NOUVELLE METHODE DE RECHERCHE

.r)logX i d(a-r-S)

dp/,- p — a dp/,-

en sorte que les équations (T) du problème sont remplacées parles suivantes :

' dpi dpi '

qui, bien que compliquées d'imaginaires, sont infiniment plus simples que les équations (3), et surtout se prêtent mieux aux applications.

224. Nous étudierons au Chapitre suivant le système des équations précédentes; mais nous allons, dès à présent, démontrer qu'il est possible de ramener son intégration à celle d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre à laquelle satisfera la fonction X.

Posons à cet effet

(17) %-h^ = u, a— P = tV, X = e'>. On obtiendra immédiatement les équations suivantes :

, , du dv du àv du du

(18) -- = — cot,u— , -— = tangjJL-— , -— = ç-i-, dp dp dpi " «pi dp2 dp2

qui remplacent le système (16) et conduisent par l'élimination de V aux trois suivantes :

dp dpi

du.

du du — colu-^ —

dp Opi

d- H dp Op^

d^-ix dp dpi dii dp, d^ [ji

du dpi

du du

-h langu —

àpi dpi

dp, dp-i àpî

ôpl

du du — cotu-^ — -

' ^?, dp y

4rJ! I. IVRE III. — CIIAlMTnE VI.

à l'aide desquelles on déterminera a et y.. La première a été obtenue en é2alant les deux valeurs de - — -, — que l'on peut déduire des deux premières équations (i.)) ; les deux autres s'obtiennent en substituant dans ces deux mêmes équations la valeur de v fournie par la dernière.

Le système précédent est d'une forme que nous avons déjà rencontrée. On peut en déduire ti'ois valeurs de -r — : — — - et si l'on ' op dp, op. 2

égale deux quelconques d'entre elles, on sera conduit à l'équation

, , d^ \x d\x (ï^ u dix d^ [x

(•io) , ' , hlangix-^ —^ colix^- — ^ = o,

Opopiop-i âpi àp (Jp-2 dp opiOp^

qui servira à déterminer iji.

Lorsque cette unique équation sera vérifiée, les conditions d'intégrabilité que nous avons envisagées au n" 187 seront toutes satisfaites pour le système (17); et, par suite, on pourra oblenii- [)Our a une valeur assujettie à se réduire à la fonction arbitraire fi (pi) pour pk= pA-, pi= p/ • La valeur la plus générale de (/ dépendra donc de trois fonctions arbitraires d'une variable. Quant à r, il sera déterminé par la troisième des équations (18), de sortt^ que l'on pourra obtenir les expressions des neuf cosinus. Au reste nous reviendrons, au cbapitre suivant, sur cette métiiode qui mérite, on le verra, d'être approfondie.

5225. On peut substituer aux trois angles d'Euler 6, o, 6 d'autres variables encore; par exemple, on peut employer, [)our déterminer les neuf cosinus, les formules suivantes :

(v.i) ) BY = '.>.A;ji-2vO, ( BZ = aXv -hiixO,

où l'on a

BXi = 2Xa-4- 'ivO,

BX2=2Xv — 2fJlO,

BY, ^ 02+ [a2 X2 v2^

BY2 = 2[JtV + 2X0,

BZ, = 'iuv — 9,>0,

BZ2 = 62-4- v2 — ).2 —

et qui sont dues également à Euler (

(') I.e grand géomèlie les a données dans les Nouveaux Commentaires do Pétersbourg. On pourra consulter, au sujet de ces formules, la Note V insérée dans la IV'' Partie de nos Leçons sur la théorie générale des surfaces.

NOUVELLE MÉTHODE DE M E S l! I« E . 4 ' "^

Avec ces formules, les rotations prennent la forme simple el symétrique, définie par les formules suivantes :

HP,- = 2 ( A 0 h V -! a —

I \ f)p,- ()pi Opi ' (Ipi

( 2.3 ) ' nQ/= 2 'JL 0 -^ y- / V —

' \ '>?i (^?i <'Pi àpi,