NOUVELLE MÉTHODE DE RECHERCHE

On expose dans ce Chapitre une méthode de recherche des systèmes orthogonaux qui repose sur la remarque suivante. Au lieu de conserveries équations aux dérivées partielles qui régissent les rotations du trièdre(T), on détermine l'orientation de ce trièdre à l'aide de trois arbitraires, et il ne reste plus qu'à assujettir ces arbitraires à la condition que les rotations Pi <]it ''2 soient nulles toutes les trois. Le développement de cette remarque conduit à divers systèmes d'équations. Si l'on emploie d'abord les trois, angles bien connus 6, ç, <]; d'Euler, on est conduit à un système de formules qu'Ossian Bonnet a donné dès 1862. On expose à ce sujet comment O. Bonnet a pu obtenir une réduction de la principale difficulté du problème à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre. Bien qu'obtenue par une voie détournée, cette réduction est la pre mière en date et, à ce titre, mérite d'être signalée.

Au lieu des angles 6, cp, (];, on peut choisir d'autres variables imaginaires qui jouent un rôle essentiel dans la théorie des surfaces étudiées en coordonnées tangentielles. On est alors conduit à un système de trois équations du premier ordre, qui est, de beaucoup, le plus simple connu, et qui se ramène très simplement à une équation du troisième ordre ne contenant que trois termes. On reviendra au Chapitre suivant sur cette méthode qui, bien qu'embarrassée d'imaginaires, paraît la plus puissante de toutes celles qui sont connues.

On peut encore substituer aux trois angles d'Euler d'autres variables qui sont dues aussi au grand géomètre et qui permettent d'exprimer les neuf cosinus directeurs par des formules algébriques et rationnelles. Cette méthode, où l'on a eu la précaution de rendre les équations homogènes, conduit à trois équations très symétriques qui se prêtent à différentes applications. On indique en particulier la suivante :

L'étude d'un système triple est liée à celle du mouvement du trièdre (T) formé par les normales aux surfaces coordonnées par rapport à un trièdre fixe (T,). Dans quel cas le mouvement inverse, celui de (T,) par rapport à (T), engendre-t-il aussi un système triple orthogonal? On montre comment le dernier système de formules permet d'aborder simplement la solution de ce problème, qui a été donnée par l'auteur en 1908 dans un Mémoire inséré aux Comptes rendus et auquel on renvoie le lecteur.