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V ^~ Ipi '^ ^ 'ôpi ~ ^ Ipi j
<le sorte que les équations du problème seront
(h au. ^ àl . àO
V âp dp Op dp
(>pi Opi <)pi <)pi
. dix dl „ d^j dO
A -! IX- 1- 0 V — - = o.
dpi dp-î dp^ dp-.
On les Irouve sous une forme équivalente dans le Mémoire de (^ombescure déjà cité au n" 210. Nous ne les étudierons pas en détail, nous bornant à indiquer qu'elles se prêtent à l'étude de la question suivante.
226. INous avons lié l'étude d'un système triple à celle du mouvement du trièdre (T) formé par les normales aux surfaces coordonnées. Soit (T,) le trièdre fixe auquel est rapporté ce mouvement : au lieu d'envisager le mouvementde (T) par rapport à (T,), on peut considérer le mouvement inverse, celui de (T,) par rapport à (T), et demander que ce mouvement inverse définisse, lui aussi, un système triple orthogonal. Les formules précédentes permettent d'aborder très simplement cette question. En eft'et, il résulte immédiatement des formules (a i ) que les valeurs des neuf cosinus relatives à ce mouvement in\erse s'obtiendront simplement en changeant le signe de 0. Il faudra donc que les équations (a4) subsistent quand on y fera ce changement de signe, ce qui conduira aux relations
dp
dpi
^'dp,
dp.
dl
dont l'intégration ne présente aucune difficulté
4 I 4 L I V R E 1 1 1 . — C H A P IT R i: V I .
On en déduit d'abord les équations
V l IX
Ai étant une fonction qui ne dépend pas de p/. La relation
A Al Ao = I, qui doit avoir lieu identiquement, montre qu'on doit avoir
A= — , Ai= — , A.2= — >
ai ne dépendant que de p/. On peut donc prendre
X = «, [Jl = «1, V = «2-
Et enfin l'intégration des trois équations (25) en f) nous donne
k étant une constante quelconque, qui peut être nulle.
On a maintenant les valeurs des neuf cosinus. Mais nous ne poursuivrons pas les calculs, et nous renverrons ceux de nos lecteurs qui voudraient étudier cette question et la résoudre jusqu'au bout au Mémoire que nous avons publié au Tome GXLVIl des Comptes rendus^ p. 287, 325, 36^, 399 (séances des 3, 10, 17 et 24 août 1908) et qui a pour titre : Sur un problème relatif à la théorie des systèmes orthogonaux et à la méthode du trièdre mobile. Aux notations près, les résultats précédents coïncident avec ceux que nous avons obtenus dans ce Mémoire, par une méthode toute difle rente.
