I. — Sommation de séries trigonométriques
20. Généralités. — Lorsqu'une série tri g ono métrique est donnée par la loi de ses coefficients, on ne sait pas, en général, reconnaître si elle est convergente et encore moins calculer sa somme. Mais, lorsque la loi des coefficients est très simple, ce qui arrive fréquemment dans les applications, on peut parfois calculer la somme de la série à l'aide d'artifices qu'il est bon de connaître et qui ont permis de sommer bien des séries trigonométriques avant les recherches générales sur les séries de Fourier. Ces artifices manquent de rigueur; il serait souvent facile de compléter les raisonnements, mais cela est tout à fait inutile, car, lorsque ces artifices nous ont fait prévoir que la série trigonométrique donnée représente probablement telle fonction f{x), nous pouvons vérifier que cette série est la série de Fourier def(x) et, par conséquent, nous pouvons appliquer les caractères de convergence qui seront donnés plus loin.
21. Procédé d'Euler et de Lagrange. — Je prends comme exemple la série (C)
(G) cosa? — - cos3a? -h - cosSa? — ....
Cette série est la partie réelle de )a série (Z)
34 CHXPITHK II.
quand on y fait z = e ix \ alors la partie imaginaire de (Z) est (S) (S) sin.r — - sin \x -\- - sin r )X. . . .
Or on reconnaît la série (Z); c'est celle qui représente la détermination de arc tang 'Z, holomorphe dans le cercle | z | < i , qui est nulle pour z = o.
Si l'on ne se rappelait pas ce que représente (Z), il suffirait de dériver la série (Z) pour retrouver sa valeur :
JÇ Z dz i C z dz i C z dz i tJ i-\-iz ] r = - / . H / . = JL 7— 1-4-2* 'lj l+Zl 2,/ l—Zl A^l—lZ
i \ I i -+- iz I . f / i -f- iz \ . ~](
= ' J :— -H M ai £ ( — H- 1 kit [ ,
en désignant, suivant l'habitude, par | a| etarga le module et l'argument de a. Comme il s'agit de la détermination holomorphe dans le cercle | z \ < i , on doit prendre k = o. Pour z = e ix , on a
i — tanc -
i -h iz . cos:r . •>.
r- = i : = i = i tan g
i — iz i -h sin x x °
i -+- tan»; -
. ic * „ T ^ a" 1 I
arc tang* = ± - — - J v tang - — - ;
dans cette formule on doit prendre -h 7 ou suivant que
tang ( - — - j est positive ou négative.
En définitive, nous trouvons que (C) représente -f- - dans ( — 7> -h ; ) et — ^ dans ( ~, -^j; pour x = ± - (C) a évidemment une somme nulle. Quant à (S), sa somme peut toujours
s écrire
K tangî (I^) ;
pour x = ± - la série est divergente.
Cette méthode est celle que l'on emploie le plus souvent dans la pratique; elle s'applique à toutes les séries trigonométriques qui correspondent aux séries entières que l'on sait sommer, par
exemple à celles qu'on déduit par des dérivations, des intégrations ou des changements de variables, des progressions géométriques, des séries exponentielles, des séries hypergéométriques.
Lagrange, qui, avec Euler, l'a employé l'un des premiers, présente cette méthode autrement ( * ).
Pour sommer la série (C), Lagrange y eût remplacé cosnœ par
çinx ^ ç—inx
> il aurait été ainsi conduit à calculer la demi-somme
des valeurs de (Z), pour z = er 1 '*.
Que l'on donne à la méthode l'une ou l'autre forme, elle n'est rigoureuse que si l'on a étudié, pour | z \ = i, la série qui joue le rôle de (Z). On n'étudie guère dans les Cours la série (Z) que pour | z | <[ i ; aussi notre méthode de sommation appliquée à (G) et (S) n'est pas entièrement légitimée. Dans ce cas particulier elle conduit à un résultat exact; mais, dans d'autres cas, elle peut conduire à des résultats incorrects; c'est ainsi que Lagrange écrivait l'égalité
o = - -+- cos x -+- cos i x h- ... ,
alors que la série du second membre est divergente, comme on le voit en calculant la somme de ses a premiers termes ( 2 ).
22. Procédé de F ourler. — Quand on a sommé une série trigonométrique, on en déduit par des intégrations et des dérivations de nouvelles séries qu'on sait sommer. Je n'insiste pas sur ce procédé; il manque de rigueur parce qu'une série trigonométrique n'est pas, en général, dérivable terme à terme (n° 54).
Pour le cas de (C) Fourier a employé un procédé intéressant, qu'on peut utiliser dans d'autres cas.
Soit S m la somme des m premiers termes {m impair), on a
dS m . or • n siwzmx —. — = — smx -+- sin3# — sin5# -h. . .-+- sin(2/n — \)x = >
dx 2COS3?
(*) Voir son premier Mémoire : Sur la nature et la propagation du son .(Œuvres, t. I, p. 109).
( 2 ) Il faut remarquer que, si ta méthode peut conduire à attribuer une somme à une série divergente, elle ne peut jamais conduire à attribuer une somme inexacte à une série convergente; cela résulte d'un théorème d'Abel qui est rappelé un peu plus loin (n° 25): voir aussi ( n* 31).
d'où
~ r sin'2 mx
dx.
Intégrons plusieurs fois de suite par parties en considérant sxnzmx dx ou cos2mx dx comme une dérivée; nous rencontrerons des difficultés provenant de ce que cos.r s'annule, nous ne nous en préoccuperons pas et nous trouverons que 2 S™ égale une constante plus la somme des premiers termes de la série
cosama? sec x h — - — - sina/arr sec x H — - — - cosimx sec x -f-. . . 7
où les accents indiquent des dérivées, plus une intégrale complémentaire. Fourier admet que cette intégrale complémentaire tend vers zéro, quand on prend de plus en plus de termes; il admet donc que la série précédente représente S, w . Or, quand on y fait m = 00, elle se réduit à une constante, la somme de (G) est donc indépendante de x.
Les valeurs exceptionnelles x =± - sont évidentes; il suffit alors de voir à quoi se réduit la série pour x = o ou ïï pour en conclure que ( C) égale -f- - dans f — 7 » 7 ) et — j dans ( - , 3 r ) •
La méthode de Fourier est sujette à bien des objections, et il ne serait peut-être pas très difficile d'imaginer des exemples où elle conduirait à écrire une égalité inexacte, mais il ne faut pas oublier que, comme la méthode précédente, elle a permis, avant les recherches générales sur les séries de Fourier, de sommer les séries trigonométriques les plus simples, celles qui sont aujourd'hui encore les plus importantes pratiquement. La série (C) a été sommée pour la première fois par Fourier.
On trouvera d'autres sommations intéressantes dans le Mémoired'Abel Sur la série du binôme (Journal de Crelle, t. 1).
