PI'P
(') r =/i(p,pbp2),
Les variables p, p), p.y constituent ce que Lamé a appelé un système de coordonnées curvilignes des points de l'espace. Les surfaces de paramètres p, pi, p2 se coupent généralement sous des angles variables; si l'on veut qu'elles se coupent à angle. droit, il sera nécessaire et suffisant que l'on ait
dx dx dy dy dz dz
, , , dx dx dy dy dz dz
dp dp2 dp dpî dp dpi dx dx dv dy dz dz
dpi dp dpi dp dpi dp
Ces trois équations fondamentales pourraient remplacer le sys-
Lème (i) du Chapitre précédent. Elles conduisent évidemment à la conséquence suivante :
Pour que le système de coordonnées curvilignes déjlni par les formules (i) soit entièrement orthogonal, il faut et il suffit que le carré de l'élément linéaire de l'espace
exprimé en fonction des différentielles <ip, â?p,, c/po, ne contienne pas les rectangles de ces différentielles, c" est-à-dire soit réductible à la forme
Ce point étant rappelé, considérons un plan mobile (P) qui roule sur une développable et supposons, pour fixer les idées, que ce plan mobile soit le plan des xy d'un trièdre mobile (T) (*). Si la position de ce trièdre dépend d'une variable p, qui joue le rôle du temps, et si l'on désigne, suivant l'usage, par \, i], (^ les translations, par /?^ q^ ries rotations du trièdre mobile, un point invariable du plan des xy aura un déplacement dont les composantes seront
(? — ry) dp, (T,-i-rx)dp, (K -^ py — qx)dp.
Pour que le plan roule sur une développable, il faut que les vitesses de tous ses points soient normales au plan. Il faut donc que l'on ait
Alors un point variable du plan des xy aura pour composantes de son déplacement
dx, dy, {X^+py — qx)dp\
de sorte que l'élément linéaire de l'espace sera donné par la formule
(4) ds'>-=dx''-'-^dy^-^(X+py—qx)'>-dp'>'.
Si maintenant on substitue k x el y des coordonnées curvi-
(') Pour la théorie du trièdre mobile, voir le Livre I" de nos Leçons sur la théorie des sur/aces. Nous y reviendrons d'ailleurs plus loin.
SYSTÈMES TRIPLES COMPRENANT UNE FAMILLE DE PLANS. 3l
lignes orthogonales quelconques dans le plan, p, et pa, on aura
et l'expression de l'élément linéaire prendra la forme
(6) ds^= El dpi ^ ni dpi + {1^ + p^^— q <fiy dp\
qui met en évidence la proposition établie plus haut par des considérations géométriques.
20. Proposons-nous maintenant d'écrire les équations qui déterminent tous les systèmes orthogonaux précédents et commençons par écarter le cas où le plan (P) demeurerait parallèle à un plan fixe. Les deux familles qui complètent le système triple seraient alors composées de cylindres orthogonaux ayant toutes leurs génératrices rectilignes perpendiculaires au plan fixe.
Si le plan (P) enveloppe un cylindre, on pourra, en supposant ce cylindre parallèle à l'axe des :;, employer les formules suivantes :
Si l'équation du plan est mise sous la forme
(7) — X sinp -H Y cosp = F'(p),
les trajectoires orthogonales du plan s'obtiendront en adjoignant à cette équation les deux suivantes :
X cosp H- Y sinp = F(p) -4- A,
où A et B désigneront deux constantes arbitraires. Si l'on fait varier ces constantes en même temps que p, on trouvera
(9) f/X2-+-rfY2-^^Z2 = ^A2+rfB2-|-[F(p) + F''(p) + A]2^p2.
Il suffira ensuite, pour obtenir le système triple le plus général comprenant la famille des plans (P), de remplacer A et B par deux coordonnées curvilignes orthogonales telles que l'on ait
(10) dk^ -\- dB^^Uldpl -h lil dpi.
Supposons maintenant que le plan (P) enveloppe une développable non cylindrique. Alors, si l'on mène par un point fixe O
un plan (F) parallèle au plan (P), ce plan (P') coupera la sphère de rayon i et de centre O suivant un grand cercle variable qui demeurera orthogonal à une famille de courbes sphériques parallèles.
Ces courbes ne pourront certainement être planes ; soit (y') l'une d'elles.
Si l'on suppose que l'origine des coordonnées ait été placée en O, et si l'on désigne par x, y, z les coordonnées d'un point de (y')? on aura ici
(II) a72+j2| -2=: ,.
Désignons, suivant l'usage, par s l'arc de cette courbe, par «, a\ a", 6, b\ h" , c, c', c" les cosinus directeurs de la tangente, de la normale principale et de la binormale à cette courbe,
par - et - la courbure et la torsion. On aura, comme on sait,
^ ^ ds ' p Vt p/ z
et les équations analogues en «', b', c', a\ h" , c" . En différentiant successivement l'équation (i i) et tenant compte des formules (12), on obtiendra les équations
Comme on a l'identité suivante :
{ax -{- a'y -\- a" z)^-^ {bx -^ b'y -\- b"zy--{- {cx-i-c'y -^ c" zf = i,
dans laquelle le premier carré est nul, on peut toujours introduire une variable auxiliaire vi telle que l'on ait
( b X -^ b' y -^ b" z = — ?,\nr,^
{ ex -^ c y -t- c s = cosï),
c'est-à-dire, en comparant aux deux dernières (i3),
ds (l5) p = siniQ, rfr]=— -.
ax
bx^b'y
ex
T dp ds
Il suit de là que, dans toute courbe sphérique, on peut évaluer
/ds — L'explication de ce résultat est
très simple : la courbe décrite sur la sphère par le pôle du plan
ds osculateur, courbe dont l'arc a pour différentielle — > est précisément la développée sphérique de (y).
21. Revenons au plan (P) et remarquons que, par construction, il est, à chaque instant, normal à la tangente correspondante de (y'). Son équation peut donc s'écrire
(i6) aX + a'Y -^a"Z = ii,
u dépendant de la même variable que a, a', a", .... Pour chaque trajectoire orthogonale on doit avoir
dX d\ dZ a a' a"
ou, ce qui est la même chose,
cdX-\-c'dr{ -^c"dZ =o.
^'~'* ' bdX + b'dY -i-b"dZ = o.
Posons, en introduisant une variable auxiliaire 9,
(18) cX + c'Y4-c"Z = 0,
Nous aurons, en différentiant, tenant compte des relations (11), (i5) et des équations différentielles (17)' de la trajectoire,
(19) bX + b'Y + b"Z=^,
(20) aX-\-a'Y-^a"Z=—^(o-^4-^
En comparant cette dernière équation à la première (16) et prenant 'f\ comme variable indépendante, on voit que l'on devra
et celte équation différentielle déterminera 9. Elle pourra s'intc- D. 3
grer si l'on a mis u sous la forme
(22) a=— £[cp(7))-!-(p"(7i)],
et nous donnera, avec deux constantes,
(23) 6 = Asinr) -h B cosTf) + ^(ï)).
Ainsi la trajectoire la plus générale sera donnée par les formules suivantes
cX -+- c'y -t- c"Z = a sinY) -+- Bcost) -f- cp(r,),
. ,. , 6X-I- 6'Y + ^'"Z = AcosTQ — B sinvj + cp'(rj),
«X + a'Y + a"Z =— - [<î>(Tr))-4- «)"(vj)]= m,
qui ne contiennent aucune quadrature et qui conduisent, si l'on fait varier A, B, •/;, à la relation
f/X2 4- ^2 + dZ^ = dA^ -f- dB^'
\— [ç'(y))-i- Acosï) — Bsinï)] dr^^.
Ici encore, pour obtenir le système triple le plus général, il faudra substituer à A, B des coordonnées curvilignes orthogonales pi et P2, comme nous l'avons fait plus haut.
Si l'on regarde, dans les équations (24), A et B comme des constantes, elles représentent respectivement : la première, le plan osculateur de la trajectoire orthogonale, la seconde le plan passant par la tangente et la binormale, la troisième le plan mobile luimême.
Si la courbe (y') et la fonction <^{t]) sont algébriques, il en sera de même de toutes les trajectoires orthogonales.
22. Les développements précédents nous permettent de ramener à de simples quadratures la solution du problème suivant :
Etant donnée a priori une famille quelconque de plans, déterminer les trajectoires orthogonales de ces plans et, par suite, les systèmes triples orthogonaux dont fait partie cette famille de plans.
On peut, en effet, prendre l'équation d'un plan quelconque de
la famille sous la forme
(26) ax -^ a! y -\- a!' z = u^
OÙ a, a\ a!' et u seront des fonctions d'un paramètre variable, assujetties à vérifier la relation
(27) «2 | ^'2 | ct"2 = I ;
si maintenant l'on construit les grands cercles intersections de la sphère, de rajon i, concentrique à l'origine, par les plans
on devra prendre pour la courbe (y') une quelconque de leurs trajectoires orthogonales. Or la détermination de ces trajectoires orthogonales dépend d'une quadrature, celle qui détermine l'arc de la courbe sphérique enveloppe de tous les grands cercles. Une fois connue la courbe (y'), il restera à intégrer l'équation (21), où a sera donnée; et cette nouvelle intégration exigera encore deux quadratures. Ainsi :
On peut toujours déterminer par trois quadratures les trajectoires orthogonales d'un plan mobile ou, ce qui revient au même^ les systèmes triples orthogonaux dont fait partie une famille donnée de plans.
23. Proposons-nous maintenant de trouver tous les systèmes orthogonaux qui comprennent une famille de sphères. Il faudra évidemment commencer par rechercher les trajectoires orthogonales d'une famille de sphères.
Soit, en coordonnées rectangulaires,
(28) (x — ay-+{y — by+{z — cY—r'i=o
Téquation d'une sphère mobile, a, b, c, /' étant des fonctions d'un paramètre u. Les courbes trajectoires orthogonales seront définies par les équations différentielles
d.v dv dz
jointes à l'équation précédente (28).
Si nous efTectiions la subslitiilion définie par les formules (3o) x—a = rX, y — b = rY, z — c = rZ,
les équations différentielles deviendront
da ,^ db de ,„
\- dX. \- d\ \-d7.
avec la condition
Il résulte immédiatement de cette première transformation qu'il j a une infinité de familles de sphères pour lesquelles la solution dépendra des mêmes équations différentielles en X, Y, Z; ce sont celles pour lesquelles les fonctions
I da \ db \ de
v du r du r du
auront la même valeur. Nous dirons que toutes ces familles sont similaires (' ).
Ainsi, si «<, ^,, C), r, désignent les valeurs que prennent a, b, c, r pour une autre famille de sphères, celle-ci sera, similaire de la première si l'on a
da dax db dbx de __ dey
^ ' r i\ r /"i /■ Ti
Étant données deux familles similaires, on passe des trajectoires de la première famille à celles de la seconde par la substitution
^ ^' r n ' r /•, ' /■ ri '
et l'on peut, en effet, vérifier par un calcul direct que si l'on effectue cette substitution en tenant compte des conditions (33), les équations différentielles (29) se transforment dans les sui-
(') Celte définition est empruntée à M. V. Rouquet. Voir à ce sujet les Leçons sur la théorie des sur/aces {1" Partie, Note de la page ii4).
vantes :
/35) tf.r. ^ dy, ^ dz,
xi — ai yi—bi zi—ci
OÙ l'on a
(36) ^oc^- a,y-+{y,-b,Y-^{zy- c,Y= r\.
Étant donnée une famille dont on connaît les trajectoires orthogonales, on peut employer la construction suivante pour trouver les trajectoires orthogonales de toute famille similaire :
Sur deux sphères correspondantes des deux familles on associe les points dont les coordonnées satisfont aux relations (34), c'est-à-dire les points pour lesquels les rayons des deux sphères sont parallèles. La correspondance ainsi établie entre les doux sphères est une homothétie, qui est directe si /' et r, sont de même signe, inverse s'ils sont de signes différents. Au reste, on peut obtenir très aisément le centre de cette homothétie.
Désignons par (F), (F,) les courbes lieux des centres des sphères appartenant à deux familles similaires. D'après les formules (33), les tangentes à ces deux courbes sont à chaque instant parallèles; par suite, la ligne des centres des deux sphères demeure tangente à une courbe (K.). Comme on a, d'après les formules (33),
ri dSy
ds et ds^ désignant les arcs élémentaires de (F) et de (F, ), on voit que le point de contact de la ligne des centres des deux sphères avec son enveloppe (K) sera précisément le centre d'homothétie cherché. On peut encore remarquer que ce centre d'homothétie sera à l'intersection de la ligne des centres des deux sphères et de la droite qui joint les centres de courbure de (F) et de (F,).
Quand on connaît une famille particulière de sphères, on peut^ sans aucune intégration, déterminer V ensemble des familles similaires.
Supposons, en effet, que l'on connaisse la courbe (F); la courbe (F,) pourra être construite sans difficulté; ce sera l'arête de rebroussement d'une développable dont les plans tangents
seront assujettis à l'unique condition d'être parallèles aux plans osculateurs de (F). Connaissant (T,), nous aurons aussi, grâce à l'une des propriétés précédentes, le centre d'homothétie des deux sphères correspondantes, et, par suite, nous pourrons construire les sphères ayant leur centre sur (F,). Analytiquement, on peut encore employer la formule
/'i dai r da
qui fait connaître r^ , en grandeur et en signe, lorsqu'on connaît r et les courbes (F), (F,).
24. Parmi les familles similaires à une famille donnée, il y en a toujours une infinité qui sont composées de sphères passant par un point fixe.
Si l'on considère, en effet, dans les équations (33) «, 6, c, r comme données, et a,, Z>), C), r, comme des inconnues, on aura seulement trois équations auxquelles on pourra toujours ajouter la suivante :
(38) af+èf-f-cf — rf = o,
qui exprime que la sphère passe à l'origine des coordonnées. On aura alors quatre équations pour quatre inconnues.
La démonstration suivante est plus précise.
Supposons que l'on connaisse une trajectoire orthogonale de la famille donnée, c'est-à-dire des fonctions ^o? ^oj -^o satisfaisant aux équations
/ dx^ dyo dzo
(3g) )xo—a y^— b z^—c
( (a7o— a)2-<-(jKo— ^')2-f-(^o— c)2 = r2;
et voyons si, dans la famille similaire, la trajectoire correspondante peut se réduire à un point, l'origine des coordonnées. Il faudra, d'après les formules (34), que l'on ait
l Xq— a ai J'o— ^__6i -Zo — c Ci
(4o) I l~~'~yx' r " n' r 7['
{ ri = af -H 6f -4-c|.
On tire de là (41) dX(, — da — ai d dax ■
En portant cette valeur de cIxq et les valeurs analogues de dy,^, dzo dans les premières équations (Sg), il viendra
da dai db db^ de dci r ^1 '■ ''i '' ''1
«1 ~ 61 Cl
Comme les rapports seuls de «, , 1 1 , <^t ? '"< sont déterminés par les formules (40)5 on pourra supposer que le numérateur du premier rapport soit nul, ce qui entraîne, comme il était facile de le prévoir, les relations
dai dbi dci r^ da " db de r '
lira.
, par exemple,
dai ai
da d(a — Xq) ^ dxo a — Xq a — Xq a — x^
En intégrant, il viendra
ai={a — Xo)e ^ ,
de sorte que la solution complète s'obtiendra par les formules
/• a — x^ b—yo e — Zq
Ainsi, dès que l'on connaît une trajectoire orthogonale d'une famille de sphères, une simple quadrature permet de déterminer la famille similaire dans laquelle cette trajectoire correspond à un point, qui est évidemment le point fixe par lequel passent toutes les sphères de la nouvelle famille.
25. Les propositions précédentes nous permettent de montrer comment on pourra, sans aucune quadrature, construire les familles de sphères les plus générales accompagnées de leurs trajectoires orthogonales.
En effet, toute famille de sphères passant par un point fi^je O
40 MVRE I. — CHAPITRE II.
peut toujours, par une inversion dont le pôle esl O, être transformée en une famille de plans. On aura donc une telle famille accompagnée de ses trajectoires orthogonales en soumettant à une inversion une famille de plans et leurs trajectoires orthogonales. De cette famille on pourra, par les constructions indiquées plus haut, passer aux familles similaires qui sont tout à fait générales. Les calculs correspondants sont tout indiqués. On remplacera soit dans le système (8), soit dans les équations (24), X, Y, Z
respectivement par —r — ^ -, — — "^ -, ■— — '^ -; ce qui
donnera, si l'on se borne, par exemple au système le plus général (24),
[ -i.{ax s^-^ a' yi-\- a" Zi)— u{x\ ^ y\ -^ z\) = o,
(45) < 2(6a;i-+-6'jKi-l-6"zi)— [Acosr, — B simr) +(f'(T))](a7f-+-7f-f-zf)=o, ( licxi-hc'yi-T- c" Zi) — [A sin-rj -i-B cosr^-f- '^{'r\)\{x\-i-y\-^z\) = o.
Puis on passera à la famille la plus générale par les relations
(46) ud\-\—- — --, udl — ) = L, udi * '
Le système (8), que nous avons négligé, donnerait les familles de sphères pour lesquelles le lieu des centres est une courbe plane.
On peut résoudre les équations (4^) de deux manières différentes, soit en se donnant arbitrairement rt et déterminant ensuite rt(, a',, a'I par des quadratures, soit en remarquant que la courbe décrite par le point de coordonnées a,, a\, a\ est l'arête de rebroussernent d'une développable dont les plans tangents sont parallèles aux plans osculaleurs de la courbe décrite par le point
de coordonnées -■, —■> —, ce qui permet d'écrire les valeurs de u u u ' ^
<2(, a',, a\ sans aucun signe d'intégration. L'une quelconque des
équations (46) fera ensuite connaître r<.
26. Il ne nous reste plus qu'à indiquer comment on pourra déterminer effectivement les trajectoires orthogonales d'une
— «1 JK2 — «'1 ~ Z2 — a'[ iiri
SYSTÈMES TRIPLES COMPRENANT UNE FAMILLE DE PLANS. 4l
famille de sphères donnée. Voici le procédé qui nous a paru le plus simple. Soit
l'équation de la sphère variable dont il s'agit de déterminer les trajectoires. En introduisant les variables imaginaires qui sont les paramètres des deux séries de génératrices rectilignes ('), on pourra poser
xy H- 1
xy + I
\ xy-\-\
En substituant ces expressions de X, Y, Z dans les équations difTéren lie lies des trajectoires
^X dX dZ
on trouvera que x el y doivent satisfaire aux deux équations
dx — x'^ d\(i —-xxd-ri — d^c,,
dy = y^d'q — -i.y dq — d'^o,
où l'on a posé
, . ^ da-v- idh
da — i dh ,.
de nr
de,.
En d'autres termes, x et jk devront être solutions de deux équations de Riccati. On voit donc que, si l'on connaît une seule trajectoire orthogonale, on aura, par cela même, une solution particulière des deux équations, et la détermination des autres trajectoires orthogonales sera ramenée aux quadratures.
Le résultat précédent peut s'expliquer par des considérations analogues à celles que nous avons développées ailleurs {■). Si l'on considère d'abord une famille de plans et si l'on fait se corres-
(') Leçons sur la Théorie des sur/aces (I" Partie, p. 87 et suiv.). (-) Leçons sur la Théorie des sur/aces (Livre I, Chap. III).
pondre, sur deux quelconques des plans, les points où ils sont rencontrés par une même trajectoire orthogonale, la correspondance ainsi établie est, nous l'avons vu (n° 17), celle qui existe entre deux figures égales. Si nous transformons par inversion, nous aurons la famille la plus générale de sphères passant par un point fixe; la correspondance établie entre deux des sphères, à l'aide des trajectoires orthogonales, sera, par suite, celle qui résulte d'une inversion, d'un déplacement et d'une inversion, c'est-à-dire, en définitive, d'un nombre pair d'inversions. Cette proposition s'étend immédiatement à une famille quelconque de sphères, puisque, dans deux familles similaires, les pieds des trajectoires orthogonales dessinent, sur les sphères correspondantes^ deux figures homothétiques. Ainsi :
Lorsqu'on considère comme correspondants, sur deux sphères d'une famille quelconque, les points où ces deux sphères sont rencontrées par une même trajectoire orthogonale, la correspondance ainsi établie équivaut à un nombre pair d'inversions.
C'est donc une correspondance avec similitude des éléments infiniment petits et il est facile de voir que c'est aussi une homographie (*). Pour toutes ces raisons, elle transforme les génératrices rectilignes de l'une des sphères dans les génératrices rectilignes de l'autre, et elle conserve les rapports anharmoniques de quatre génératrices quelconques. Supposons donc que l'on connaisse trois trajectoires orthogonales qui coupent une sphère déterminée (So) de la famille en trois points «oi ^o» <^o et une sphère variable (S) en trois points a, 6, c. Pour déterminer la trajectoire orthogonale qui coupe (So) en un point mo, il suffira de déterminer le point m de (S) par la double condition que les rapports anharmoniques des génératrices rectilignes du premier et du second système qui passent en a, b^ e, m soient égaux à ceux des génératrices du même système passant en «05 ^o? Co, Wq, c'est-à-dire soient des nombres constants. En éliminant par différentiation les deux constantes ainsi introduites on doit trouver, comme on sait, deux équations de Riccati.
(') Toute inversion appliquée à une sphère peut être envisagée comnne une homographie.
27. L'explication que nous venons de développer nous permettra de donner rapidement la solution du problème principal que nous avions en vue, c'est-à-dire la détermination de tous les systèmes triples orthogonaux comprenant une famille de sphères.
Après avoir construit l'ensemble formé par ces sphères et leurs trajectoires orthogonales, il suffira, pour obtenir les deux familles qui complètent le système orthogonal, de choisir une sphère particulière de la famille (Sq) et d'associer les trajectoires de telle manière qu'elles rencontrent sur cette sphère les courbes (Co) et (Dp) qui appartiennent respectivement à deux familles orthogonales quelconques. Il résulte en effet des remarques précédentes que la correspondance établie à l'aide des trajectoires entre la sphère (Sq) et l'une quelconque (S) des sphères de la famille, a lieu avec similitude des éléments infiniment petits. Aux courbes(Co) et (Dp) de (Sq) correspondront des courbes (C) et (D) de (S) se coupant à angle droit et, par suite, les deux familles de surfaces construites avec les trajectoires qui rencontrent respectivement les courbes (Cq), (Dq) se couperont partout à angle droit.
28. La question que nous venons de rencontrer et de résoudre à propos des trajectoires orthogonales d'une famille de sphères n'est qu'un cas particulier d'un problème plus général que nous allons examiner en terminant ce Chapitre.
Considérons, dans un espace à n dimensions, les sphères variables représentées par l'équation
OÙ rt , , «2, • ' ' i^rii f' sont des fonctions données d'un même paramètre. Si nous nous proposons de déterminer leurs trajectoires orthogonales, nous serons conduit au système d'équations différentielles
dxi dx^ dx,i
Xi «i 372 — «2
qui se rencontre dans différentes recherches de Géométrie. M. J.-A. Serret ( ' ) a eu à l'intégrer, pour /i = 4, dans la recherche
(') J.-A. Serret, Sur les surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont sphériques ( Comptes rendus, t. XLII, p. 109 ; i856).
des surfaces à lignes de courbure sphériques. Au Chapitre suivant, nous le rencontrerons pour «^ 5. Dans une Note publiée en i86i, M. O. Bonnet (') a montré que l'on peut mettre les fonctions tti, «2, . . ., a„, r sous une forme telle que l'intégration du système puisse s'effectuer par de simples quadratures. Nous allons compléter ce résultat en montrant que l'on peut obtenir le même résultat sans aucun signe d'intégration et sans introduire des imaginaires, comme l'a fait M. Bonnet.
Notre méthode est identique au début à celle que nous avons suivie pour les sphères aux n"* 23 et suiv.; si l'on pose ici
(55) fiZlii'^x,,
le système des équations (53), (54) prend la forme
(56) l^-^dX, ^+dX, ^+dX,.
l X, X2 Xn
de sorte que l'on pourra, ici encore, introduire la notion des familles similaires. Deux familles qui correspondront respectivement aux fonctions «/, /• et a'^ r', et pour lesquelles on aura
, , dai da'i
conduiront au même système (56); et, par suite, les trajectoires orthogonales de l'une des familles se rattacheront à celles de l'autre, à l'aide des formules
(58) xj-oj^ ^x\-cH (,-^,^2, ...,n).
Toutes les propositions établies plus haut pour les familles similaires subsistent ici sans modification. Si l'on connaît une famille de sphères caractérisée par les fonctions «/, r, il sera possible de déterminer, sans intégration, toutes les familles similaires. Il suf-
(') O. Bonnet, Note sur l'intégration d'une certaine classe d'équations différentielles simultanées {Comptes rendus, t. LUI, p. g-ji; 1861).
fira d'introduire n fonctions A, dont les rapports seront déterminés par les équations
(59) vA,c?ai=o, VA/<i2a,= o, V A^i^'î
puis de déterminer les a'i enjoignant à l'équation
(60) gA,a; = 0,
où 0 est une fonction arbitraire, les n — i équations
(61) ^aidkki = dk^ (^ = 1,2, ...,n — 1).
La comparaison de toutes ces équations et de celles qui s'en déduisent par différentiation nous donnera les relations
,„ , dox da-î dan
da\ ~ da'.^ ' ' ' da'^ '
auxquelles il faudra joindre, pour déterminer ;', une relation telle que la suivante
dai r
En appliquant sans modification les raisonnements du n'' 24, on démontrera que, parmi les familles similaires d'une famille donnée, il y en a une infinité composées de sphères passant par un point fixe. De sorte que, si l'on peut écrire sans aucun signe de quadrature les équations qui déterminent une famille de plans et l'ensemble de ses trajectoires orthogonales, on pourra d'abord, par une simple inversion, obtenir, sans aucun signe de quadrature, la famille la plus générale composée de sphères passant par un point fixe et l'ensemble de ses trajectoires orthogonales, puis passer de là à une des familles similaires, c'est-à-dire à la famille la plus générale de sphères dans un espace à n dimensions. Ainsi, nous sommes ramené à déterminer, dans cet espace, les trajectoires orthogonales d'un plan mobile.
Soit
(64) biXY-^ . . .-^ bnXn— U
l'équation de ce plan (P). Les trajectoires orthogonales devront satisfaire aux équations différentielles
Ici encore, on pourra reproduire la méthode employée pour le cas de trois variables. Si l'on a résolu le problème pour la famille de plans (P'), parallèles aux proposés et passant par l'origine, définis par conséquent par l'équation
(66) èia:*! -I-. . .-f- 6,jar;j = o,
on pourra, en mettant u sous une forme appropriée, le résoudre aussi pour la famille définie par l'équation (64). Car soient ^", x\^ ..., x" les valeurs correspondantes à une trajectoire du plan précédent (P')', on pourra toujours, comme nous venons de le faire, déterminer, avec une fonction arbitraire et sans aucun signe d'intégration, les solutions du système
dx^, dx\
dy„ dx^„
et en prenant
a = 6iji + ..
.-+- b/ifri,
on voit qu'une solution du système des équations (64), (65) sera fournie par les valeurs
Xi=J'i
des inconnues Xi. Il ne restera plus qu'à effectuer la substitution
(69) Xi = 7i+a^'i,
pour être ramené aux plans (P').
Dans ce cas, les équations (65), jointes à celle du plan, nous donnent
S Xi dxi = o, et, par suite,
Sx,- = consl.
Toules les trajectoires sont donc sphériques, et elles sont homoihétiques à celles qui sont situées sur la sphère de rayon i, et qu'il suffira de déterminer.
Il suffira donc de supposer la constante égale à i, et l'on aura à la fois
(70) Sxf=i, SbiXi=o.
Pour continuer, effectuons une inversion dont le pôle sera sur cette sphère et qui, par conséquent, la transformera en un plan. On verra facilement que cela revient à employer les formules suivantes :
de sorte que la première des deux équations (70) sera vérifiée identiquement, et que la seconde deviendra
(72) rl-^jl-^----^yh-i-i — '^^Y^ri=o.
Quant aux équations différentielles (65), elles se transforment dans celles qui définissent les trajectoires orthogonales de la famille de sphères représentée par l'équation précédente dans l'espace k n — i dimensions.
29. Nous pourrions nous arrêter là si cette famille était la plus générale dans l'espace k n — i dimensions. Mais il n'en est pas ainsi; car, pour continuer à employer le langage géométrique, la puissance de l'origine des coordonnées, par rapport à toutes les sphères précédentes, est constante et égale à — i. En d'autres termes, elles sont orthogonales à une sphère fixe, ayant pour centre l'origine et pour rayon y/ — i. Pour continuer notre recherche, nous allons démontrer la proposition suivante :
On peut toujours, sans aucune intégration, déterminer dans un espace donné la famille la plus générale formée de sphères (S) orthogonales à une sphère fixe donnée (S), et si-
milaire d'une famille de sphères (S') passant par un point fixe.
Soit n — I le nombre de dimensions de l'espace donné, et soit
(73) a:f + rr| + ... + a72 i = 7^2
l'équation de la sphère (S), k'^ pouvant être positif ou négatif. Soit, de même,
l'équation de la sphère variable (S), «1, «2? • • «5 ^n-{ et r étant des fonctions d'un paramètre. Pour que la sphère (S) soit orthogonale à (S), il faudra que l'on ait
(75) a\-^al-^...+ al, — r'-=k\ Soit, d'autre part,
l'équation de la sphère (S') similaire à (S). On petit supposer que le point fixe par lequelelle passe soit l'origine des coordonnées, ce qui donnera
Désignons par ^", . . ., 57)),, les coordonnées du point de (S) qui, dans la correspondance entre (S) et (S'), est homologue à l'origine des coordonnées. On aura
^? — di — a'i , .
et, à ces équations, il faudra joindre les suivantes :
, , dai da'i .
par lesquelles on exprime que les deux familles sont similaires. En tirant de l'équation (78) la valeur de x\ et en différenliant, on déduira des relations précédentes les suivantes
(80) dxl = — a'idi-,
On déduit encore de la comparaison des équations (78), (^9), la relation
da'i dat d{oi — a;") dx\
ai ai—x} ai—xl ai — x}
qui donne par l'intégration
ai—xi
La quadrature qui figure dans cette formule demeure évidemment la même pour toutes les valeurs de i\ remarquons qu'elle peut ici s'effectuer, car on a
dx\ dxl^ ^x\ dx\
a^ — x\ • aa-v — x%^ Siai-xf)x1 OU encore, en tenant compte des équations (78) et (75), dx'^ o^Sx^dxJ
ai — x'i A-î— S(a;?)2
«?Log[S(^o)2 A'.].
En effectuant l'intégration et portant dans la formule (81), il viendra donc
x9 — ai >• S(a70)2— /v2 S:rV (ar? — a,)
C désignant une constante introduite par l'intégration et que l'on pourrait d'ailleurs réduire à l'unité.
On déduit de l'équation précédente
(83) Sa'iX^ = C.
Si l'on remarque que l'on a d'ailleurs, en vertu des formules (80),
dx^ dx\ dxl^^ a\ «2 • • .— ^^,^^^
on voit que la courbe (G) lieu du point {x\^ . . . , ^",) sera l'une des trajectoires orthogonales du plan (P), défini par l'équation (83), plan qui est l'inverse de la sphère (S') par rapport à l'origine des coordonnées. Admettons qu'il soit possible d'écrire, sans aucun signe d'intégration, les formules qui déterminent, daus D. 4
5o LIVRE I. — CHAPITRE II. — SYSTÈMES TRIPLES, ETC.
l'espace considéré, un plan mobile et toutes ses trajectoires orthogonales. On voit qu'alors il sera possible d'écrire, sans signe de quadrature, l'ensemble des valeurs des ;r*) et des a\. Cela posé, on passera du plan (P) à la sphère (S') par une inversion, puis de la sphère (S') à la sphère similaire (S) à l'aide des formules précédentes qui nous donnent
Ainsi, il sera possible, comme nous l'avons énoncé, d'écrire, sans aucun signe d'intégration, les formules qui déterminent la sphère mobile (S), orthogonale à (S), et ses trajectoires orthogonales.
Toutes les opérations que nous avons successivement effectuées sont réversibles et purement algébriques; de sorte que l'on saura résoudre le problème proposé pour un espace à n dimensions dès qu'on saura le résoudre pour un espace k n — i dimensions. Nous avons d'ailleurs donné la solution pour le cas de trois dimensions ; nous pourrons donc l'étendre progressivement aux espaces d'un nombre de dimensions aussi grand qu'on le voudra.
Gomme nous l'avons déjà indiqué plus haut, nous aurons à appliquer, dans le prochain Chapitre, la proposition générale que nous venons d'établir. Elle permet aussi, il est facile de le reconnaître, de déterminer, sans aucun signe d'intégration, toutes les surfaces à lignes de courbure sphériques dans un système, quel que soit le nombre de dimensions de l'espace auquel appartiennent ces surfaces.
ÉTUDE d'une intégrale PARTICULIERE DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME ORDRE.
L'équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui détermine les familles de Lamé admet des solutions particulières définies par l'équation du premier ordre
(a) H = '^,(M)(a;2 + y2+z=)+ cp,(M)a; + cp2(M)j)' + 93(«)^ + cp4(jO-
Le Chapitre actuel est consacré à l'étude de ces solutions. — L'équation précédente comprend d'abord, comme cas particuliers, celle qui caractérise les surfaces parallèles et aussi celle qui caractérise les familles dérivées par inversion d'une famille de surfaces parallèles. — Les trajectoires orthogonales des surfaces sont, dans le premier cas, des droites, et, dans le second cas, des cercles passant par un point fixe. — Pour éclairer la discussion du cas général, on commence par étudier celui où les rapports mutuels des 5 fonctions v-{u) se réduisent à des constantes. — Les familles de Lamé correspondantes sont alors définies par la construction suivante : on construit les cercles normaux à une surface quelconque (S) et à une sphère fixe (S); tous ces cercles sont normaux aux surfaces (S') qui composent la famille cherchée. — On construit par points chaque surface (S'), en déterminant sur chaque cercle le point où il est normal à (S), les deux points où il est normal à (S), et en construisant le quatrième point qui forme, avec les précédents, pris toujours dans le même ordre, un rapport anharmonique constant. — Les deux autres familles qui complètent le système sont évidemment formées de surfaces à lignes de courbure circulaires dans un système. — En appliquant cette construction à une cyclide de Dupin, on obtient un système triple exclusivement composé de cyclides. — Etude géométrique du cas particulier signalé par M. W. Roberts, où les cyclides sont toutes du troisième degré. — La construction générale précédente donne une transformation de contact des surfaces avec conservation des lignes de courbure. Détermination de toutes les transformations de ce genre ; analytique^ ment elles équivalent à une substitution linéaire orthogonale effectuée sur les six coordonnées d'une sphère. — Retour à l'étude de l'équation (a) dans le cas le plus général. — On peut en donner l'intégrale générale sans introduire aucun signe de quadrature. — Pour interpréter géométriquement la solution, on donne quelques propriétés fondamentales de la fonction H qui, multipliée par du, représente la plus courte distance de deux surfaces infiniment voisines, dans une famille quelconque. Il revient au même de se donner H en chaque point d'une surface, ou de se donner en ces points les cercles osculateurs des courbes trajectoires orthogonales de la famille. — Relation entre H et les cercles osculateurs. — Propriété caractéristique des familles étudiées dans ce Chapitre : les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales aux points où elles rencontrent une des surfaces sont orthogonaux à une même sphère, qui varie d'ailleurs avec la surface. — Énoncé de la génération de ces familles à l'aide de transformations infinitésimales.
52 LIVRE I. — CHAPITRK III.
30. Après avoir donné la conslruclion générale des familles de Lamé composées de sphères ou de plans, et avant de commencer l'étude de l'équation du troisième ordre à laquelle nous avons ramené la solution du problème que nous nous étions proposé, il nous resle encore à indiquer et à définir certaines solutions particulières de celle équation, que met presque immédiatement en évidence la forme sous laquelle elle s'est présentée au Chapitre I.
Nous avons vu en effet (n" 15) qu'on peut l'obtenir en égalant à zéro le déterminant formé avec les six dérivées secondes par rapport à X, y^ z des six fonctions
u, II, x- -\- y- -}- z^ , iix, uy, uz.
Un calcul facile montrera que l'on peut substituera l'une quelconque de ces fonctions la suivante
m = ll—{x^--hy^-^z^-)^(u) — x(fi(u) — y<i^2{ii) — z(f3(u)—(f:,(u),
de sorte que toutes les solutions de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre
<■) V/U) -^{ry) -fc)
appartiendront aussi à l'équation du troisième ordre et feront, par suite, connaître des familles de Lamé. En remplaçant le paramètre u par une fonction- convenablement choisie de ce paramètre, on pourra réduire à l'unité une des fonctions o qui figurent dans le second membre. Par conséquent, l'équation précédente ne contient, en réalité, que quatre fonctions arbitraires de u. Elles figureront dans l'intégrale, à côté de la fonction arbitraire de âfewx variables, inlroduite par rintégralion.
31. Un premier cas particulier de l'équation précédente est connu depuis longtemps : c est celui qui correspond à l'équalion
et pour lequel les surfaces de paramètre u sont parallèles entre
ÉTUDE d'une intégrale PARTICULIÈRE. 53
elles. On sait que, pour compléter le système triple, il faut adjoindre aux surfaces parallèles les deux familles de surfaces développables entre lesquelles on peut distribuer les normales communes à toutes ces surfaces. On obtient ainsi un premier système triple dont peut toujours faire partie une surface quelconque donnée à l'avance. On démontrera sans difficulté que ce système est le seul pour lequel une des trois familles orthogonales soit composée de surfaces développables.
En transformant par l'inversion le système précédent, on en obtient un autre qu'il est aisé de définir. A la famille de surfaces parallèles, l'inversion fait correspondre une famille de surfaces dont les trajectoires orthogonales sont des cercles passant par le pôle de l'inversion, c'est-à-dire par un point fixe de l'espace. Si ce point fixe a pour coordonnées <2, b, c, un calcul facile montre que le paramètre «de la famille doit satisfaire à une équation aux dérivées partielles de la forme suivante :
(3) \l = 'o{u)\{^x-~aY + (y-by-M^-cy-\.
Cette équation est encore un cas particulier de celle (i) que nous nous proposons d'étudier. Ici encore, on pourrait réduire la fonction ^{u) à une constante, par exemple à l'unité.
32. Les deux hypothèses que nous venons d'envisager rentrent évidemment dans la suivante : on peut supposer que, dans l'équation (i), les rapports mutuels des fonctions ^i{u) ou, ce qui revient au même, que ces fonctions elles-mêmes se réduisent à des constantes. Nous allons d'abord faire l'étude de ce cas particulier ; elle est extrêmement intéressante en elle-même; et, d'ailleurs, les résultats qu'elle nous fournira nous sont indispensables dans la discussion du cas le plus général.
Soit donc l'équation
(4) Il = ao{x'^-^ y^ + z^)+aLix -\- oc^y -{- %zz -+- tx^,
OÙ y.Q, a,, ao, ag, a, sont des constantes. Effectuons une inversion dont le pôle soit sur la sphère obtenue en égalant le second membre à zéro ; puis choisissons comme plan des xy le plan dans lequel a été transformée cette sphère. On pourra ainsi, le lecteur le vérifiera aisément, réduire l'équation précédente à la
forme simple
ou, en remplaçant H par sa valeur,
... /duy /duy /duy i
Celle équation admet évidemment l'intégrale complète
(6) a = aa7 + PjKH- /i/^ — a'- P^c?^,
OÙ figurent trois constantes, à savoir a, ^ et celle qui sera introduite par la quadrature. Les équations des caractéristiques seront
Xo, jKo étant deux nouvelles constantes. Comme on peut les remplacer par les deux suivantes
on voit que ce sont des cercles assujettis à couper à angle droit le plan des xy (').
D'autre part, pour l'équation générale (i), comme pour toutes les équations particulières (2), (3) et (4) que nous en avons déduites, les caractéristiques sont, d'après les théories générales, définies par les équations différentielles
dx dy dz
dx dy àz
et représentent, par suite, les trajectoires orthogonales des familles de paramètre u.
En rapprochant cette remarque de la construction que nous
( ' ) Pour avoir la représentation complète de la caractéristique, il faut adjoindre à chaque point du cercle les valeurs de u et de ses dérivées.
venons de donner pour les caractéristiques, dans le cas particulier de l'équation (5), on peut évidemment énoncer le théorème suivant :
Pour construire les familles de Lamé définies par V équation (5), on se donnera une surface quelconque (S), et l'on construira les cercles normaux à la fois à cette suif ace et à un plan {le plan des xy). Tous ces cercles seront normaux à des surfaces qui formeront une famille de Lamé.
Au reste, on peut construire individuellement les surfaces qu'il faut associer à (S). En effet, en retranchant de l'équation (6) les équations (7) respectivement multipliées par a et 3, on verra que, sur chaque caractéristique, on a, en désignant par y une constante nouvelle,
(10) « = ax,-^ P/o+y— = ^^' = Y + LogU - é/-^^ - «2 —
Désignons par u^ le paramètre de (S), par u' le paramètre d'une des surfaces associées à (S), par Zq et z' les z des points d'intersection Mq et M' de ces deux surfaces par le cercle qui est la caractéristique ; nous aurons, d'après la formule précédente,
(II) e«-«o= ^ =:'
Soient P et Q les points où le cercle coupe le plan des xy, en introduisant (fig. i) les angles
MoOP = 6o, M'OP = 0'
des rayons OMq, OM' avec le plan des xy et se rappelant que = est le rajon du cercle, on aura
et il viendra
tang-
Le second membre représente sur le cercle le rapport anharmonique des quatre points M', Mq, P, Q et l'on voit qu'il est tout à
fait indépendant de la caractéristique considérée. On obtiendra donc toutes les surfaces (S') en construisant, sur chacun des cercles orthogonaux à (S), le point M' qui, avec Mq, P, Q, pris toujours dans le même ordre, donne un rapport anharmonique constant.
En transformant par inversion et en se souvenant que le rapport anharmonique de quatre points sur un cercle n'est pas changé par cette ti-ansformation, on est conduit à la proposition suivante, qui est due à Ribaucour :
Etant donnée une surface quelconque {^)et une sphère (S), réelle ou imaginaire, on construit tous les cercles normaux à (S) et à (S). Tous ces cercles sont orthogonaux à une famille de surfaces (S'), dont (11) fera évidemment partie, et qui sera une famille de Lamé. On peut construire par points chaque suif ace (S') en déterminant sur chaque cercle le point où il est normal à (S), les deux points oii il est normal à (S) et en construisant le quatrième point qui forme avec les trois précédents, pris toujours dans le même ordre, un rapport anharmonique constant.
Il résulte évidemment de cette construction que le rapport anharmonique des points où quatre surfaces déterminées de la famille sont normales à un même cercle est toujours constant.
ÉTUDE d'une intégrale PARTICULIÈRE. bj
33. La proposition précédente nous montre que, soit par des constructions géométriques, soit par des calculs purement algébriques, on pourra obtenir une infinité de familles de Lamé dont fera partie une surface donnée à l'avance. Nous venons de donner la construction des surfaces (S'); pour engendrer les deux autres familles qui complètent le système triple orthogonal, il faudra évidemment associer tous les cercles normaux à (S) et à (S) qui rencontrent une même ligne de courbure de (2). Aux deux familles de lignes de courbure correspondent évidemment deux familles de surfaces qui compléteront le système orthogonal. Ces surfaces, qui auront leurs lignes de courbure circulaires au moins dans un système, seront les enveloppes des sphères assujetties à la triple condition d'être tangentes à une même ligne de courbure de (S) et de couper à angle droit à la fois la surface (S) et la sphère (S).
Lorsque le rayon de la sphère fixe (S) grandit indéfiniment, les surfaces (S') se réduisent à des surfaces parallèles les unes aux autres. Lorsque ce rayon est nul, les surfaces (S') deviennent les inverses, par rapport au centre de la sphère, d'une famille de surfaces parallèles.
34. La proposition de Ribaucour conduit évidemment à une méthode de transformation des surfaces avec conservation des lignes de courbure. Cette transformation appartient à la classe de celles que M, Lie a nommées transformations de contact. Reprenons en effet la relation définie plus haut entre les surfaces (2), (2'). Si l'on se donne un point M de (S) et le plan tangent en ce point, on pourra construire le cercle (C) normal à (S) en M et orthogonal à la sphère fixe (S), puis prendre sur ce cercle le point M' qui forme avec M et les deux points d'intersection de (C) et de (S) un rapport anharmonique donné. On pourra donc, connaissant le point et le plan tangent de (S), construire le point correspondant M' de (S'); mais on aura aussi en M' le plan tangent à (S'), puisque ce plan tangent est normal à (S'). Ainsi, les éléments qui déterminent le point et le plan tangent de l'une des surfaces dépendent des éléments analogues de la surface correspondante. C'est cette propriété qui caractérise les transformations de contact.
On voit d'ailleurs immédiatement que la transformation précé-
dente fait correspondre aux lignes de courbure de (S) les lignes de courbure de (S'). En d'autres termes, elle conserve les lignes de courbure.
Nous l'avons étudiée ailleurs avec les détails nécessaires (*); nous nous contenterons ici de faire remarquer que, puisqu'elle conserve les lignes de courbure, elle doit nécessairement faire correspondre aux sphères et aux plans, surfaces dont les lignes de courbure sont indéterminées, des sphères ou des plans. C'est ce que l'on peut d'ailleurs vérifier par un calcul direct {^).
35. On sait que la cjciide de Dupin est la seule surface dont toutes les lignes de courbure soient circulaires, ou qui puisse être regardée de deux manières différentes comme une enveloppe de sphères dépendant d'un seul paramètre. La transformation de Ribaucour, étant une transformation de contact et conservant les sphères, fera nécessairement correspondre une cjclide à une cjclide.
D'après cela, si l'on suppose que la surface (S) soit une cjclide de Dupin, et si l'on emploie une sphère quelconque (S), on en déduira, par la construction du n° 32, une famille de Lamé composée de cjciides de Dupin; mais nous voyons de plus que les deux autres familles de Lamé qui composent le système orthogonal auront toutes leurs lignes de courbure circulaires et seront, par suite, elles aussi, des cjciides de Dupin.
On obtiendra donc ainsi un système triple orthogonal exclusivement formé de cjciides de Dupin. Nous laisserons au lecteur le soin de rechercher s'il est le plus général qui possède cette propriété, et nous ferons connaître un cas spécial très intéressant signalé par M. William Roberls ('). Nos démonstrations seront entièrement géométriques.
( ' ) Leçons sw la Théorie des surfaces (Livre II, Ch. VIII, et Livre IV, Ch. XV).
(^) On pourrait objecter au raisonnement qu'il y a, en dehors des sphères et des plans, des surfaces à lignes de courbure indéterminées : ce sont les développables circonscrites au cercle de l'infini. Le lecteur fera disparaître aisément cette difficulté en tenant compte du degré de généralité de chacune de ces surfaces.
(') W. RoBERTS, Application des coordonnées elliptiques à la recherche des surfaces orthogonales {Journal de Crelle, t. LXII, p. 67; i863).
36. Considérons un système de quadriques liomofocales défini par l'équalion
On sait que le lieu des pôles d'un plan par rapport à toutes ces quadriques est une droite perpendiculaire au plan; cette droite coupe les plans principaux aux points qui sont les pôles du plan par rapport aux trois focales des surfaces. Une seule des quadriques liomofocales est tangente au plan, et cela au point où il est rencontré par la droite précédente.
D'après cela, considérons un plan quelconque ABC (Jig- 2), et
Fig. 2.
supposons qu'il tourne autour de son intersection par un des plans principaux, autour de AB, par exemple. Dans chacune de ses positions il louchera une des quadriques liomofocales. Nous allons montrer que le lieu des points de contact sera un cercle situé dans un plan normal à AB.
Soit, en effet, P le pôle de AB par rapport à la focale ab située dans le plan des xy. Le point de contact M du plan ABC avec la quadrique qui lui est tangente sera au pied de la perpendiculaire abaissée de P sur le plan ; et, si l'on abaisse du peint P la perpen-
diculaire PQ sur AB, l'angle PMQ sera droit. Par suite, lorsque le plan tournera autour de AB, le point M décrira un cercle ayant PQ pour diamètre et situé dans un plan perpendiculaire à AB.
Il est aisé d'ailleurs de déterminer par une construction les deux points que ce cercle a dans le plan principal des xz par exemple. Si l'une des surfaces homofocales se réduit à la focale située dans le plan des xz, les points de contact des plans tangents menés par AB à la quadrique se réduisent évidemment aux deux points de contact des tangentes menées par A dans le plan des xz à la focale située dans ce plan. Ces deux points de contact ne dépendent que de A et demeurent invariables quand la droite AB tourne autour de A dans le plan des xy.
Cela posé, prenons un point fixe sur l'un des trois axes de symétrie et menons de ce point des plans tangents à toutes les surfaces homofocales. Nous allons démontrer que le lieu des points de contact est une cyclide de Dupin.
Prenons, par exemple, le point A sur Ox et considérons tous les plans ABC passant par A. Si l'on considère tous les plans passant par une même droite AB du plan des xy^ leurs points de contact sont sur un cercle qui coupe le plan des xz en deux points toujours les mêmes, puisqu'ils ne dépendent que de A. Ainsi, la surface est engendrée par un cercle dont le plan est normal au plan des xy et qui passe par deux points fixes. Elle est donc l'enveloppe d'une famille de sphères à un paramètre, les centres de ces sphères étant situés dans le plan des xy.
Comme les mêmes raisonnements s'étendent au plan des xz, on reconnaît immédiatement que la surface est, de deux manières différentes, l'enveloppe d'une sphère, et, par suite, qu'elle est une cyclide de Dupin.
Au reste, il est très aisé de trouver son équation. Soit a;' Vx du point A, et désignons par x, y, z les coordonnées d'un point d'une quadrique homofocale de paramètre p. Pour que le plan tangent à la quadrique homofocale en ce point vienne passer par le point A, il faut que l'on ait
{\'j ) xx = a — p ;
joignant cette équation à celle de la quadrique
ÉTUDE d'une intégrale PARTICULIÈRE. 6l
et éliminant p, il vient
o — a -\- XX c — a ^ xx x
C'est l'équation d'une cjclide du troisième degré.
Cela posé, on a évidemment trois familles de cyclides qui correspondent respectivement aux points situés sur les trois axes de sjmétrie. Il est aisé de démontrer que les trois familles de surfaces ainsi obtenues se coupent mutuellement à angle droit. Considérons en effet i^fig. 2) les cyclides relatives aux trois points A, B, G. Elles ont en commun le point de contact du plan ABC avec la quadrique qui lui est tangente. Les cjciides dérivées de deux de ces points, par exemple de A et de B, se coupent suivant le cercle lieu des points de contact des plans passant par AB. Ainsi les trois cyclides se couperont mutuellement suivant des lignes de courbure communes; donc elles seront orthogonales les unes aux autres en tous les points de ces lignes communes.
Il résulte de la formule (i 5) que si p, p(, p2 sont les coordonnées elliptiques, et a:, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point de l'espace, les paramètres des trois familles de cyclides sont
On vérifie ce résultat par un calcul direct. Si l'on ne veut introduire que les coordonnées elliptiques, on aura, pour les paramètres des trois familles, les expressions suivantes :
i,Q\ (n — pi)(a — pi) (b — pi)(6 — p.2) (c — pi)(c — P2)
On voit que l'on aura trois systèmes orthogonaux différents suivant que p désignera le paramètre des ellipsoïdes, des hyperboloïdes à une nappe, ou des hyperboloïdes à deux nappes du système homofocal.
37. Revenons à la transformation de Ribaucour. On connaissait déjà diff'érentes transformations qui conservent les lignes de courbure, l'inversion, la dilatation, c'est-à-dire l'opération par laquelle on passe d'une surface à la surface parallèle, une trans-
formation due à O. Bonnet ('). M. Lie s'est proposé de déterminer toutes les transformations de contact qui conservent les lignes de courbure. Nous allons indiquer rapidement les résultats obtenus par l'éminent géomètre, parce qu'ils éclaireront la discussion dans la suite de ce Chapitre.
Remarquons d'abord que toute transformation de ce genre doit faire correspondre à une surface dont les lignes de courbure sont indéterminées une surface dont les lignes de courbure soient aussi indéterminées. Or on ne connaît que deux classes bien distinctes de telles surfaces : la première comprend les sphères et les plans qui dépendent au plus de quatre constantes ; la seconde comprend les développables isotropes, développables qui dépendent d'une fonction arbitraire. Donc la transformation cherchée doit nécessairement transformer une développable isotrope en une développable isotrope et faire correspondre une sphère à une sphère (en considérant le plan comme une sphère de rayon infini). Comme la transformation est une transformation de contact, elle doit faire coi-respondre à deux sphères qui se touchent deux autres sphères qui se touchent également. Par suite, si nous employons la transformation de M. Lie, qui fait correspondre à une sphère une ligne droite (-), et si nous soumettons la figure tout entière à cette transformation, on voit que, dans l'espace qui contiendra les droites, les transformations cherchées feront correspondre une droite à une droite, et deux droites qui se coupent à deux droites qui se coupent. Cette double propriété permet de les définir sans calcul; car, si l'on considère toutes les droites qui passent en un point quelconque, ces droites doivent être transformées en droites se coupant mutuellement, c'esl-à-dire en droites passant par un point ou situées dans un plan. Il y a donc deux cas à distinguer : dans le premier, aux droites passant par un point correspondront des droites passant par un autre point; la transformation sera donc ponctuelle, elle fera nécessairement correspondre un plan à un plan, une droite à une droite, et sera, par suite, la transformation ho nio graphique la plus générale. Dans le second cas, un plan correspondra à un point, mais on
(') Voix- Leçons sur la théorie des surfaces (I" Partie, Livre II, Cli. VIII). (-) Voir Leçons sur la théorie des surfaces (n°' 157, 168, 978 et suiv.).
ramènera ce cas au premier, en effectuant une transformation quelconque par polaires réciproques. On n'obtient donc, en résumé, que deux transformations : l'homographie ou la corrélation la plus générale.
Dans l'une et dans l'autre, les coordonnées de la ligne droite ( ' ) subissent la transformation linéaire la plus générale qui respecte la relation quadratique entre les coordonnées ; elles se distinguent seulement par le signe du déterminant de la substitution.
Si nous revenons maintenant à l'espace qui contient les sphères, nous savons que les coordonnées de chaque sphère sont égales à celles de la ligne droite correspondante (2). Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant, qui résume les recherches de M. Lie.
Les transformations de contact les plus générales qui conservent les lignes de courbure sont celles qui soumettent les six coordonnées homogènes d'une sphère à la transformation linéaire la plus générale qui conserve la relation quadratique entre les coordonnées.
Supposons, par exemple, que, .r,, .. ., ^5 désignant des coordonnées pentasphériques (^) d'un point, on prenne l'équation de la sphère sous la forme
(19) »? I a?! -4- m j 0^2 -H ms 373 -t- «14 Xi,-i- m^Xs = o.
La sixième coordonnée de cette sphère sera définie par la relation
(20) m\-\- m\->r ml-\- nil-^ m\-^ ml=o;
et les transformations avec conservation des lignes de courbure se réduiront à des substitutions linéaires orthogonales effectuées sur
(') Leçons sur la théorie des surfaces (I" Partie, n" 139).
(^) Leçons sur la théorie des sur/aces, n"' 156, 157. Pour que la relation énoncée dans le texte soit tout à fait exacte, il faut prendre les coordonnées de la droite employées par M. F. Klein, c'est-à-dire celles pour lesquelles la relation quadratique entre les coordonnées est ramenée à la forme
(') Leçons sur la théorie des sur/aces (I" Partie, n°' 150 et suiv.).
les six coordonnées. On voit que, dans l'étude de la Géométrie des sphères, elles doivent jouer le même rôle que les rotations et les transformations par sjmétrie dans l'espace à trois dimensions.
38. Ces résultats étant rappelés, revenons à l'équation (i) et mettons-la sous la forme
(21) H=ai ^-. h «2 •^-+-'^3^ + «4 •2-+- «5 K '
•Ztil 2 I\
ce qui revient à employer un système de coordonnées pentasphériques spéciales. R désigne une constante, «j, «2? •••> ^5 des fonctions de u. Pour intégrer cette équation aux dérivées partielles du premier ordre, nous allons en chercher une intégrale complète; et, pour cela, nous allons examiner si l'on pourrait la vérifier en prenant une famille de sphères dont nous écrirons l'équation sous la forme
Çi, . . ., ^5 désignant des fonctions de u.
Si l'on introduit la sixième coordonnée de la sphère précédente définie par la relation
un calcul facile montre que la famille de sphères satisfait à l'équation aux dérivées partielles
iç6 \du iRi du
d\i d^ ^ d^ a?2 + j2-+-^^— Rn
"^ du^^ du^~^ du 2R J'
et cette équation se réduira à la proposée, si l'on a, pour A- = i,
En différentiant la relation identique (23), on reconnaîtra que l'on peut joindre à ces équations la suivante
de sorte que les équations (24), (20) constituent maintenant un système linéaire admettant l'intégrale quadratique
(26) ^î + ^l-l-.. .4-?^ = consl.
La solution générale de ce système sera donnée, comme on sait, par des formules telles que les suivantes :
où C,, Go, ..., Ce désignent six constantes arbitraires. En portant ces expressions dans l'équation (26), nous aurons la relation
qui devra avoir lieu pour toutes les valeurs des constantes C,-. Pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment que l'on ait
ai^i' désignant une constante. On aura donc, si l'on veut satisfaire à l'équation (aS), la condition
(29) ^<Xi,,CiCr = o.
Cette relation entre les constantes peut toujours être ramenée, par une substitution linéaire à coefficients constants, qui ne change pas la forme de la solution générale, à une somme de carrés. Nous pourrons donc supposer que l'on ait
k et
de sorte que la relation entre les constantes deviendra
