G2 + CI+...+G

Ainsi, la solution générale du système des équations (aS), (24) D. 5

et (20) sera définie par les formules (27), où C,, Go, • • -, Ce seront des constantes liées par la relation précédente. Nous pouvons remarquer que les fonctions ^^ sont, d'après les formules (3o) et (3i), les coefficients d'une substitution orthogonale, et, par suite, satisfont aussi aux relations

Si nous portons maintenant les expressions générales de ^,, . . ., ^5 dans l'équation (22) de la famille de sphères considérée, cette équation prendra la forme

(34) GiS,4-C2S2-i-...+ G6S6 = o, oîi l'on aura

et il résulte des relations (33) que l'on aura identiquement

G fi

(36) ^^1 = 0, 2^6 Sa = 0.

39. L'équation générale (34) de la famille de sphères qui satisfait à l'équation aux dérivées partielles proposée contient six constantes qui y entrent d'une manière homogène et sont uniquement assujetties à la condition (32). Toute intégrale complète de cette équation doit contenir trois constantes. Nous avons donc ici une de ces intégrales à constantes surabondantes qui se présentent quelquefois dans les intégrations. On pourrait, pour rentrer dans la théorie ordinaire, réduire d'une unité le nombre de ces constantes, en établissant entre elles une nouvelle relation homogène, en annulant l'une d'elles, par exemple. Il nous paraît préférable de raisonner comme il suit :

Considérons les six constantes Ca, liées par la relation (32), comme les coordonnées homogènes d'une sphère (C). Pour chaque valeur du paramètre m, les formules (27), qui font connaître les coordonnées ^k de la sphère (S) définie par l'équation (34), peuvent être envisagées comme constituant une substitution

ÉTUDE d'une intégrale PARTICULIÈRE. G~

linéaire orlhogonale par laquelle on passe des coordonnées C^ aux ^/(. Elles définissent donc, d'après ce que nous avons établi plus haut, une transformation de contact avec conservation des lignes de courbure.

D'après cela, procédons comme nous ferions avec une intégrale complète ordinaire. Exprimons que toutes les sphères (Sq) correspondantes à une valeur Uq de u sont tangentes à une surface donnée (So); nous obtiendrons une certaine relation

(36 bis) o(Gi, ..., G6)=o,

exprimant que la sphère (C) définie plus haut est tangente à une certaine surface (A). Donc, en répétant le raisonnement en sens inverse, on verra que toutes les sphères correspondantes à une valeur quelconque u' de u sont tangentes à une surface (S') qui correspondra, point par point, à (A) ou à (Sq) avec conservation des lignes de courbure. La famille des surfaces (S'), dont fera partie (Sq), donnera la solution la plus générale de l'équation aux dérivées partielles proposée (i).

La méthode, on le voit, ne diff'ère en rien de celle que l'on aurait à suivre avec une intégrale complète ordinaire. Ici seulement il j a une infinité de sphères tangentes en chaque point des trois surfaces (A), (So)> (^')' ^^^ exemple, il y a une infinité de sphères (C) tangentes en un point de (A). Cela résulte immédiatement de ce que la condition (36 bis) laisse encore subsister trois constantes arbitraires dans l'équation de la sphère (C).

En réunissant les résultats précédents, on peut énoncer la proposition suivante :

Etant donnée une surface (S), appliquons-lui les transformations de contact qui conservent les lignes de courbure et qui dépendent de quinze constantes. En intégrant des systèmes d'équations différentielles, tels que celui formé par les équations (24) ef (aS), on pourra former avec ces surfaces une infinité de familles de Lamé, qui dépendront de quatre fonctions arbitraires d'une variable et pourront comprendre la surface proposée.

39. On peut compléter cette proposition à l'aide des remarques suivantes.

Reprenons le système des équations

^l + îl + n + H + H-^^l = o,

qui déterminent les fonctions ^/. En effectuant un changement de notations, posons

/■et hk désignant de nouvelles fonctions de u\ puis substituons aux fonctions \k les inconnues y^ définies par les formules

(39) r\k= i^^bk—yk), (A- = i, 2, . . ., 5).

En différentiant, on trouvera que les nouvelles variables satisfont aux équations différentielles

( r^\ ^Ji dy.^ dy^

^"^ < y.-b, ~ y,-b, JK5-6/

qui, jointes à l'équation en termes finis déduite de la seconde

(40 (JKl-6,)2 + ...^-(J5-^'5)2=/■^

suffiront à la détermination des inconnues jv*/-

Nous sommes ramené à un problème que nous avons étudié dans le Chapitre précédent, et qui revient à déterminer les trajectoires orthogonales d'une famille de sphères dans un espace à cinq dimensions. Nous savons que nous pouvons mettre les fonctions bi et r sous une forme telle que l'intégrale générale puisse être obtenue sans aucun signe de quadrature. Nous pouvons donc, en rapprochant ce résultat de celui qui a été énoncé au numéro précédent, énoncer la conclusion suivante de ces recherches :

On peut toujours, sans aucun signe de quadrature et en introduisant quatre fonctions arbitraires d^une variable, déterminer une famille de Lamé dont fera partie une surface quelconque donnée à l'avance, et déterminer en même temps les trajectoires orthogonales des surfaces qui composent cette famille.

ÉTUDE d'une intégrale PARTICULIÈRE. 69

40. En terminant ce Chapitre, nous donnerons l'interprétation géométrique de l'équation aux dérivées partielles à laquelle satisfont toutes les familles précédentes. Cette interprétation repose sur la considération des cercles osculateurs aux trajectoires orthogonales.

Considérons, d'une manière générale, une famille quelconque de surfaces définie par l'équation

(4-î) it=f{x,y,z),

et désignons encore par H l'invariant différentiel du premier ordre

^ / [duY /duy /diiy

dont la signification géométrique est évidente. Les cosinus directeurs de la normale à la surface de paramètre u^ prise dans un sens convenable, sont

dx dy dz

et, si l'on se déplace suivant cette normale, on a

d/i étant le chemin infiniment petit parcouru sur la normale quand u prend l'accroissement du. H du est donc, en chaque point, la distance de deux surfaces infiniment voisines, de paramètres u et u H- du respectivement.

Si l'on se donne une surface (2) de la famille et, en chaque point de cette surface, la valeur de H, c'est donc comme si l'on se donnait la surface infiniment voisine (S'). On conçoit dès lors que l'on pourra déterminer, en quelque sorte, deux éléments consécutifs des courbes trajectoires orthogonales de la famille sans introduire d'autres quantités que les valeurs de H et leurs dérivées relatives à des déplacements effectués sur (S). Il sera donc inutile de connaître les dérivées de H suivant la normale à (S). C'est ce que confirme le calcul suivant.

En chaque point de (S), les cosinus directeurs -t^j ^-> -j^ de

la tangente à la trajectoire orthogonale seront définis par les équations suivantes :

, , . dx du dy du dz du

as ox a<! dy as dz

l'arc s étant compté dans un sens convenable. Différentions ces

équations pour avoir -7-^, -f^^ —r^- iNous aurons, par exemple,

(i<i\ d-'x d / du\dx d („àu\dy d / du\ dz

^^^^ -d^-di[^à^)dl-^dj^[^d^)-d-s'^rz[^d^)d-s'

, dx dy dz , ,

ou, en remplaçant --y-, -~, ^ par leurs valeurs,

/, , d^x I (JH ^^ du ^ ^,

Cette formule met en évidence la propriété annoncée. Si 6, h\ b" sont les cosinus directeurs de la normale principale, et p le rayon de courbure de la trajectoire orthogonale, nous en déduisons les équations suivantes :

dlî

dx

„du^

~ iî

dH

dy

dE

dz

qui nous conduisent à la relation

,^ . b^x -h h'oy -h b"ùz i ^,,

8.r, ùy, ùz se rapportant à un déplacement quelconque sur la surface (S). Cette relation peut même revêtir une forme entièrement géométrique ; et si 85 désigne la grandeur du déplacement, 0 l'angle qu'il fait avec la normale principale de la trajectoire orthogonale,

ÉTITDE

DUNE INTEGRALE PARTICULIERE.

elle nous donne

cos6 I oH

p ~~ H OS

On voit ainsi que la normale principale des trajectoires est orthogonale aux courbes de (S) pour lesquelles H demeure constante ; et que, si l'on se déplace normalement à une de ces courbes, on a

(53) - =— ÏT "^~' ^ ^ p H os

Il est ainsi établi que les éléments du second ordre dépendent exclusivement des valeurs que prend H sur (S), et nullement de la dérivée de H suivant la normale.

41. Inversement, si l'on connaît les cercles osculateurs des trajectoires, H sera défini à un facteur constant près. Car il résulte de la formule (5i) que l'expression

^ b dx -+- b' dv ^ b" dz

devra être une différentielle exacte lorsqu'on se déplacera sur (S) et que l'on aura

r^^bd.r-\-b-dy + h"dz.

(55) H = Hoe -^M" ^

l'intégrale étant prise entre deux points Mq, M de (S), suivant une courbe quelconque reliant ces deux points, et Ho étant la valeur de H pour le point Mq.

On voit même que les cercles osculateurs ne sauraient être pris arbitrairement; ils doivent satisfaire à la condition que l'expression (54) soit une différentielle exacte, relativement aux déplacements qui se font sur (S). L'interprétation géométrique de cette condition ressort des formules précédentes.

42. Nous aurons à faire usage de ces résultats. Si nous les appliquons, dès à présent, à la question que nous avons étudiée dans ce Chapitre, nous voyons que l'équation aux dérivées partielles (i), qui définit une famille de surfaces (S), fait connaître.

pour chacune d'elles, la plus courte dislance H du entre la surface et la surface infiniment voisine, et cette expression de H du est la même que si les fonctions ^i{u) étaient remplacées par des constantes égales aux valeurs qu'elles prennent respectivement pour la surface (S). Par suite, les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales demeureront les mêmes en tous les points de (S) après cette substitution; et comme, après cette substitution, les trajectoires se réduisent à des cercles, qui sont orthogonaux à une sphère dont l'équation s'obtient en égalant le second membre de l'équation (i) à zéro, on voit que nous sommes conduit à la proposition générale suivante :

Les familles de Lamé étudiées et déterminées dans ce Chapitre sont caractérisées par la propriété suivante : les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales aux points oii elles rencontrent une des surfaces de la famille sont orthogonaux à une même sphère qui peut varier d^ ailleurs quand on passe de la surface à toute autre de la famille, et qu^on obtient en égalant le second membre de V équation (i) à zéro.

Nous verrons plus loin qu'il suffirait, pour obtenir les mêmes familles, d'exiger que les plans osculateurs des trajectoires aux points où elles rencontrent une des surfaces de la famille aillent passer par un même point, qui pourra varier d'ailleurs avec la surface considérée.

43. La notion des transformations infinitésimales permet de se représenter géométriquement les opérations par lesquelles nous avons obtenu tous les résultats établis dans ce Chapitre. Appelons, pour un instant, transformation de Ribaucour celle que nous avons étudiée plus haut aux n"^ 32 et suiv.; elle se définit entièrement à l'aide d'une sphère (S), que nous appellerons la sphère principale de la transformation, et d'un rapport anharmonique. Etant donnée une surface (S), on construit le cercle normal en un point M à (S) et orthogonal à (S); puis on fait correspondre à M le point Mq tel que le rapport anharmonique des points Mq, M, et des deux points oij le cercle rencontre (S), soit un nombre donné. 11 est clair que cette transformation deviendra infinitésimale si le rapport anharmonique est infiniment

ÉruDE d'une intégrale particulière. y'i

voisin de i . (^e point étant admis, voici comment on construit toutes les familles de Lamé précédemment obtenues. On prend une surface quelconque (S) et une suite définie de sphères infiniment voisines (So), (S)), (So), .... Cela posé, on effectue, à l'aide de la sphère principale (Sq), une transformation infinitésimale sur (S), ce qui donne une surface (S,); puis, à l'aide de la sphère (S, ), une transformation infinitésimale sur (S, ) qui donne une surface (S2), et ainsi de suite. On engendre ainsi une série de surfaces (S), (S,), (S2), . . • , qui forment précisément la famille de Lamé dont nous avons fait l'étude.