SERIES TRIGOXOMÉTHIQIËS QUELCONQUES. III
Pour les recherches suivantes, il est possible de s'en passer comme l'ont remarqué Riemann et Kronecker ( ' ) ; il suffit pour cela, ayant la série trigonométrique S(.r) convergente pour x = x , de raisonner uniquement sur la série en S, S(j? + 8) + S(x — 8), dont les coefficients tendent vers zéro.
Une série dont les coefficients ne tendent pas vers zéro peut avoir des points de convergence dans tout intervalle; on en trouvera des exemples dans le dernier paragraphe du Mémoire de Riemann, le plus simple est celui de la série Esin/i! tzx qui est évidemment convergente pour toute valeur rationnelle de x ( 2 ).
58. Théorème fondamental de Riemann. — Nous allons considérer maintenant une série trigonométrique' (S), dont les coefficients tendent vers zéro,
(S) -a -\-\(a n cos nx -h b n sin/ia:) = A -h A t -+- Aj-h. . .,
et rechercher dans quels cas on peut lui appliquer le procédé sommatoire de Riemann (n° 49) qui consiste, comme on le sait, à poser
et à attribuer comme somme à la série proposée la limite, pour h = o, d'une quantité que l'on notera, en modifiant légèrement les notations du n" 6,
Le théorème fondamental qu'on va tout d'abord démontrer est le suivant : lorsque (S) est convergente, le procédé sommatoire de Riemann s } applique et est d'accord avec le procédé de sommation ordinaire.
(') Voir le paragraphe TI du Mémoire de Riemann et un travail de Kronecker dans le Tome 7'2 du Journal de Crelle.
( 2 ) On prouvera facilement que la série E/i s\nn\izx n'est convergente que pour les valeurs rationnelles de x.
Il suffira, pour cela, de montrer que N A^, l — t— \ tend, quand
h tend vers zéro, vers la série SA.J, supposée convergente. D'après le n° 25, il suffit de montrer que la quantité
^|rsin/?/i~| 2 |"sin(/> -+- 0^1*1
^IL"^"J ~L (p + nh J I
n — 1 .oo
__^i I ["sin/^!* [" sin(/? -w)/t ~|* ^\ï $\nph ~y F sin(/> -t- i)/* "] 2 1 -2*\l-ph~\ ~L (p + *)h J r"^IL M J ~L (/>-+-0* J |
est uniformément bornée. Dans le second membre prenons l'entier n de façon que le signe | | soit inutile dans la première somme; il suffira, pour cela, que l'on ait /i|A|<7:<(/i-hi)|/i|.
La première somme est alors ( —j— \ — ( — r— j > quantité bornée.
La seconde somme est égale à
I (sinph) 2 — [sin(/? -+- i)h]* | P* h *
[8in( ^ + l)A]î [^___L]|;
en remarquant que la différence des carrés des sinus est égale à | sin(a/> -H i) h sinA | < \ h |, on voit que cette somme est inférieure à
p*h* "*" n*^ J {n l)Jt t* "*" /i 2 /** - ( n — \)\h\ "*" ai 2 A 2 ' quantité bornée, car elle tend vers — i — -• Démontrons encore que l'on a toujours :
hm 1-^ =hm aAoA-hO A,/ £7^- = o.
Cela résulte (n" 25) de ce que l'on a, en conservant les notations
SÉRIES TRIGONOM ETRIQUES QUELCONQUES. I I 3
précédentes,
*l»l2(1=f*) , S.I»K2^<-l»K : f II .
n + 1 rt-t-1
quantité bornée, car elle tend vers tc H — ( ' ).
59. Condition nécessaire et suffisante démontrée par Riemann. — Soit une fonction f{x) de période 27c, nous nous demandons à quelles conditions elle doit satisfaire pour qu'il existe une série trigonométrique, dont les coefficients tendent vers zéro, à laquelle s'applique le procédé sommatoire de Riemann et dont la somme, obtenue par ce procédé, égale /(#).
Il faut évidemment tout d'abord que la condition suivante soit remplie (n° 6^ :
i° f(x) est la dérivée seconde généralisée d'une fonction continue F(x).
La dérivée seconde généralisée de F(x -h 2 tu) — F(x) est égale kf(x-\- 2tc) — f{x) = 0; donc F(x -f- 2tt) — F(x) est une fonction linéaire (n° 6) que l'on peut noter 2ir[A ,r 4- TcA -h C< ]; on vérifie de suite que, si l'on pose
&(x) est une fonction continue de période 27c.
En remplaçant &(x) par sa série de Fourier, on trouve une égalité formelle qu'on peut écrire
b{x) = C-f-CjiFH — ... -•• • ,
A n étant de la forme a cosnx-\- (3 sînnx; il reste seulement à écrire
(') Pour d'autres applications des raisonnements de Riemann, voir une Note de M. Fatou (Comptes rendus, 1905).
I 1 4 CHAP1TKK V.
que A n tend \ers zéro pour écrire du même coup que l'égalité précédente est une égalité entre nombres et que, en dérivant deux fois le second membre, on a une série à coefficients tendant vers zéro qui représente f(x) à la manière indiquée. D'où cette seconde condition :
2° En posant
/z Jk -t- a <P(t) cosn(x — t) dt
le second membre tend vers zéro avec -> uniformément quel que soit x.
Les conditions i° et 2° constituent la condition nécessaire et suffisante cherchée; on verrait facilement comment il faut la modifier si f(x) n'existait pas en certains points ou si l'on renonçait à la sommabilité de la série, ou à l'égalité de f(x) et de sa somme en certains points. Je laisse cela de côté pour indiquer la transformation que Riemann a fait subir à la condition 2°, et qui est la partie importante de cette recherche. 11 est évident en effet que la condition i°, qui n'est qu'une tautologie, serait suffisante si l'on ne s'imposait pas la restriction supplémentaire que les coefficients de la série représentant f(x) tendent vers zéro en vue d'un application ultérieure au procédé de sommation ordinaire.
Nous désignerons par [x(.r)une fonction continue de période in ayant partout une dérivée première et ayant partout, sauf en un nombre fini de points, une dérivée seconde à variation bornée. D'après les n os 27 et 28, si le (n -h i) ienie terme de la série de Fourier de [*(#) esta,, cosnx -+- b u sinnx, n*a n et n* b n sont bornés, donc n' 2 a ti et n-b n tendent vers zéro. D'autre part, si le(n -+- i ) ièIUe terme de la série de Fourier de <P( x) est a„ cosnx -h |3 W sïnnx, n 2 y. n et n- k 3„ tendent vers zéro. Donc, d'après les formules (M) (n° 52), le (n -\- i) iè,ne terme A„ cosnx-\- B„ sinAi.r de la série de Fourier de &(x)p(x) est tel que n- A„ et n 2 B, t tendent vers zéro, ou, si l'on veut, que n 2 (X fi cosnx -\- B« sinnx) tende uniformément vers zéro, quel que soit x.
Ceci s'écrit
(A) lim n* f *(/) [i(t) cosn(x — t) dt = o.
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES QUELCONQUES. Il5
Admettons que |x n'est différent de zéro que dans une partie
(a, b) de (a, 211 -f- a), ce qui exige
p(a) = p(b) = p'(a) = fx'(è) = o;
on pourra remplacer les limites d'intégration (a, 211 H- a) para et 6. D'autre part, jjl ayant les propriétés indiquées, l'expression
\- f p(t)lC't-\ — ) cos/t(> — t)dt\
tend vers zéro avec -» carlaquantité entre crochets est le (n -+- i) ième
G'x-\ ; — ) » qui est continue ainsi que sa dérivée première et dont la dérivée seconde est à variation bornée. Par suite, si 2° est remplie,
nï f \x(t) F(t)cosn(x — t) dt
tend vers zéro avec - • Pour conclure, énonçons une condition 2'.
1' Désignons par A(£) une fonction définie dans (A, B) qui y est continue ainsi que sa dérivée première, qui a, sauf un nombre fini de points, une dérivée seconde à variation bornée, et telle que Von ait
La quantité
k(t)F(t)cosn(x — t)dt
tend uniformément vers zéro, quel que soit x, avec — •
Je dis que 2 et 2' sont deux conditions équivalentes. En effet, si 2 est remplie, 2' l'est aussi, car on peut considérer X comme la somme d'un nombre fini de fonctions [x, et remplacer ainsi l'intégrale où figure ~k par des intégrales où figurent des fonctions u, et qui sont étendues seulement à des intervalles (a, b) de longueur moindre que 27t.
Il6 CHAPITRE V.
Supposons maintenant que i! est remplie, c'est-à-dire que
n* f l(t)<P(t)cosn(x — t) dt
tend vers zéro avec - • Faisons d'abord là-dedans n
et
l(t) =■ cosf dans ( , o j et (27:, — - ), \(t) = 1 dans (o, 2ir);
puis
A = , B = -+--, X(*) = cos*.
La contribution de ( — > o) est la même dans les deux cas; la contribution de { 2 7t, ^- j dans le premier cas est égale à celle de ( o, - ]
dans le second. Si donc on soustrait les deux résultats obtenus, on voit que l'intégrale
J~21Z f *(£) cosn(x — t) dt
tend vers zéro, avec — ; 2' entraîne 2 .
Riemann donne à la condition 2' une forme un peu plus générale en ne supposant pas que n soit entier, il serait facile de montrer que les deux formes de 2' sont équivalentes ( , ). Je ne m'y arrête pas, d'autant que l'on utilisera seulement l'égalité ( A.) précédemment trouvée, dans laquelle \*-(t) est une fonction de période 2ir, ayant une dérivée seconde à variation bornée. La méthode qui conduit à l'égalité (A) fournit aussi l'égalité (B)
f <&(*) Hi(0 cosn(x — t)dt = o.
(*) La méthode de Riemann, exposée d'une façon un peu concise par l'auteur, ne prête à aucune difficulté si Ton tient compte des notes que H. Weber a ajoutées au Mémoire de Riemann (voir surtout 2" édition des Œuvres de Riemann).
J'ai utilisé ces notes dans le texte.
