COS
donc, dans tout intervalle ne contenant aucune valeur congrue
(') Bien entendu ici, comme dans le numéro précédent, i est un entier; on n'a pas ï 2 -*-! = o.
à 7r, la série est uniformément convergente si 2 1 a ( - + ai+1 1 est convergente et si ai tend vers zéro avec -•
Cela a lieu, en particulier, quand les ai sont à signes alternés et que | tzj| décroît constamment jusqu'à zéro.
Les valeurs exceptionnelles x = o, .r =tz doivent être examinées à part. Remarquons encore que les deux procédés qui viennent d'être employés pour appliquer la transformation d'Abel ne sont pas essentiellement différents ; on passe de l'un à l'autre en changeant x en 7c -\- x.
Si l'on opère d'une manière analogue pour la série
b\ sin x -+- bi si n 2 x -h . . . ,
on trouve que cette série est uniformément convergente, dans tout intervalle ne contenant aucune valeur congrue à zéro, si bi tend
vers zéro avec -r et si Sj bi — 6/ +l | est convergente; elle est uniformément convergente dans tout intervalle ne contenant aucune valeur congrue à tc, si bi tend vers zéro avec - et si S|6|-f- 6/+i |
est convergente. Ici l'on est toujours assuré de la convergence pour les valeurs exceptionnelles o, tc, mais il se peut que la convergence ne soit pas uniforme autour de ces valeurs; nous en verrons un exemple d'ici peu (n° 28, en note). /
Pour que la transformation d'Abel conduise à une série de forme simple, il est* bon, quand on l'applique à une série de sinus, de prendre un terme v différent comme forme des autres termes Vi, ainsi que nous l'avions déjà fait pour les séries de cosinus. On
pourra prendre, par exemple, v = — -cot^> Vi= s'mix ou v 9 = -tangx, Vi= ( — i)'sinj\r, ce qui donnera pour <r £ les deux
valeurs
cos(-îi-+- 1)— sin(2*-+-i) —
cr /= — , */=(-!)' j- 1 -
2 sin — 2 cos -
En prenant ces précautions, la transformation d'Abel appliquée à une série de sinus ou de cosinus conduit à une nouvelle série de sinus ou de cosinus pourvu qu'on en multiplie chaque terme par
2 sin- ou 2 cos-- Cela permet d'obtenir de nouveaux cas de con-
vergence.
Partons, par exemple, de la série Sa/ cos ix; pourvu que attende vers zéro, nous la transformons en S(a/ — #i+i) sin (21" 4- 1) -
ou en S( — i) 1 («/-+- ai +l ) cos( 2 1 -h 1)- • Sans nouvelle hypothèse,
nous avons le droit d'appliquer encore la transformation d'Abel, et l'on voit que la série proposée est uniformément convergente
dans tout intervalle ne contenant aucune valeur congrue à o, -> 7T, — y si l'une des séries
ï(a/-2a/+, + a/ +î ), 2(a,--f- aa/ +1 + «/+«), 2 (a/— «,-+»)
est absolument convergente. Laissons de côté le caractère de convergence relatif à (a/ — #1+2), les autres caractères trouvés font intervenir, comme on devait s'y attendre, les différences secondes
de l'une des deux suites « , a,, a 2j ... ; a ? — #n «2? — «s?
Le caractère général de convergence que l'on obtient est donc le suivant : la série S ai cos ix est uniformément convergente dans tout intervalle ne contenant aucune valeur congrue
à -^ {/> entier) si ai tend vers zéro et si V une ou Vautre
des deux séries 2A"<7/, SA"[( — i)'<z*] est uniformément convergente. Un théorème analogue est vrai pour les séries de sinus.
Le caractère de convergence fourni par la série 2 (a/ — #1+2)? auquel les procédés indiqués conduisent de deux manières différentes, n'est pas essentiellement nouveau ; c ? est celui que l'on obtient en appliquant le théorème sur les différences premières à la série Sai cos ix après l'avoir décomposée en deux séries
S ai,- cos lix, 2a 2 /+i cos (21 -+- i)x.
Or il est évident que cette décomposition et les décompositions analogues conduisent toujours à des séries auxquelles on peut appliquer ce théorème, parce que notre raisonnement supposait uniquement 07 bornée et que cette condition est remplie si l'on prend Vi égale à cos (ip -\-h)x ou à s\u(ip -+- h)x, que p soit égal
à i et h à o, comme dans le cas examiné précédemment, ou que cela ne soit pas.
Les résultats relatifs aux différences premières s'appliquent encore si Ton change dans leurs énoncés a n en a f ,0L n lorsque la
série \j es * uniformément convergente, parce que, en pre-
nant i>,- = — , 07 est évidemment bornée. Par exemple, des
résultats indiqués il résulte que la série ^ est uniformément
convergente, sauf autour des valeurs congrues à o, donc une série de cosinus est uniformément convergente, sauf autour de ces valeurs, si na n tend vers zéro et si 2[na fi — (n -h i)a„ +i ] est une série absolument convergente. Une telle remarque peut être utile parce qu'elle conduit à une vérification simple de la convergence uniforme de certaines séries, mais les caractères de convergence que l'on obtient ainsi sont en général plus particuliers encore que ceux que j'ai indiqués.
27. Ordre de grandeur des coefficients d'une série de Fourier. — Soit /une fonction à variation bornée (n° 4), elle est la différence de deux fonctions bornées monotones de signe constant «, et <f 2 - Comme l'on a
I cosnx J a.
dx
I sin/i^ — sinsia
l'inégalité qu'on a déduit du théorème de la moyenne (n° 2o) donne, en appelant M| la limite supérieure de | cp, |,
f <pi cos/ia? dx
La même inégalité a lieu quand on remplace cos/i# par sin/i#; des inégalités analogues sont vraies pour cp 2 , donc aussi pour f=®i — cp 2 ; de là il résulte que, dans les conditions indiquées, les coefficients du n iem * terme sont inférieurs en valeur absolue
à-, A ayant été convenablement choisi.
