourrait d'ailleurs remplacer cette égalité formelle par une égalité entre nombres telle que la série du second membre soit uniformément convergente, car, à condition peut-être de supprimer les premières courbes C, C,, . . . , on peut supposer que /'(<>) = o et que f'(x) a partout une dérivée bornée. En intégrant deux fois on
aura — /*♦ ; si l'on remarque que r t (o) = o et — , = p ( - j = o on obtient
— p = b\ cosa? -h — cosia? H — — cos5a? -*-. . .,
r, = b\ sma? -h -- sin 3a* -+- — sino.r -+-. . .. J* :>*
Par suite le rayon de courbure r p de G,, est
/> = ©i sinar -+- ^-j siniar -h TT^sinaa* -+-...,
t p (x) tend donc vers R(tf) = 6 f sina\ On déduira facilement de là que, si l'on effectuait sur C<, C 2 , . . ., les translations le long de BX' qui amènent B,, B 2 , ... en B, les positions que prendraient M|, M 2 , . . . tendent vers un point de la courbe © passant par B et définie par l'égalité R(.r) = 6, sinx entre son rayon de courbure R et l'angle x que sa tangente fait avec BX'.
Les formules ordinaires de la géométrie permettent de vérifier que € est une demi-cycloïde ayant B pour point de rebrousse-
ment et qui est normale à AX. D'ailleurs, dès qu'est démontrée l'existence d'une courbe limite © ne dépendant que du seul paramètre b { ,
bi = - / r$\nxdx=- I sin# ( -=- ) dx = — h,
*J TZJ \dx) 7t
h représentant la distance de AX et BX', il est évident que © est cette cycloïde puisque, pour elle, toutes les courbes C/ sont égales.
Les courbes T/ ont évidemment pour limite une demi-cycloïde égale à 8. On verrait de même que, si la courbe C était convexe, mais que les tangentes aux extrémités ne fassent pas entre elles un angle droit, les courbes Ci, G a , . . . et F, F, , . . . tendraient vers une forme limite épicycloïdale ; pour que ces courbes elles-mêmes aient une courbe limite il faudrait effectuer sur elles des transformations par figures semblables, les rapports de similitude ne dépendant que de l'angle des tangentes à C en A et B.
Dans le cas où C n'est pas convexe il semble bien qu'il n'existe pas de propriété analogue; on le verra en considérant le cas d'une courbe C formée par un arc ajâ de circonférence puis par le même arc parcouru en sens inverse de [3 vers a. Le cas des courbes gauches n'a pas été examiné que je sache.
56. Théorème des isopérimètres. — Pour faire connaître une autre application géométrique je vais démontrer, par la méthode de M. Hurwitz, l'inégalité qui constitue le théorème des isopérimètres (' ).
Soit G une courbe plane fermée sans points multiples, rectifiable, c'est-à-dire de longueur finie L; M. Jordan a démontré qu'une telle courbe partageait le plan en deux régions et que la région intérieure est de celles qu'il a appelées quarrables et auxquelles on peut attacher une aire A. M. Jordan a montré de plus que, de quelque façon qu'on exprime les points de C comme fonctions continues d'un paramètre, ces coordonnées sont des fonctions à variation bornée de ce paramètre. Enfin, de quelque façon qu'une
(*) Voir Annales de l'École normale supérieure, 1902.
Io8 CHAPITRE IV.
courbe rectifiable C, tende uniformément vers C, la longueur L, de Ci a une plus petite limite au moins égale à L et l'aire A| de Cf a pour limite A. D'ailleurs, on peut toujours choisir Ci de manière que L 4 tende vers L.
Ceci posé, exprimons les coordonnées des points de C en fonction de l'arc s de C compté à partir d'une origine arbitraire et
27U * TVl
posons t= -y— • JNous aurons
x — -a -h ^(«/i cospt -+■ b p sin/*0,
7= ~ «o •+• ^(«#» *o*pt ■+■ $ P sinpt),
les séries qui figurent dans x et dans y étant uniformément convergentes. Supposons d'abord que x et y aient partout des dérivées en t et que ces dérivées soient sommables; nous aurons, puisqu'il s'agit de fonctions périodiques (n° 54),
-jfc ~ ^(pàp cospt —pa P sin/?*), •£ ~ ^(Ppf'COspt—ptpsinptY, et, d'autre part,
\dt) \dt) ~~ VW *
Nous savons calculer / (777) ^> I i'dtj^ P ar * a ^ or ~ mule (N) du n° 52. De ce calcul nous tirons
L«=aiu«2j*«(aJ+ô«H-«J+Pj5).
D'autre part, de la première des formules (M) du n° 52, nous déduirons
A= f x ~dt dt = iT 2 (a/ '^ -6/,a ' ,) -
Donc
SÉRIES DE FOURIER QUELCONQUES. IOg
Débarrassons-nous maintenant de l'hypothèse faite relativement
à l'existence de -^- et -^- En remarquant que x(t) et y (t) sont
à nombres dérivés bornés et, par suite, ont des dérivées presque partout (n° H), on pourrait vérifier que nos calculs sont corrects dans tous les cas; mais les remarques qui suivent suffiront.
Prenons une courbe Ci qui tend vers C et dont la longueur L< tend vers L; il est facile de construire cette courbe de façon qu'elle soit de celles auxquelles s'appliquent les raisonnements précédents.
Alors, les éléments affectés d'un indice 1 correspondant à C t , on a
Le premier membre tend vers L 2 — 4^A quand C| tend vers C; la somme des k premiers termes du second membre tend vers la somme correspondante relative à la courbe C, donc on a
et, par suite,
L*— 4itA>o,
sauf peut-être si
a\ = Pi , b\ == — X| , a s = a 3 = . . . = b% = 6 3 = . . . = a 2 = a 3 = . . . = o ;
auquel cas C est une circonférence et l'on a bien
Donc, pour toute courbe fermée sans point double, rectifiable et de longueur L, limitant une aire A, on a
L* — 4tcA^o, le signe = ne convenant qu } au cas de la circonférence.
SÉRIES TRtGONOMÉTRIQUES QUELCONQUES.
Les recherches exposées dans ce dernier Chapitre continuent et complètent celles dont il a été question au Chapitre II; cpmme celles-ci, elles ont pour but principal de nous faire connaître quelles peuvent être les séries trigonomé triques représentant des fonctions données.
57. Théorème de M, Georg Cantoi\ — Lorsqu'une série trigonométriq ue est convergente pour tous les points d'un intervalle, ses coefficients tendent vers zéro. Cela sera évidemment prouvé si nous démontrons que la série trigonométrique dont le terme général est p„ cosn(x — a„) ne peut converger que pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle lorsque p„ ne tend pas vers zéro quand n croît. En effet, lorsqu'il en est ainsi, on peut trouver une suite croissante d'entiers ni tels que les nombres p„. correspondants soient tous supérieurs à un nombre fixe m différent de zéro. e étant arbitrairement choisi positif, le nombre | p„.cos/i|(.r — ol„.) | surpasse e, sauf pour des valeurs de x qui forment, pour o<x<2tc, un ensemble de mesure au plus égale
à 7} = 4 arc sin — j et nous devons en conclure (n 11 9) que la
mesure de l'ensemble des points de convergence est au plus r 4 . Notre théorème est ainsi démontré, car -t\ tend vers zéro avec e.
Ce théorème, que Riemann semble avoir considéré comme évident, a été démontré pour la première fois par M. G. Cantor (*).
(*) Journal de Crelle, t. 72; Math. Annalen, t. IV; Acta mathematica, t. IT.
