Principe de la méthode, — Pour que les séries de Fourier

puissent servir à la représentation des fonctions continues, il faut que, une série trigonométrique étant donnée, il y ait tout au plus une fonction continue admettant cette série pour série de Fourier.

Il est bien clair, en effet, que, si deux fonctions continues différentes avaient la même série de Fourier, elles ne pourraient être toutes deux égales à la somme de cette série, et cela quel que soit le procédé employé pour attacher une somme unique à la série, que ce soit le procédé ordinaire ou tout autre procédé de sommation. Nous nous assurerons tout d'abord qu'une fonction continue est déterminée par sa série de Fourier.

Ceci fait, il nous suffira de rechercher à quoi l'on peut reconnaître qu'une série trigonométrique, donnée par la suite de ses coefficients, est uniformément convergente, et dans quels cas les conditions ainsi obtenues sont remplies par la série de Fourier de f. Lorsqu'on se trouve dans l'un de ces cas, la fonction continue y est représentable par sa série de Fourier; nous savons, en effet, qu'une série trigonométrique uniformément convergente est la série de Fourier de la fonction continue qu'elle a pour somme, cette somme ne pourra être différente de f.

24. Détermination d'une fonction par sa série de Fourier. — S'il existait deux fonctions continues différentes ayant la même série de Fourier, leur différence serait une fonction continue non partout nulle et dont la série de Fourier serait identiquement nulle; il faut démontrer que ces conditions sont incompatibles. En d'autres termes : il faut prouver qu'il y a contradiction à admettre à la fois que/(.r) est une fonction continue non partout

nulle, et que l'intégrale / f(x)<p(x)dx est nulle quand ®(x)

égale cospx ou s'mpx, quel que soit l'entier /^, positif ou nul.

De la première hypothèse il résulte que, dans (o, 2 7t), on peut trouver un intervalle (a, b) dans lequel \f\ surpasse un nombre m non nul. Nous supposerons que/est positive dans (a, 6), ce qu'on réaliserait au besoin en changeant/' en — /. De la seconde hypothèse il résulte que l'intégrale considérée serait aussi nulle si l'on y remplaçait ®(x) par une suite finie de Fourier (*) ou encore, ce

(*) C'est-à-dire une série trigonométrique limitée.

qui revient au même, par un polynôme quelconque en cos;r. Prenons

çp = <]>", ^ = l -f- COS ( X J —

cos

ty est supérieure à i dans («, b); dans (o, a) et (6, 27t), |^| est inférieure à i. Quand on fait augmenter indéfiniment l'entier n, © croît indéfiniment dans tout intervalle (a, j3) complètement intérieur à («, A), et, comme dans (a, b) /surpasse m, la contri-

! fv dx augmente

indéfiniment. Au contraire, la contribution de (o, à) et (6, 2ir) dans la même intégrale est toujours, en valeur absolue, inférieure à (arc — 6-f-a)M, si le module de f ne surpasse jamais M; il

est donc impossible que / f®dx soit nulle quel que soit n.

Deux fonctions continues différentes ont des séries de Fourier différentes.

En poursuivant le raisonnement, on verrait que deux fonctions ne peuvent avoir la même série de Fourier que si elles diffèrent seulement aux points d'un ensemble de mesure nulle; il est d'ailleurs évident que, dans ce cas, les deux fonctions ont effectivement la même série de Fourier. Cette généralisation sera obtenue incidemment plus tard, mais on peut observer que ce qui précède suffit pour démontrer que deux fonctions, n'ayant qu'un nombre fini de points de discontinuité et qui ont la même série de Fourier, ne diffèrent qu'en certains de leurs points de discontinuité.

25/ Ti

v ransformation d'Abel. Théorème de la moyenne. — Le terme général d'une série trigonométrique de sinus ou de cosinus se présente sous la forme d'un produit de deux facteurs. Il en est de même, pour le terme général d'une série entière et de bien d'autres séries; aussi est-il utile d'avoir des renseignements généraux sur les séries de la forme

U V -h UiVi-\- M 2 i> 2 -|-

On peut, évidemment, affirmer la convergence absolue d'une telle série quand, la série Sw, étant absolument convergente.

|e/| est bornée, c'est-à-dire quand |t>/| est, quelque soit i, inférieure à un nombre fixe N.

S'il s'agit d'une série à termes variables, on pourra affirmer la convergence absolue et uniforme quand |t>/| sera uniformément bornée, ce qui veut dire que N doit être indépendant de i et des variables, si, de plus, la série 2 | u t <| est uniformément convergente; ou bien quand vi tend uniformément vers zérj pour / croissant indéfiniment, et que, de plus, 2| w\ est convergente, sa somme étant uniformément bornée (je dirais simplement 2|i//| est uniformément bornée).

Aces cas de convergence évidents on peut en ajouter d'autres obtenus par l'emploi d'une transformation qui semble avoir été utilisée tout d'abord par Euler, et dont l'importance a été bien mise en évidence par Abel, d'où le nom de transformation a" A bel qu'on lui donne généralement. Posons

7 p =p„+^ + ... -t-i^, ui = M/-H, -h lui ; on a l'identité évidente

M fo+Wi» , i + ...+ ««f,j= Aa <*o ■+■ A"! <ii -+- . . . -h Aa,i t <j n , -f- u n a n ,

qui transforme une somme de n -+- i produits en une somme analogue. Si l'on faisait jouer aux <r le rôle des v, aux lu le rôle des // ; et, si l'on rangeait en ordre inverse les termes du second membre, la transformation d'Abel, qui vient d'être indiquée, permettrait de repasser du second membre au premier.

Si Ui*i tend vers zéro avec -> la série proposée Sci/t*/ sera

convergente en même temps que la série 2 Au/?/, que lui fait correspondre la transformation d'Abel; si M/07 tend uniformément vers zéro, de la convergence uniforme de l'une on pourra conclure à la convergence de l'autre. En appliquant à 2 Ai//?/ les conditions de convergence déjà trouvées on a pour 2 w/t>/ de nouveaux cas de convergence que j'énonce :

La série 2u<o; est convergente si <t,m, tend vers zéro, si |t>/| est bornée et si, de plus, 2Aw/ est absolument convergente.

La série Scif-p/ est uniformément convergente si 07 tend uniformément vers zéro, si 2|Ait/| est uniformément bornée ainsi que \iit\\ ou encore si |ov| est uniformément bornée, si 2|Aw £ | est

4o CHAPITRE II.

uniformément convergente et si, de plus, <t £ m/ tend uniformément vers zéro.

La transformation d'Abel peut être appliquée de bien des manières; d'abord on peut faire jouer aux u le rôle des v et inversement et puis on peut remplacer m par ot/w/ et *>/ par — » a/ étant

une fonction de i convenablement choisie ; dans la pratique il y a souvent avantage à prendre ot/= ( — i) 1 . D'autres fois il est légitime et avantageux d'appliquer la transformation d'Abel plusieurs fois de suite, ce qui conduit à des conditions de convergence où interviennent les différences d'ordre supérieur des nombres «/.

Voici l'application la plus connue de la transformation d'Abel. Supposons que, dans certaines circonstances qu'il est inutile de préciser, les ut bornés tendent tous vers i et supposons que les t>; soient constants et forment une série convergente de somme <r; demandons-nous dans quelles conditions 2m,-p,- est uniformément convergente, auquel cas 2m,-C| tend vers t = Si 1 /.

D'abord, quand S| m\ est uniformément bornée; ensuite, comme

dans le cas où m tend vers zéro avec - et où S|Aw/| est uniformément bornée, on peut écrire

S UiVi = 2<j,- Aw,= <jv q — 2(<j — <j() Aa, ;

quand ces conditions sont réalisées, la convergence est uniforme. /

En faisant Vi=.aix\ et ii(= l — ) on a la démonstration classique du théorème d'Abel sur les séries entières qu'on va bientôt utiliser (n° 31). Le théorème général sera utilisé au n" 58.

Voici une autre conséquence de la transformation d'Abel. Supposons les nombres u Q1 u { , ..., u n positifs et décroissants, notre identité fondamentale montre que la somme

est comprise entre les deux produits obtenus en multipliant le plus grand et le plus petit des nombres <r , o-, , . . ., or,, par

Aw -*- Awt-H. . .-+- A« a i ■+■ u n = u .

Considérons alors une intégrale de la forme / uv dx, dans

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES SÉRIES DE POUR1ER. f\\

laquelle // est une fonction positive décroissante (*); divisons (a, 6) en n -\- 1 segments égaux, de longueur h. Soient u v , U\ ^«, ^2^2? ••• 'es valeurs de la fonction à intégrer pour les origines des segments; /i2„ sera une valeur approchée de l'intégrale à calculer. Cette valeur approchée est comprise entre le plus petit et le plus grand des nombres u h<Ti; comme A 07 est une

/a -+- ih „ \

v dx et que / v dx est fonction con- «/»

tinue de Ç, nous concluons que l'on a

Jf uv dx = u(a) I v dx, a J<t

$ étant compris entre a et h.

Cette égalité est connue sous le nom de second théorème de la moyenne; elle est due à Ossian Bonnet qui Ta donnée dans son Mémoire Sur les séries trigonométriques (Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie de Belgique, t. XXIII). Weierstrass a indiqué un autre énoncé qui, grâce surtout aux recherches de P. du Bois-Reymond, de MM. Dini et Jordan, est maintenant l'un des plus généraux que l'on connaisse concernant les fonctions intégrables au sens de Riemann. Ce théorème a servi de base à plusieurs des recherches sur les séries de Fourier; comme je ne m'en servirai pas dans la suite je ne m'y arrêterai pas davantage et, pour ce qui le concerne, je renverrai le lecteur au second Volume du Cours d'Analyse de M. Jordan.

Du second théorème de la moyenne nous n'utiliserons que cette conséquence : on a

uv dx

S Ut?,

U étant le maximum de | u | dans (a, b) et "v? le maximum de

I r P / v dx quand a et [3 varient entre a et 6. Sous cette forme

( l ) Je ne m'occupe ici que d'une intégrale au sens de Riemann.

il CHAPITRE II.

notre théorème suppose seulement u monotone (n° 3) et de signe constant.

/ 26. Condition de convergence d'une série trigonométrique. '— Une série trigonométrique peut toujours être considérée comme la somme de deux séries dont l'une ne contient que des cosinus et l'autre que des sinus: étudions séparément ces deux séries. Soit donc la série

a -h a,\ cos x -h a t cos >,x -+-... ;

elle est évidemment uniformément convergente quand la série S/i/ est absolument convergente. Ce cas de convergence se déduit des résultats précédemment obtenus en posant «,== f//,

v = -, Vi= cosix ('); faisons maintenant la transformation

d'Abel en conservant ces notations, alors (voir n° 17, en note)

sin('2* -h i) —

<r/= — h cosa? -+-...-+- cosia? = •

•2 si n -

\?i\ est uniformément bornée dans tout intervalle ne contenant aucune valeur congrue à zéro. Donc, dans un tel intervalle, la série considérée est uni/or nie ment convergente si 2|a, — #i+i |

est une série convergente et si ai tend vers zéro avec -•

Cela a lieu en particulier quand les a, sont tous de même signe et vont constamment en décroissant jusqu'à zéro.

Prenons maintenant v = -> Vi= ( — i)' cosj\r, nous aurons