NOUVKLLK MÉTHODE DE RECHERCHE. '(O

2l2i. D'après la manière même dont nous avons obtenu au Livre H, Cli, II, les équations aux fonctions ,3/^^, nous reconnaissons immédiatement que ces équations ne sont autres que les relations différentielles entre les rotations du trièdre (T) ; de sorte qu'elles seront vérifiées d'elles-mêmes si l'on détermine d'une manière quelconque l'orientation du trièdre (T) à l'aide de trois arbitraires et si l'on exprime les rotations en fonction de ces arbitraires et de leurs dérivées premières; mais alors, il faudra déterminer ces trois arbitraires parla condition que les rotations />, </,, /•j soient nulles toutes les trois. Ainsi Von aura un système fl'équations aux dérwées partielles^ au nombre de trois seulement^ propre à remplacer les neuf équations aux [ii^, en définissant l'orientation du trièdre (T) à l'aide de trois arbitraires et en déterminant ces arbitraires de manière à annuler les trois rotations p, q^^ ?•,.

Le développement de cette remarque va nous permettre de faire connaître différents systèmes d'équations et, en particulier, celui qui a été employé par Ossian Bonnet ('). 11 suffira, pour cela, de définir la position du trièdre (T) à l'aide des trois angles d'Euler,

Si l'on adopte, par exemple, les valeurs sui\antes des neuf cosinus

X = cosO sincp siii ({; -f- C0SC3 cosvj/,

Xi= cos6 coscp siinj; — sinocos'ji,

X2= sinO siii'I/,

Y = cosO sinc5 cos'l' — coscisin'|/,

/ Yi = cosO costp cos'i; -+- =incp sin'|i,

Y, = sinO cos'I/.

Z = — sin 0 sin'i', Zi =; — sinO coscp, Z2 = cos6,

déjà employées dans nos Leçons sur la théorie générale des sur-

( ' ) O. Bonnet, Mémoire sur les sur/aces orthogonales ( Comptes rendus. t. LIV, mars 1862, p. 554 et 655).

4g8 LiVRiî m. — ciiAprruK vi.

faces (*) (n" 1), on aura

p: = sin») sin o —^ coscc — ,

(2) \ g-z^sinOcos-f ^-^ sincp — ,

' Opi ^^^ ôpi'

de sorte que les équations du problème deviendront

sinfj sin -i — ^ — cosc? -— = o,

' ()p ^ âp

(3) < sinO coso — - -t- sincp -— = o, ' ' àpi ^ <)p 1

do , 0<h

—^ cosO-H- = o.

222. Ossian Bonnet a indiqué, dans le Mémoire cité plus haut, différents usages de ces équations. Jl a montré en particulier comment on peut les ramener à une seule équation aux dérivées partielles du troisième ordre à trois variables indépendantes. Nous avons déjà fait allusion plus haut (n" 8) à ce résultat. Comme la méthode d'Ossian Bonnet constitue la première réduction qui ait été obtenue du problème des systèmes orthogonaux à une seuh; équation du troisième ordre, nous croyons qu'il ne sera pas inutile d'y revenir ici.

On peut toujours supposer qu'on ait exprimé '-p en fonction de 'b, de p et de 0,, et poser

(4) o = /(-i,p,pi).

La troisième des équations (3) nous donnera alors

(5) . cosO=^.

Si nous portons cette valeur de 0 et celle de es dans les deux

(') Dans ces formules, 4' désigne l'angle de l'intersection commune ON du plan des xy du ti-ièdre (T) et du plan des xy du trièdre fixe avec l'axe des x de ce dernier trièdre. œ désigne l'angle de la même droite ON avec l'axe des x dn trièdre (T) ; enfin 6 est l'angle des deux axes des z des deux trièdres.

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premières équations (3), nous aurons

Ces équations sont de la forme

()p dpi

M et N étant exprimées en fonction de •}, p, p, . En écrivant la condition d'intégrabilité, nous aurons

' d'^h d^ àpi àp

Ce sera une équation de troisième ordre à laquelle devra satisfaire la fonction y". Nous j voyons apparaître toutes les dérivées du troisième ordre de/, sauf celles qui sont prises exclusivement par rapport à p et à p,. Lorsqu'on aura obtenu par un procédé quelconque une intégrale de cette équation, il faudra procéder à l'intégration simultanée des deux équations (7). Elles fourniront une expression de cp, contenant une constante arbitraiie qu'il faudra remplacer par une fonction de po. Enfin les équations (4) et (5) fourniront 8 et o. Arrivé à ce point, on aura les U/ et les |S/^. Il restera encore à effectuer les intégrations qui fourniront H, H|, H^ et les quadratures qui donneront x, y, :;.

On voit ainsi que la réduction précédente à une équation du troisième ordre, obtenue d'ailleurs par une voie quelque peu détournée, avance beaucoup moins la solution finale du problème que celles qui ont été indiquées plus haut.

!2!23. Renvoyant, pour d'autres applications du système (3), au Mémoire d'Ossian Bonnet, nous nous attacherons à une transformation toute nouvelle et très simple de ce système.

Introduisons, au lieu de 9 et '| qui déterminent les trois cosinus directeurs X^, Y^, Zo de la normale à la surface du paramètre Oo, les variables a et [3 qui ont été si souvent employées dans la théorie

générale des surfaces et qui sont déllnies par les relations (9) .= '^l±±h, [i= ^^-^^-Y..

elles conduisent aux expressions suivantes de X2, Y2, Z2 :

/.«\ V I — a3 . I + aB ,, a + 3

et donnent, par la comparaison avec les formules (1), (11) a = tcol e- '•^, 3 =— j tan"-e-''4',

Ces quantités a et [S sont, sur la sphère de rayon i qui a son centre à l'origine des coordonnées, les coordonnées symétriques du point qui sert de représentation sphérique pour la normale à la surface de paramètre p^- La variable a est, dans le sens de Riemann, l'affixe de ce point de la sphère. La variable ^relative à un point réel sera l'inverse changée de signe de l'imaginaire conjuguée de a( ' ).

Introduisons de même la quantité A définie par l'équation

Z-f-tZ, I

I - Z. X ' qui, d'après les équations (1), aura pour expression

(i3) X = /<?'■? tang^ .

On aura, d'après les relations (12),

de sorte que l'on connaîtra, soit les expressions de 0, cp, <h en a, ^, X à l'aide des formules (12) et (14)5 soit les expressions de a, ^, )v en Q, cp, (L à l'aide des formules (i i) et (i3).

Avec ces nouvelles variables a, [3, X, les formules (2) prennent la

(') Voir par exemple les Leçons sur la théorie générale des surfaces, f^ivre I, Chap. III, et Livre II, Ctiap. Vtl et VIII.

forme