PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS

A l'aide de ces énoncés on s'assurera facilement que tous les ensembles actuellement connus sont mesurables.

On dil qu'une fonction y d'une ou plusieurs variables, définie dans un certain intervalle, est mesurable si, quels que soient a et 6, l'ensemble des points pour lesquels ona«< /<[ b est mesurable. Les fonctions continues sont évidemment mesurables, puisque, pour les fonctions continues, les ensembles considérés peuvent être obtenus en formant des sommes d'intervalles. De même, les fonctions croissantes sont mesurables, donc les fonctions à variation bornée le sont aussi, car la somme et le produit de deux fonctions mesurables sont des fonctions mesurables; la limite d'une suite de fonctions mesurables est mesurable. Démontrons, par exemple, cette dernière propriété ; soit y la limite des fonctions mesurables f s , f 2 , .... Désignons par E„ l'ensemble des points en lesquels on a a <Cfu < b\ E„ est mesurable. Soit E* l'ensemble, mesurable, des points communs à E„, E„ +1 , E rt+2 , .... Soit enfin E la somme E 1 -f- E 2 -f- . . . ; il est évident que E est mesurable, et c'est l'ensemble des points en lesquels on a a <Cf<L b.

De là résulte, en particulier, qu'une série trigonométrique convergente ne peut représenter qu'une fonction mesurable; d'ailleurs, toutes les fonctions actuellement connues sont mesurables.

9. Théorème sur la convergence des séries. — Soit une suite y,y 2 , ... de fonctions mesurables, l'ensemble des points où elle converge est mesurable. On obtient, en effet, cet ensemble C par le procédé suivant. On forme les ensembles E,,^^ à l'aide des

points en lesquels on a \f„ — fn+p\<-û'> on prend les points

communs à tous les ensembles E Wî/ , îN , ayant les mêmes indices n et N, ils forment un ensemble E //iX ; on forme les sommes E N de tous les ensembles E Wî> ayant N pour second indice; on prend enfin l'ensemble C des points communs à tous les E N , où N est entier. Tous les E,,^ x , E„ 7X , E N , C sont mesurables.

Ceci posé, soient e p l'ensemble mesurable des points en lesquels on a \f p — f\ < £ et C p l'ensemble mesurable des points communs à e p , e P +n — L'ensemble mesurable <^-h(^2 — ^i)-f-(^3 — £ 2 )-K.. contient £, il est formé d'ensembles sans point commun, donc, en prenant dans la série précédente un nombre /i, Suffisamment

grand de termes, on a un ensemble somme (qui n'est autre que C p ) dont la mesure est au moins égale à celle de £.

De ce raisonnement général tirons deux énoncés particuliers qu'on utilisera plus loin(*). Pour cela remarquons que / est la somme de la série convergente /, -+- ( / 2 — /• ) -h

Pour les points de C„ tous les restes de cette série, à partir du n li ' me , sont inférieurs en valeur absolue à e, et tous les termes, à partir du /i iè,ne , sont inférieurs en valeur absolue à 2 s. Donc : si une série de /onctions mesurables converge en lotis les points d'un intervalle, les points de cet intervalle pour lesquels l'un des restes, à partir du n ième , n'est pas inférieur à e > o, en valeur absolue, est de mesure aussi petite que l'on veut, à condition de prendre n assez grand; ou encore : Soit T, t l'ensemble des points en lesquels le n ième terme d'une série de fonctions mesurables ne surpasse pas, en valeur absolue, un nombre positif 2£ ; s' il existe une infinité d'ensembles T n dont la mesure ne surpasse pasr\, on peut affirmer que la mesure de l'ensemble des points de convergence est au plus égale à tj.

10. Définition de l'intégrale. — Soit /une fonction mesurable; divisons l'intervalle à une dimension ( — 00, -h 00) en une infinité dénombrable d'intervalles partiels à l'aide de nombres croissants Z 4 (i = o, 1,2, ... d'une part, — 1, — 2, ... d'autre part), tels que /, +l — /, ne surpasse jamais r k . Soit a la mesure de l'ensemble des points en lesquels on a

liif<li+i O;

formons la série infinie dans les deux sens

Zu li^i = A.

( ! ) Pour un autre énoncé voir Lebesguk, Sur une propriété des /onctions (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 38 décembre 1904).

( 2 ) Cet ensemble est mesurable, car il est formé des points qui appartiennent, quel que soil l'entier /i, à l'ensemble des points en lesquels on a

PROPRIETES DES PONCTIONS. II

En général, cette série ne sera pas absolument convergente, mais elle le sera toutes les fois que f sera bornée, puisque la série se réduit alors à une suite finie; elle sera aussi convergente pour certaines fonctions non bornées. A toutes ces fonctions on donne le nom de fonctions sommables ; toute fonction mesurable bornée est sommable.

Supposons f sommable et intercalons entre les /,• d'autres nombres; la série A sera remplacée par une série analogue A f , qu'on vérifiera facilement être absolument convergente, plus grande que A et plus petite que A H- 7| x mesure de J = B. Opérant encore de même on trouve A 2 au moins égale à A,, au plus égale à B. En continuant ainsi, de manière à faire tendre vers zéro les nombres analogues à Y|, on a une suite de nombres A, A,, \->, . . . non décroissants qui tendent vers une limite au plus égale à B; cette limite est appelée l'intégrale de y dans I.

Par le raisonnement classique on vérifie que cette intégrale est indépendante des nombres // choisis. Pour le développement de la démonstration, je renverrai à mes Leçons sur V Intégration déjà citées; on y trouvera aussi les démonstrations d'un certain nombre de propriétés qui seront utilisées dans la suite et que je vais énoncer.

La définition de l'intégrale qui vient d'être donnée, et qui est la seule adoptée dans la suite, est plus générale que celle à l'aide de laquelle Riemann définit l'intégrale des fonctions bornées. Toutes les fonctions intégrables au sens de Riemann sont sommables et la définition ci-dessus indiquée conduit à leur attribuer la même intégrale que la définition de Riemann.

La définition classique, que nous n'adoptons pas ici, conduit à attribuer à une fonction f (x) non bornée autour de x = o, et autour de ce point seulement, une intégrale dans (0,1) égale à la limite, si elle existe, de l'intégrale dans (s 2 , 1), quand e tend vers zéro. Il importe de remarquer que cette définition peut s'appliquer sans que la définition adoptée ici s'applique; la fonction f sin - en J ^ "* v ~ y

est un exemple. Avec la définition adoptée, sif(x) a une intégrale, \f{x) | en a une aussi, ce qui n'est pas vrai nécessairement avec la

définition classique exemple, f(x) = - sin( - J ; plus généralement, si y est sommable, et si <p est sommable et bornée, f® est

sommable. Cela nous permettra d'affirmer que fcospx et/sinpx sont sommables dès que f Test.

On démontre aussi que / -f- cp est sommable quand f et y le sont, et que l'intégrale de la somme est la somme des intégrales. Nous utiliserons aussi ce fait que le domaine d'intégration peut être divisé en autant de domaines partiels que l'on veut, à condition de faire la somme des intégrales étendues à ces domaines. On peut même diviser le domaine en ensembles mesurables et faire la somme des intégrales étendues à chacun de ces ensembles, en entendant par intégrale de f dans l'ensemble E l'intégrale de la fonction <p égale à f pour les points de Ë et nulle pour les autres points.

Ce sont les intégrales qui viennent d'être définies que je désignerai par les notations classiques

I fdx, j j fdxdy,

Relativement aux intégrales multiples, il est utile aussi de savoir qu'on peut les calculer à l'aide d'intégrales simples successives, comme s'il s'agissait de fonctions continues, toutes les fois que les intégrales simples auxquelles on est conduit existent, ce qui arrive, en particulier, toutes les fois qu'il s'agit d'une fonction bornée représentable par une série de fonctions continues, et c'est le seul cas que nous rencontrerons ( 4 ).

H. Propriétés de V intégrale indéfinie. — Je n'ai pas énoncé toutes les propriétés de l'intégrale qui seront employées; celles que j'ai indiquées suffiront à montrer combien l'intégrale des fonctions sommables se rapproche de l'intégrale des fonctions continues. Voici maintenant quelques propriétés fondamentales de M intégrale indéfinie d'une fonction sommable f d'une seule variable x.

On appelle ainsi la quantité K -f- / fdx\ cette fonction de x

est continue; de plus, comme elle croît moins vite que la fonction

(') Pour la démonstration voir les n°* 36 à 40 de ma Thèse : Intégrale, Longueur, Aire (Annali di Matematica, 1902).

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS. l3

\ |/| dx, elle est à variation bornée, et nous avons une

limite supérieure de sa variation totale (n° 4).

Une autre propriété fondamentale est la suivante : /"est la dérivée de son intégrale indéfinie en tous les points, sauf, tout au plus, pour ceux d'un ensemble de mesure nulle (§ VI, Chap. VIII, de mes Leçons sur V Intégration) ; complétons ce résultat.

Les points où /(x) — a n'est pas la dérivée de son intégrale indéfinie forment un ensemble de mesure nulle E(a). Soit £ l'ensemble somme des E(a) correspondant aux a rationnels. Soient x une valeur n'appartenant pas à C, a un nombre irrationnel quelconque, j3 un nombre rationnel voisin de a. On a

|l/(*)-*|-|/(*)-PlNlP-«b d'où

! r / l/(*) — *\dx — - ? ■ f \f(x)-$\dx

Or, d'après nos hypothèses, le second terme du premier membre diffère de \f(x ) — fi | de moins de s pourvu que x soit pris dans un intervalle (x — A, x H- h) assez petit. Donc on a

T^7\f. l/^)-*l^-l/(*o)-PI 7zr^]f l/(*)-*|rf*-l/(*o)-«l

i IP-«|-h«,

et, puisque, e et j3 — a sont aussi petits que l'on veut, \f(x) — a | est pour x = x la dérivée de son intégrale indéfinie. Ainsi, sauf tout au plus quand x appartient à un ensemble C de mesure nulle, \f(x) — a | est, pour x = x , la dérivée de son intégrale indéfinie, quel que soit a et, en particulier , pour a =f(xç). On utilisera plus loin la formule d'intégration par parties :

f \}vdx = [U(b)V(b) — U(a)V(a)]- f u\ dx,

dans laquelle U et V désignent des intégrales indéfinies de u et v. On verrait en effet, en remplaçant U et V par les intégrales qu'elles

représentent, que la formule précédente exprime seulement, dans un cas particulier, la possibilité de remplacer une intégrale multiple par des intégrales simples successives.

On admettra facilement aussi que si/(.r) est compris constamment entre m et M on a, pour a<i 6,

i(fe— a)< f f(x)dx <M(6 — a);

si Ton applique cette égalité à (#, a; + A)on voit que Ton a, pour l'intégrale indéfinie F de /,

De même, en intégrant F, on obtient ,T telle que

12. Théorème sur V intégration des séries. — Soit une suite convergeant dans un intervalle I vers une fonction f et formée de fonctions mesurables f, / 2 , . . . toutes inférieures en valeur absolue à une constante K>. Soit E„ l'ensemble des points de 1 en lesquels quelqu'une des différences \f n + P — f\ est supérieure à e; soit e n =l — E„. On a

/f n +. p dx = f f„+i,dx-{- I f n + [t dx.

La première intégrale du second membre diffère de / f dx au

plus de £ multiplié par la mesure de e, n donc au plus de e/, i désignant la mesure de I. La seconde intégrale du second membre est inférieure en valeur absolue à K multiplié par la mesure m„ de E„

et cela est vrai aussi de / fdx. Donc on a

\ft d *-ft>

n+pdx

< 2 Km,, + et;

et, puisque m„ tend vers zéro et que s est aussi petit que l'on veut,

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS. l5

il est démontré que, dans les conditions indiquées, V intégrale de f est la limite de V intégrale de /„.

Si l'on écrit /= /, + (/ 2 — f K ) -h . . . on a un théorème sur l'intégration des séries qui comprend, comme cas particulier, le théorème bien connu sur les séries uniformément convergentes.

Remarquons encore qu'il importerait peu que la suite ne tendît pas vers f pour les points d'un ensemble de mesure nulle C, car, d'une part, il suffirait de faire rentrer les points de C dans E„ et, d'autre part, quelles que soient les valeurs attribuées à y pour les points de £, l'intégrale de /restera la même.

13. Théorème général sur les fonctions sommables. — Ce théorème va nous faire connaître une propriété de toutes les fonctions sommables qui, dans le cas particulier des fonctions continues, résulte immédiatement de la continuité uniforme. J'énonce ce théorème pour lé cas d'une seule variable : Si f(x) est sommable, V intégrale

tend vers zéro avec S.

Remarquons que l'énoncé suppose f définie dans (a, y) plus grand que (a, (3) et qu'on doit prendre S au plus égal à y — [3. Maintenant on a, /et/ étant sommables,

J(/, 8)Sa C\f\dx, J(/, 8)£J(/„ 8) -h J (/-/,, 8):

d'où

j(/, 8)ij(/ 1 ,8)+ 2 y T i/~/ i |^.'

Ceci posé, si / est assez grand, en appelant/, la fonction égale à/

/Y \/—/t | dx sera plus petite

que e, d'où

et il suffit de démontrer le théorème pour la fonction bornée/.

l6 INTRODUCTION. — PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS.

Divisons ( — /, -h /) en ip parties égales et soit /x (X prend les valeurs — /?, — /? + i, ...,/? — i , yp) la fonction égale à f K pour

les points où Ton a — < f K < — et nulle ailleurs. Des for-

mules du début, il résulte que l'on a

et comme, dès que /? est assez grand, le second terme du second membre est aussi petit que l'on veut, il suffit de démontrer la propriété pour une fonction, telle que/'x, ne prenant que deux valeurs o et A.

Soit <p une telle fonction ne prenant que les valeurs o et A. Soient E l'ensemble des points où <p diffère de zéro, £ un ensemble d'intervalles contenant E et dont la mesure ne diffère de celle de E que de r\ au plus; soit £« un ensemble formé à l'aide d'un nombre fini des intervalles de £ et dont la mesure ne diffère de celle de £ que de y\ au plus. Soient enfin <I> et <ï> 4 deux fonctions égales à A pour les points de £ et £ { respectivement et nulles pour les autres points. Alors on a

f | cp — 4>|<*r£|A|7), f |* — *i|<te^|A|iî,

d'où

J(ç l 8)<J(*„8)-f-4|Ah,

et il suffit de démontrer le théorème pour <I>|. Mais <& t n'ayant qu'un nombre fini de points de discontinuité on peut trouver <Ê 2

continue et telle que / |4>, — <£ 2 | dx soit inférieure à s, alors on a

J(*i, 8)^J(*«, 3)-+- as;

et, comme le théorème est vrai pour 4> 2 , la démonstration est achevée.

DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS DES SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES REPRÉSENTANT UNE FONCTION DONNÉE.

14. Définition des séries trigonomé triques. — Une série trigonométrique est de la forme

-a -+- (aicosar -+- b\ sina?) -H («jcossa? -+- b 9 sinaa?)-*-. . .,

les a et les b étant constants; cette série peut aussi s'écrire

p -h p!COs(ar - 8^ -h p,cos2(ar — 0j) -+- . . .,

les p et les 6 étant constants.

Lorsqu'une telle série est convergente elle représente une fonction de x de période 27c; aussi, lorsqu'on s'occupera de la représentation d'une fonction f{x) par une série trigonométrique, on supposera toujours qu'il ne s'agit de la représentation de f(x) que dans un intervalle (a, 27c -j- a) ( * ) d'étendue 27i et l'on modifiera, s'il est nécessaire, /(x) en dehors de cet intervalle de façon que l'on ait toujours f(x 4-2 7:) = f(x). Cette opération conduira, en général, à une fonction discontinue aux points a -h 2 kn; dans les cas ordinaires, ces points de discontinuité seront de première espèce.

Si x et Xi ne diffèrent que d'un multiple entier de 2tc, ils jouent le même rôle dans les raisonnements, aussi sera-t-il toujours presque inutile de distinguera: etx t . Nous écrirons, en empruntant cette notation à l'arithmétique et à la théorie des fonctions elliptiques, x = x K qu'on lira « x est congrue à x K » ; étant sous-

(*) L'extrémité 21c -h a est exclue.

l8 CHAI'ITRK 1.

entendu, sauf indication expresse du contraire, suivant le module 'ATt.

Si, dans une série trigonométrique, tous les b sont nuls, on a une série de cosinus; si tous les a sont nuls, on a une série de sinus. Ces séries furent seules considérées au début, mais elles ont l'inconvénient de changer de forme si l'on transforme x en x 4- K, tandis que cela n'arrive pas pour les séries trigonomé triques complètes. En d'autres termes, l'origine x = o n'est pas un point remarquable pour une telle série tandis que c'est un point jouant un rôle spécial pour une série de cosinus ou de sinus. Dans le premier de ces deux cas, on a, en effet, pour la somme cp (a?), çp(#) = <p( — x); et pour la somme ty(x) d'une série de cosinus on a ty (x) = — ^( — .r). Ces deux relations, jointes à l'égalité f(x)= <p(x)-\- A(#), permettent de calculer les sommes des séries trigonom étriqués de sinus et de cosinus en lesquels on peut décomposer une série trigonométrique complète de somme/*(#), à supposer ces trois séries convergentes. A cause de ces relations on peut soit, comme le fait Fourier, ne s'occuper que de la détermination des coefficients des séries trigonométriques de sinus ou de cosinus propres à la représentation d'une fonction © (x) ou ty (x) de o à 7c, et en déduire les formules (relatives à la représentation d'une fonction /(x) dans (o, air) par une série complète, soit adopter, comme plus loin, la méthode inverse.

Les séries trigonométriques sont constamment employées en Astronomie et dans certaines parties de la Physique mathématique ; on les a utilisées aussi dans toutes les branches des mathématiques pures, même dans la théorie des nombres. On verra plus loin quelques applications géométriques et analytiques immédiates de la théorie des séries trigonométriques, mais je dois signaler dès maintenant le rapport étroit qu'il y a entre les séries entières et les séries trigonométriques. Si l'on fait z = e lv dans la série

^a -h^ à (a p -ib p )zP,

on retrouve la série trigonométrique écrite au début de ce paragraphe. L'étude des séries trigonométriques est donc l'étude sur une circonférence de la partie réelle d'une fonction analytique.

Si, dans une série trigonométrique, on remplace #par , on a

une nouvelle série qu'on appelle ordinairement une série trigonométrique et à laquelle évidemment s'appliqueraient tous nos énoncés moyennant de légers changements (*).

15. Comment fut posé le problème de la représentation d'une fonction arbitraire par une série trigonométrique \' z ). — Dans un Mémoire Sur les inégalités du mouvement de Jupiter et de Saturne, Euler, pour la commodité des calculs pratiques, remplaça des expressions de la forme (1 — ^coso)) - ^ par des séries de cosinus ( 3 ).

Cette transformation paraît avantageuse à Euler, parce que, dans les intégrations qu'il a à effectuer, cos/?co va se transformer en

sin/xo • , 1 1 , .

— Z—j et la présence de ce dénominateur/?, augmentant la convergence (d'après Euler), diminuera le nombre des termes de la série qu'il faudra calculer pour avoir une approximation suffisante.

Euler est donc conduit à la considération de séries trigonométriques, mais il n'est pas conduit par ses recherches astronomiques à se demander si toute fonction est représentable trigonométriquement. Cette question fut posée par Euler en 1763,. à l'occasion

(') Je laisserai aussi de côlé les séries trigonomélriques qu'on obtient en remplaçant cospx. si n/747 par cosn x, sin/i x; pétant Tune des racines d'une équation transcendante, par exemple de l'équation na = (1 — A<x) tangua considérée par Fourier.

( 2 ) Pour toutes les questions historiques relatives à la théorie des séries trigonométriques, on consultera avec profit un Essai historique sur la représentation d'une fonction arbitraire d'une seule variable par une série trigonométrique de M. Arnold Sachse qu'on trouvera traduit dans le Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques de 1880.

( 3 ) Le Mémoire d'Euler, bien qu'il ait remporté le prix de l'Institut en 1748, manque à la plupart des collections du Recueil des pièces ayant remporté le prix de l'Académie royale des Sciences; on en trouvera la raison dans la Préface du Tome VII de ce Recueil. M. Patou, auquel j'adresse ici mes remercîments, a bien voulu aller consulter le Mémoire d'Euler à la Bibliothèque de l'Institut et m'en analyser le contenu.

On trouvera des renseignements sur le Mémoire d'Euler dans le Tome II des Recherches sur différents points du système du monde de d'Alembert (Paris, 1754) et dans un Mémoire de Clairaut {Histoire de l'Académie royale des Sciences, i^b!\).

d'un Mémoire de Daniel Bernoulli Sur les cordes vibrantes (*). Écartons de sa position d'équilibre une corde tendue dont les deux extrémités sont fixes et abandonnons-la au temps o sans vitesse initiale. Soient / la longueur de la corde en équilibre, y le déplacement au temps t du point qui est à la distance x de l'origine fixe de la corde quand elle est en équilibre. Bernoulli démontre que la formule

y = ^ ol p sinp -j- cospkt,

dans laquelle k est un coefficient dépendant de la corde, fournit une solution du problème, et il regarde cette solution comme la plus générale possible.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut, fit remarquer Euler, que, pour / = o, la formule donnée, qui se réduit alors à

puisse représenter la courbe position initiale de la corde. Or, à l'époque d'Euler, on distinguait deux espèces de courbes : les courbes géométriques, pour lesquelles^ et x étaient liées par une relation analytique, et les courbes arbitraires qui correspondaient à un trait tracé à volonté (*). Pour Euler et ses contemporains, il était certain que la seconde catégorie de courbes était plus vaste que la première; or, pour que l'affirmation de Bernoulli fût fondée, il aurait fallu que la courbe arbitraire, position initiale de la courbe, pût se définir analytiquement à l'aide d'une série trigono-

(') Les travaux d'Euler et de Bernoulli sont imprimés dans les Mémoires de l'Académie de Berlin.

Pour ce qui concerne la discussion sur les cordes vibrantes, on lira avec intérêt ^Historique que Riemann a placé au début de son Mémoire Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonomé trique {Œuvres mathématiques de Riemann), ou le Chapitre de la Section I des premières Recherchessur la nature et la propagation du son de Lagrange {Œuvres, t. 1).

( 3 ) Jusqu'à Euler, on avait complètement banni ces courbes arbitraires des- Mathématiques; à l'occasion du problème des cordes vibrantes, Euler avait cru pouvoir leur appliquer certaines des opérations du Calcul infinitésimal, mais la légitimité de ses raisonnements était généralement contestée.

métrique, c'est-à-dire en somme que toute courbe arbitraire fût une courbe géométrique.

Le cas le plus simple qu'on avait à considérer était celui d'une position initiale polygonale de la corde (*). Si l'affirmation de Bernoulli était exacte, il fallait qu'une série trigonomé trique pût égaler une fonction linéaire dans un intervalle et une autre fonction linéaire dans un autre intervalle; ou, si l'on veut, il fallait que deux expressions analytiques fussent égales dans un intervalle et inégales dans un autre. Tout cela paraissait impossible ( 2 ).

La question de la représentation des fonctions arbitraires par une série trigonométrique fut à nouveau posée par Fourier. Le premier problème qu'il traite dans sa Théorie de la chaleur peut

se ramener au suivant : les deux demi-droites y > o, x = ± -

sont maintenues à la température zéro, le segment ( > -\ — )

est maintenu dans un état de température constant et donné, quelle est la distribution de la température, supposée stationnaire, dans la portion du plan, homogène et isotrope, limitée par ces trois segments de droite? Fourier démontre qu'on obtient une solution du problème en prenant, pour la température V,

V= \a p e-up- l) y cos(ip — \)x, et ce sera la solution générale si, en faisant, dans cette formule,

(*) « La manière ordinaire, pour ne pas dire Tunique, de faire sortir une corde de son état de repos, c'est de la prendre par un de ses points et de la tendre en la tirant, ce qui lui donne la figure de deux lignes droites qui font un angle entre elles. » ( D'Axembkrt, Opuscules mathématiques, t. I, p. 4*î voir aussi t. IV, p. i49>)

( 5 ) Comme on admettait que deux expressions analytiques égales dans un intervalle sont égales partout, on admettait qu'il suffit de se donner une fonction à définition analytique dans un intervalle, si petit qu'il soit, pour qu'elle soit par cela même déterminée dans tout son domaine d'existence. D'où le nom de functiones continuée donné par Euler à ces fonctions. C'est après Cauchy que les mots Jonction continue ont acquis leur sens* actuel.

La propriété qu'Euler croyait reconnaître à ses fonctions continues est celle qui caractérise les fonctions analytiques d'une variable complexe. Jusqu'à Weierstr.iss, qui fit voir que deux expressions analytiques d'une variable complexe peuvent être égales dans un domaine sans être égales partout, on admettait généralement que cette continuité euiérienne appartenait à toute fonction de variable complexe définie par un procédé analytique.

y = o, on peut représenter la loi arbitraire de température donnée pour <^x < -• C'est à nouveau la possibilité de représenter

une fonction arbitraire par une série trigonométrique qui est en question.

Pour le cas le plus simple, celui où V est constant de

k-> Fourier est ainsi conduit à la considération de la série (C)

que l'on verra plus loin (n° 21 ) et qui est égale à - f de à —

et à — - de - à — • De sorte qu'une série trigonométrique peut

représenter des fonctions discontinues (au sens actuel) et que deux expressions analytiques peuvent s'égaler dans un intervalle sans s'égaler partout ( * ).

Nous allons maintenant nous occuper de la détermination des coefficients des séries trigonométriques propres à représenter des fonctions données.

16. Formules d'Euler et Fourier. — La méthode classique consiste à raisonner comme si la série trigonométrique cherchée était nécessairement uniformément convergente, ou du moins intégrable (terme à terme) de o à 2ïï, même après multiplication par cospx ou sinpx. Alors, en se servant d'identités évidentes, on obtient les coefficients de la série cherchée, soit

f(x) = - a -H «i cosx -h b\ %\wx -+- « 2 cosix -h 6 2 sin'2.r -h. . . ,

en intégrant cette égalité de o à 271 après l'avoir multipliée terme à terme par cospx ou sinpx (p entier positif ou nul). Cela donne

a n — - ! f(&) cos/ia? dx, b n =- I f(x) sixinx dx; ces formules, dans lesquelles l'intervalle (o, 27c) peut être rem-

(') C'est parce que les fonctions définies analvtiquemcnt peuvent ne posséder ni la continuité eulenenne, ni la continuité ordinaire, que l'on renonce en général maintenant à définir les fonctions par les expressions analytiques.

Ici, j'ai adopté la définition de Riemann : y est fonction de x quand, à x arbitraire, correspond une valeur bien déterminée de y.

DÉTKRM1NATI0N DBS COEFFICIENTS. 23

placé par l'intervalle (a, 27t + a), sont connues sous le nom de formules d' Euler et Fourier. Riemann croyait qu'elles étaient dues à Fourier; en réalité, Eu 1er les avait démontrées antérieurement par le procédé que je viens d'indiquer (') pour le cas d'une série de cosinus. Pour ce cas et pour celui d'une série de sinus, si l'on pose

f(x) = - a -+- 2^ CL,i cosn x ou f(&) = s. ft« sin/ia?,

les formules précédentes deviennent, en tenant compte de la remarque du n° 14,

% n = - I f (x)cos ni: dx, P« = - / /(x)sinnxdx (*).

17. Formules d'interpolation. — L'une des méthodes qu'a employées Euler pour calculer les coefficients a w conduit à des formules d'interpolation trigonomé trique intéressantes. Cette méthode n'est pas rigoureuse, elle suppose que la série ^a„ est absolument convergente.

Dans la formule f{x) = - a -t-^ftp cos/>.r, faisons successif

(•) Nova Acta Akad. Petropolitfunœ, t. XI, année 1793, Volume paru en 1798.

(-) Voici quelques indications historiques: Dans son Mémoire rie 1748, Euler donne l'expression de a n à l'aide de séries (voir n° 18). Euler donne de plus, sans démonstration, des expressions approchées de a et a, qu'il avait très probablement obtenues par la méthode qu'il a fait connaître en 1798, dans le Tome déjà cité des Nova Acta, en même temps que la formule générale du texte qui fournit a M .

Avant l'apparition des Mémoires d'Euler (datés du 26 mai 1777), on trouve la formule qui dounc a à la page 66 du Tome II des Recherches de d'Alembert sur différents points du système du monde (1754 ). La formule générale qui donne a n se trouve dans un Mémoire de Clairaut (daté du 9 juillet 17^7), publié en 1759 dans V Histoire de l'Académie royale des Sciences, année 1704.

I ne formule fort voisine de celle qui donne (à M se trouve dans un Mémoire de Lagrange, paru de 1763 à 1765 (page 553 du Tome I de ses Œuvres complètes).

Enfin, les formules qui donnent a ;i , jà M , a w , b n se trouvent dans la Théorie analytique de la c/ialeur, par Fourier (Art. 211) et suiv.)- Fourier avait d'abord fait connaître ses résultats par une Note communiquée à l'Académie des Sciences le 21 décembre 1807.

bans les paragraphes suivants, les méthodes qui ont été employées par ces géomètres se trouvent indiquées.

vement x = o, -> 2 -> ..., (/i — i) - et ajoutons les résultats. Le

coefficient de ol p sera la somme des cosinus des arcs se terminant aux sommets d'un polygone régulier. Par suite ce coefficient est nul, sauf si tous les arcs ont même extrémité, ce qui exige que p soit divisible par in (*). Nous avons donc

avec nos hypothèses* il est légitime de négliger la série du second membre dès que n est assez grand, et l'équation précédente fournit une valeur approchée de a .

De même partons de la formule

/(x)coszx = -a coszx h- 2 u aL '' cos P x cos zx

= - «o cossar H ^. a /> cos(/> -+- z)x -+- a p cos(p — z)x;

faisons y # = o, -> •••> (n — % i) - et ajoutons. Pour z <C n

on

(*) Cela peut aussi se vérifier à l'aide des formulée qui donnent les sommes de sinus ou de cosinus d'arcs en progression arithmétique

P — '" sin (a H z)sin z

> sin(a -+- pz) — >

sin - z

ila-\ s je

\ cos (a -\- pz)=

p = f cos(a H- — s )cos z

sin -z

la seconde donne, en particulier, une formule qu'on utilisera plus loin

sin (m H — jz

trouve

n — 1 oo

^2^Vn) COS ^^ =a2+ 2 (a2 ' 7 ' l ~ s ' f " aî<7 '^ );

formule d'où l'on tire une valeur approchée de a z .

Ces valeurs approchées seraient rigoureusement exactes si tous les coefficients, à partir de a„, étaient nuls. Donc, si l'on pose

la fonction ®(x) égale f(x) pour x = o, -» •••> (/i — i) -• Cette

formule d'interpolation trigonométrique est due à Clairaut qui a remarqué, de plus, qu'en faisant croître /i, t! tend vers la valeur & p définie par les formules du paragraphe précédent.

On peut traiter de même le cas d'une série de sinus; cela conduit à poser

la fonction ty(x) ^ lnsl définie égale f{x) pour x = —, a-> •••> (/i — i)-- Cette formule d'interpolation est due à Lagrange.

On a parfois considéré comme évident que cp ; x) et if{x) tendent vers f(x) quand n augmente indéfiniment; cela n'est nullement certain et il se pourrait que, pour certaines fonctions /(#), les fonctions y(x) et ty(x) ne s'approchent pas indéfiniment de f(x) (*). Je me contente de signaler cette question et je termine ce paragraphe en indiquant quelques formules d'interpolation trigonométrique.

( l ) C'est ainsi que MM. Runge et Borel ont montré récemment que la formule d'interpolation ordinaire de Lagrange ne permettait pas, dans tous les cas, l'approximation indéfinie des fonctions continues (voir la Zeitschrift fur Math, und Physik, t. XL VI, p. 229 et les Leçons sur les fonctions de variables réelles de M. Borel, p. 75).

Supposons qu'on veuille trouver une série trigonométrique limitée égale à/(#) pour x = x K , x = x 2 , . . . , x = x n . Alors on

pourra prendre '/(#) = £.Pi(x)f(xi)i P<(#) étant une série trigonométrique limitée nulle pour toutes les valeurs x t1 x 2 , • • • > x n sauf pour x t où elle doit se réduire à i . On peut prendre, par exemple, P|(x) égale à Tune des quantités

(sina* — sina* 8 ) (sina- — sin a\-, ). . . (sina? — sinar,, ) (sina7 t — sin A;) (sin ^! — sin #3). . . ( sin.r, — sin a:,»)

sin(a? — Xi) sin(.r — x 3 ). . .sin (a? — x„ ) sin (a?, — x i )sin(x l — x 3 ). . .sin (a:!— a?,»)

Bien entendu les xi ne peuvent pas être absolument quelconques; il ne faut, par exemple, avec Tune ou l'autre forme de P, (x), que l'on ait

Xi = Xî-h 27T.

Quand on a trouvé une série trigonométrique limitée répondant à

la question, on peut évidemment en avoir d'autres. Par exemple,

\( x) on peut multiplier P< (x) par r-j — y pourvu que ce soit une série

trigonométrique limitée et que X(,r) soit différent de zéro; pour x K ^ o, on pourrait prendre X(#)=sinx. On peut ajouter à la série trouvée une série de même nature s'annulant- pour tous les xi, par exemple

4» (x) sin (a? — x x ) sin (a? — x % )

f(x) On peut aussi appliquer la formule à ~ — - et multiplier le résultat

obtenu par z(x), z(x) étant une série trigonométrique limitée ne s'annulant pas pour les valeurs considérées de x (' ).

18. Méthode de Fourier. — Fourier cherche à déterminer les ftp de façon que l'on ait /(x) =^V ft p s'mpx, /(x) étant une fonction donnée par sa série de Taylor. Il admet pour cela que

(*) Cet artifice est dû à Lagrange (voir l'endroit cité de ses Œuvres).

l'on peut différentier indéfiniment terme à terme le second membre et il égale les dérivées de /calculées pour x = o k l'aide de la série entière d'une part, à l'aide de la série trigonométrique d'autre part. Pour que cela soit possible il faut évidemment que/ et toutes ses dérivées d'ordre pair soient nulles pour x = o; aussi Fourier prend-il f{x) sous la forme

Les A sont connus, les |3 sont inconnus et l'on a pour les déterminer une infinité d'équations, obtenues par le procédé indiqué, et qui sont de la forme

(a) A,,= pi-f-2^p î +3A>p,-+-4^p v - h ...,

p étant un nombre impair quelconque. Pour tirer jâ r de ce système infini d'équations à une infinité d'inconnues ( ' ) Fourier limite le système aux m (m>r) premières équations dans lesquelles il annule toutes les inconnues, à partir de P„ i+1 . La résolution de ce système fournit pour (â r une valeur jâ'" dont Fourier cherche la limite pour m infini. Ce mode de résolution prête à bien des objections : d'abord il n'est pas évident que la limite des (â™ soit une solution, puis il n'est pas évident que cette limite soit la seule solution. Comme je n'essaierai pas de rendre rigoureuse la méthode de Fourier, j'emploierai un procédé de résolution peut-être plus critiquable encore, mais plus rapide : le procédé des coefficients indéterminés (-).

Si nous ajoutons les équations (a) multipliées respectivement par des facteurs ) H , X 3 , X 5 , . . . , on aura

p,.= XjAi-f-XsAsH-XgAj-h...,

(*) Relativement à de pareils systèmes d'équations on pourra consulter des travaux de MM. Poincaré {Bull, de la Soc. math, de France, t. XIII et XIV), Borel {Annales de l'École Normale, année 1890), von Koch (Act. Math., t. XV et XVI), Cazzaniga {Ann. di Mat., années 1897 el ^o^).

( 2 ) Il parait d'ailleurs bien difficile, sauf peut-être pour le cas particulier où / a la période 2it, de rendre rigoureux le procédé qu'emploie Fourier pour déterminer les p; pour le cas simple où /=.a?, ce qui est le premier des exemples de Fourier, les séries qui figurent dans les équations (a) sont divergentes.

à condition que l'on ait, pour q entier positif différent de r,

et

La fonction

hi(x) = \ x x -+- X^-h X 6 J? 5 -h. . .

doit donc être une fonction entière impaire, nulle pour x entier différent de ± r, égale à i pour x = 4- r. On peut prendre

. 2rsin7ta?

- fc =ï= i [ — •(S-i)*-(S-iS*i)

D'où, puisque A,, égale f ip) (o) au signe près,

*/•<•>(* -Àïf--*)—]-

Fourier ordonne la quantité entre crochets suivant les puissances croissantes de -; les coefficients de ces puissances se calculent par la formule de Taylor et Ton a

(*) Si l'on n'apercevait pas cette forme particulière de w(a?) répondant à la question on pourrait former la fonction entière <•>(#), connaissant ses zéros, à l'aide de la méthode de Weierstrass; on serait ainsi conduit à la fonction <*(&) choisie dans le texte. Mais il est bien évident que cette fonction n'est pas la seule qui satisfasse aux conditions imposées à w(x), son cube y satisferait tout aussi bien; aussi la méthode de résolution du texte est-elle très critiquable. Au sujet «»e l'indétermination qui se rencontre ici, voir une Note de M. Borel Sur l'interpolation (Comptes rendus, mars 1897) et son Mémoire Sur les séries divergentes (Annales de l'École normale, 1899, p. 8a).

DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS. 2g

Pour calculer la quantité entre crochets, on remarque qu'elle égale s(tz)i en posant

Une double différentiation montre que l'on a

équation linéaire dont l'intégrale générale est

s = a cosrx -f- b sinrx -+- r sin rx f f{x) cosrx dx — r cosrx I f(x) sin rxdx, a est nul, car s doit être une fonction impaire; de sorte que, pour

it)=( — i) r - 1 r y f(x)sinrxdx 1

et, par suite, on trouve pour |3 r l'expression classique.

La méthode de Fourier est intéressante surtout à cause de l'ingéniosité des transformations qu'effectue Fourier. La première méthode d'Euler, dont il a été parlé au n° 15, permet aussi d'obtenir la formule classique par des transformations analytiques.

Soit la fonction

f(x) = N A^ cos/'a? ; transformons-la à l'aide de l'identité

2/»- 1 cosPx = cospx -+- C p COS(/> — 'l)X-±- C| cos(/> — 4)x -h. . .,

le second membre étant continué jusqu'au terme en cos# ou au terme constant. Ordonnons le résultat obtenu par rapport aux différents cosinus, nous obtenons une série trigonométrique de cosinus, le coefficient de cospx étant

•lP-l 2/*-»- 1 7.P+*

3o CHAPITRE 1.

Ce résultai est dû à Euler; pour transformer l'expression de <x p nous remarquerons que l'identité indiquée entraîne

cos? x cos p x dx = O OU r G *

la première forme convient au cas où q est plus petit que p et au cas où q — p est impair, la seconde forme convient aux autres cas. De là résulte que l'on a

0L P = - \^k f/ I costfa? cospx dx = - j f(x) cospx dx^

pourvu que la série \ A^cos/'r soit convergente dans (0,271). a s'obtient par un procédé analogue.

19. Séries de Fourier. — Les méthodes du numéro précédent ne s'appliquent que dans des cas très particuliers; dans les cas où les méthodes du n" 17 s'appliquent, celles du n° 16 s'appliquent aussi. C'est donc ce n" 16 qui nous fournit le résultat le plus général, mais il ne répond cependant pas à la question que nous nous étions posée : quelles sont les séries trigono métriques propres à la représentation d'une fonction donnée. Nous reviendrons sur ce problème au Chapitre V; les Chapitres II, III et IV seront consacrés à l'étude des séries trigonométriques remarquables dont les coefficients sont donnés par les formules d'Euler et de Fourier, séries auxquelles, suivant l'habitude, nous donnerons le nom de séries de Fourier.

Pour éviter toute confusion, il importe de bien se rappeler le

sens qu'on est convenu de donner au signe / (n° 10). Pour

qu'une fonction admette une sérié de Fourier, il faut et il suffît qu'elle soit sommable, auquel cas /et \f\ ont une intégrale. La

fonction - sin-> par exemple, n'a pas de série de Fourier, bien

qu'avec la définition ordinaire de l'intégrale, définition que nous n'avons pas adoptée, elle ait une intégrale. Les séries qu'on obtiendrait en donnant aux intégrales qui figurent dans les formules

DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS. 3l

d'Euler et Fourier un autre sens que celui qui a été adoplé ici, je les désigne par le nom de séries de Fourier généralisées. Je ne m'en occuperai pas; non pas parce que ces séries sont moins intéressantes que les autres, mais parce que je n'aurais presque rien à en dire(<).

J'exprimerai la correspondance entre une fonction et sa série de Fourier par la notation

f(oc) ~ - a -h («! cos.r -h b\ sinrr) -h (a ± cos'ix -h b t sinsa?) -h. . .,

empruntée à M. Hurwitz et qu'on peut énoncer : f(x) a pour

série de Fourier la série -a Q -\- (a { cosx -f- b K sinx) -f-

Rien, dans ce qui précède, ne nous permet d'affirmer que le signe r^j peut être remplacé par le signe = pour toutes les fonctions qui ont une série de Fourier ( 2 ); nous rechercherons dans les Chapitres II et 111 des conditions sous lesquelles la série de Fourier d'une fonction f est convergente et représente f. On a parfois prétendu prouver la convergence des séries de Fourier par des arguments physiques ; par exemple, on a dit : une fonction f(x) de période itz et continue peut être considérée comme définissant la position au temps x de l'extrémité d'une lame vibrante. Cette lame rend un son qu'on peut décomposer en sons simples (un son fondamental et ses harmoniques) qui correspondent à des mouvements pour lesquels /(x) seraient remplacés par des fonctions

(*) X l'occasion du sens à donner au signe / dans les formules d'Euler et

Fourier, la notion de l'intégrale a éié précisée par Clairaut, Fourier, Dirichlet, Riemann.

( 2 ) Gela a été cependant admis parfois. Par exemple, bien qu'il parle à certains endroits de la nécessité de démontrer la convergence des séries trigonométriques qu'il forme, Fourier semble admettre que toute fonction qui a une série de Fourier peut être représentée par cette série. Avant lui, Clairaut écrivait au sujet de la méthode de détermination des coefficients indiquée au n° 17 : « Un avantage de la formule précédente, c'est l'universalité de la construction qu'elle donne; elle est telle qu'on peut l'appliquer à des fonctions de t beaucoup plus compliquées que celles que l'on a traitées jusqu'à présent. Dans les cas où la loi de la fonction ne sera pas même donnée algébriquement, dans ceux où la courbe qui l'exprime ne seroit donnée que par plusieurs points, notre manière de résoudre la série s'appliqueroit avec autant de facilité. »

de la forme p p cosp(x — h p ). Donc f{x) est une somme de telles fonctions.

11 est évident que cet argument ne peut remplacer une démonstration mathématique. D'ailleurs, et cela infirme tout essai de ce genre, il existe des fonctions continues non développables en série trigonométrique ; cela résultera des Chapitres IV et V (*).

(') Dans un Mémoire de M. Boussinesq {Journal de Liouville, 1881) on trouvera d'autres arguments e» faveur de la convergence des séries de Fourier. Je signale la méthode employée au paragraphe I de ce travail; quand on la développe rigoureusement comme Ta fait M. P. Staekei {Nouvelles Annales de Mathématiques, 1902), cette méthode, qu'on peut rattacher à un théorème de Riemann [voir Lebksgue, Sur les séries trigonomé triques {Annales de l'École normale, 1903)], est susceptible de conduire à une démonstration de la convergence des séries de Fourier, valable dans des cas étendus et qui est la plus simple et la plus intuitive que je connaisse.