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dpi
F étant une solution quelconque des trois équations (J), et du point Ai comme centre, décrivons une sphère tangente en M à fa surface de paramètre o/. Lorsque le point M décrira celte
TIIKOHK.MIÎS DR COMBKSCURK KT DE RIBAUCOUR. 401
surface (S/), la sphère enveloppera en même temps que(^i) une autre surface (S/).
L'ensemble des surfaces {J^'.) formera trois familles qui constitueront le nouveau système triple découvert par Ribaucour .
218. La droite M M' qui joint les points correspondants des deux systèmes a évidemment pour équations, d'après les formules (20),
De là résulte quelle porte deux séries bien distinctes de points décrivant des systèmes orthogonaux dérivés du système primitif: i" les systèmes parallèles définis par les équations
où k désigne une constante quelconque; 2" tous les systèmes définis par les équations
(•io) h(x X)--\ — ; S (07 x)——0^
011 A désigne également une constante arbitraire. Tous ces systèmes sont également |)arallèles entre eux, et les trièdres (T) relatifs à des systèmes appartenant à deux séries différentes sont placés symétriquement par rapport à un plan normal à la droite MM'.
Cette dernière remarque est essentielle; car elle montre que, malgré son élégance, le théorème de Ribaucour ne peut donner rien de plus que la méthode de récurrence développée plus haut au n" 213. Soit en ellet (S) le système proposé, décrit par le point ]M. Les équations
^ ,dx <)¥
définissent un système (S,) parallèle à (S), et la droite OP qui
joint à l'origine O le point décrivant de ce système est évidemment
parallèle à MM'. De là résulte que si l'on prend l'inverse (S'j) (h-
/{oa LIVRK III. — CIIAIMTIIR V.
(S)) par rapport au point O, les deux trlèdres (T) relatifs à (S,) et (S, ), qui sont placés symétriquement par rapport à un plan perpendiculaire à OP, le seront aussi par rapport à un plan perpendiculaire à MM'. Donc tous les systèmes triples fournis par les équations (aS) seront parallèles au système (S',) et, par suite, n'échapperont pas à la méthode de récurrence que nous avons instituée.
Quoiqu'il en soit, nous allons indiquer rapidement les formules relatives aux systèmes qui résultent de l'application du théorème de Ribaucour.
En introduisant la notation des paramètres différentiels, les formules (20) nous donnent
et l'élément linéaire de l'espace a pour expression
' ^ ^id dl' \-\ âpi ° F / '
i219. Nous terminerons en généralisant la méthode par laquelle nous avons démontré le théorème de Ribaucour. Pour plus de netteté, nous emploierons les coordonnées pentas|)hériques.
Soit
l'équation d'une sphère (S). Supposons que les Ui soient des fonctions de trois variables p, 0,, po et qu'elles soient des solutions particulières d'un système de trois équations aux dérivées partielles de la forme
()2 0 Of\ ()<}
à'^iO'ji, ô'jj dp/..
Admettons de plus que (3o) 0=^.4
THÉORÈMES I) i: COMBKSCIHK KT DE RIBAtCOUR. 4oi
soit également une solution particulière de ce même système. Ces hypothèses entraîneront les conséquences suivantes :
^ Opi àpk
et, ])ar suite, on pourra appliquer littéralement aux trois sphères représentées par les équations
les raisonnements que nous avons faits au n" 216. Ces trois sphères se couperont à angle droit en deux points qui décriront des systèmes triples correspondants; et, en chacun de ces points, elles seront tangentes aux trois surfaces coordonnées du système triple correspondant.
A diverses reprises, dans tout le cours de la géométrie infinitésimale, nous avons vu l'intérêt qu'il y a à considérer des équations aux dérivées partielles, ou des systèmes d'équations aux dérivées partielles, admettant des solutions particulières liées par une relation quadratique (voir par exemple Leçons sur la théorie des sur/aces, n"* 108, 148, loi, 437, 483, etc.). Nous pouvons ici donner une proposition nouvelle de cette nature.
Si le système des trois équations
dpiOp/^ ()pi dp/,.
oii i, k peuvent prendre les valeurs o, i , 2, admet sept solutions particulières liées par une relation quadratique à coefficients constants^ on peut obtenir sans calcul une infinité de systèmes triples orthogonaux.
Ramenons, en efl'et, par une substitution linéaiie à coefficients constants, la relation quadratique à la forme
(34) ef -H Gi -1-0^^0^ + 0: = 6667,
ce qui peut se faire d'une infinité de manières, puis effectuons, dans
4o4 LIVRE m. — CIlAPITRl-: V
les équations (33), la subslilution
ui les ramènera évidemmenL à la forme
Les équations (35) admettront les solutions particulières (36) qui sont évidemment liées par la relation
toute pareille à la relation (3o). On pourra donc appliquer le théorème démontré plus haut et les trois équations
définiront un, ou plutôt deux, systèmes triples orthogonaux. 220. Nous indiquerons une seule application. Les équations
admettent une solution particulière de la forme
6 = A/Co — a)(pi — «)(p2— «).
Considérons donc le polynôme du septième degré
f{u) = U{u-ai),
où le signe II a sa signification habituelle de produit, et le polynôme du second degré
cp(M) = (u — b)(u — bi),
TIIKORKMKS DE COMBKSCLRK ET DE RIBAUCOUR.
les sept solutions ayant pour expressions
seront, d'après un tliéorème l)ien connu, liées par l'identité
Si donc on prend
les trois équations
r\ du/i n du,, Ç\ dan (fi'i.) V— — a"/, = o, V ^; — a"/, = o, V xi.=.o
détermineront un système triple orthogonal, qui sera algébrique.
