CHAPITRE II

SYSTEMES TRIPLES COMPRENANT UNE FAMILLE DE PLANS OU UNE FAMILLE DE SPHERES.

Reclierche des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une famille de plans.

— On les obtient en traçant dans un plan deux familles de courbes rectangulaires et en faisant rouler ce plan sur une développable quelconque. — On peut aussi éviter toute considération de roulement et construire les systèmes sans aucune intégration. — Définition des coordonnées curvilignes. — Forme de l'élément linéaire de l'espace dans le système précédent. — Équations qui permettent de définir ce système, débarrassées de tout signe de quadrature. — Si la famille de plans est donnée a priori, la détermination des trajectoires orthogonales et, par suite, celle des systèmes triples correspondants dépend de trois quadratures. — Systèmes orthogonaux comprenant une famille de sphères. — Définition des familles similaires de sphères; ce sont celles pour lesquelles le problème des trajectoires orthogonales conduit aux mêmes équations différentielles.

— Quand on connaît une famille de sphères on peut, sans aucune intégration, construire les familles similaires. Parmi les familles ainsi déterminées, il y en a une infinité composées de sphères passant par un point fixe; une simple quadrature permet de construire ces familles particulières si l'on connaît une trajectoire orthogonale des sphères primitives. — Grâce aux théorèmes précédents on peut, sans aucune intégration, passer des systèmes triples contenant une famille de plans à ceux qui contiennent uïie famille de sphères. — Pro-

/ds — peut être explicitement calculée. — Détermination des trajectoires orthogonales d'une famille donnée de sphères; elle se ramène à l'intégration de deux équations de Riccati dont chaque trajectoire fournit une solution particulière. — Construction des systèmes triples qui comprennent une famille de sphères. — Extension des résultats précédents à l'espace à n dimensions. En donnant une forme convenable aux fonctions a;, aj, . . ., a„ et /•, on peut, sous forme réelle et sans aucun signe de quadrature, assigner les intégrales générales du système

a,, ..., a„, /• étant des fonctions d'un paramètre t liées à ^,, •■•, -r„ par la relation

Rappel des résultats déjà obtenus sur ce sujet par MM. J.-A. Serrct et O. Bonnet.

17. Parmi les propositions contenues dans le Chapitre précédent, nous nous attacherons d'abord à la suivante : Toute famille

de plans ou de sphères peut faire partie d'un système triple orthogonal. Nous allons, en premier lieu, déterminer et étudier tous les systèmes orthogonaux que l'on peut ainsi obtenir, c'està-dire tous ceux qui comprennent une famille de plans ou de sphères donnée a priori.

Commençons par le cas le plus simple et considérons tout d'abord un plan mobile dont les positions successives déterminent la famille de plans que nous supposons donnée. Si nous construisons les courbes qui sont les trajectoires orthogonales du plan mobile, deux quelconques de ces trajectoires couperont chaque position du plan en deux points dont la distance demeurera invariable; car la droite qui joint ces deux points est normale aux courbes décrites par ses extrémités. Donc, dans chaque position du plan mobile, les points qui décrivent les di<>erses trajectoires forment une figure plane invariable.

Le plan de cette ligure roule évidemment sur la développable qu'il enveloppe^ car tous les points de la figure ont leurs vitesses nulles ou normales au plan; et, par suite, les points situés sur la caractéristique du plan ne peuvent avoir qu'une vitesse nulle. On est donc conduit à la construction suivante :

Pour obtenir tous les systèmes orthogonaux considérés, on fait rouler un plan mobile (P) sur la développable qu'il enveloppe. Si l'on a tracé dans la position initiale du plan deux familles quelconques de courbes orthogonales (C) et (C(), chacune de ces courbes, entraînée dans le mouvement du plan, engendre une des surfaces cjui composent le système orthogonal.

Les surfaces ainsi obtenues on té té déjà considérées par Monge('); nous leur donnerons le nom de surfaces-moulures générales, réservant le nom de surfaces-moulures cylindriques pour le cas où la développable enveloppée par le plan (P) se réduit à un cylindre. Ainsi le système triple précédent se compose d'une fa-

(') MoNGE, De la surface courbe dont toutes les normales sont tangentes à une même surface développable quelconque {Application de l'Analyse à la Géométrie, 5* édition, p. 822).

mille de plans et de deux familles de surfaces-moulures, engendrées respectivement par les courbes (C) et les courbes (C,).

Un cas particulier de ce système est souvent employé en Physique mathématique : c'est celui dans lequel les plans (P) passent par une droite (D). Alors les surfaces-moulures deviennent des surfaces de révolution qui ont pour axe commun la droite (D).

18. La construction géométrique précédente repose sur la considération du roulement d'un plan sur une surface développable. 11 semble au premier abord qu'elle est de nature transcendante et ne pourrait être traduite analjtiquement que grâce à l'emploi de relations différentielles ou de quadratures. 11 ne sera donc pas inutile de montrer comment, par une suite d'opérations qui ne comporte aucune intégration, on peut former le système triple le plus général répondant à la définition qui vient d'être donnée.

Etant donné un plan mobile (P), ceux de ses points M, M', M", . . . qui décrivent des trajectoires orthogonales du plan forment, nous l'avons vu, une figure invariable, et leurs vitesses, toutes normales au plan, sont à chaque instant parallèles. D'après cela, si l'on mène, par un point fixe O, des droites Om', Om", . . . respectivement parallèles et égales à MM', MM", ... la figure formée par m', m", . . . sera dans un plan (P') passant en O et parallèle au plan (P); et, de plus, les vitesses de m', m", . . . étant évidemment parallèles à celles de M', M", ... ('), les différents points m', m", . . . décriront des trajectoires orthogonales du plan (P'). Donnons-nous a priori l'une de ces trajectoires (y'), décrite par le point m'; il suffira, pour cela, de prendre une courbe sphérique quelconque tracée sur une sphère de centre O et de rayon Om'. Le plan (P') sera normal à la courbe; et, pour obtenir une quelconque de ses trajectoires orthogonales, il faudra construire, dans ce plan, le point m" formant avec O et m' un triangle invariable; m" décrira la trajectoire demandée. On aura ainsi construit sans intégration l'ensemble formé par le plan (P') et ses trajectoires. Pour passer de là au plan (P), on remarquera

(') En effet, la vitesse de m', par exemple, est la différence géométrique des vitesses de M' et de M, qui sont parallèles.

que la courbe (F) décrite par le point M de ce plan a, à chaque instant, sa tangente parallèle à celle de (y'). Les deux courbes ont donc aussi, à chaque instant, leurs plans osculateurs parallèles et, pour obtenir (F), il suffira de prendre l'arête de rebroussement d'une développable dont les plans tangents seront assujettis à l'unique condition d'être parallèles aux plans osculateurs de (y'). Si maintenant on mène par chaque point de (F) des droites égales et parallèles aux lignes Om', Om!', ..., on obtiendra les points M', M", ... qui sont dans le plan (P) normal à (F) et qui décrivent les trajectoires de ce plan. Ainsi se trouvera réalisé, sans quadrature, l'ensemble formé par un plan mobile et par ses trajectoires orthogonales.

19. On peut vérifier très simplement les résultats que nous venons d'établir et déterminer la forme de l'élément linéaire de l'espace quand on emploie les coordonnées curvilignes correspondantes aux systèmes orthogonaux précédents. Rappelons d'abord quelques propositions élémentaires, mais essentielles. Supposons les coordonnées rectangulaires d'un point de l'espace, X, y, z, exprimées d'une manière quelconque en fonction de trois variables indépendantes p, p,, pa, par les formules