CHAPITRE VII

lîTUDE APPKOFOlVniE n'uiNE DES MÉTHODES PRÉCKDEINTES.

On revient, pour l'étudier complètement, sur la seconde méthode développée au Chapitre précédent. L'équation aux dérivées partielles du troisième ordre, à laquelle on est conduit par élimination, a été déjà rencontrée et signalée dans l'étude des systèmes triples de M. Bianchi.On donne d'abord l'interprétation géométrique très simple de la variable rjL qu'elle détermine. On signale ensuite sa propriété caractéristique. Elle est la seule équation d'une certaine forme qui puisse se réduire, par trois substitutions diflerentes, à ne contenir que trois termes. On montre ensuite l'usage que l'on pourrait faire de cette équation pour établir de nouveau qu'un système triple est déterminé quand on donne trois des surfaces appartenant à des familles différentes qui le composent. Complément donné à la méthode. Elle ne faisait connaître que la représentation sphérique; on indique comment on achèvera de déterminer le système orthogonal. Emploi du système de coordonnées tangentielles a, fi, ^ pour déterminer les surfaces de paramètre p2. La solution complète du problème se ramène à l'intégration d'un seul système et à une quadrature.

Applications de la méthode. M. Adam a formé, dans le système de coordonnées tangentielles a, p, $, l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui caractérise les familles de Lamé. On retrouve cette équation comme conséquence très simple du système de formules adopté.

La seconde application repose sur un théorème nouveau d'analyse, qui est la généralisation de celui que M. Moutard a fait connaître sur les équations aux dérivées partielles du second ordre à invariants égaux. On est ainsi conduit, par une voie nouvelle, à la méthode de récurrence qui nous a permis de déduire, par de simples quadratures, de tout système triple, pour lequel on sait déterminer les systèmes parallèles, une suite illimitée de systèmes nouveaux.

La méthode précédente est compliquée d'imaginaires. On indique en terminant un système où les imaginaires se présentent sous une forme plus maniable.

227. Revenons aux équations qui ont été données plus haut et qui sont relatives à un mode particulier de reclierche des systèmes orthogonaux. Nous avons vu que, si l'on définit les cosinus-

jif) LIVRE m. — cil Ariïiu: \ Il .

directeurs de la normale à la surface de paramèlre z., par les formules

(l) -^2= 77' l2=i rr> A2 — 77'

on aura à intégrer le système

(Jpi " rjp,

OÙ A est une inconnue auxiliaire reliée aux angles 6, o des formules (i) (n" 221) par la relation

(3) A = te'? tang -•

Lorsqu'on aura intégié le système précédent, les trois angles 0, cp, '|/ seront définis par les formules

(4) tang- = t-^, e"^r=^-^, e'? = X^;

de sorte que l'orientation du trièdre (T) sera pleinement définie pour chaque système de valeurs de p, p,, p^. Les neuf cosinus se calculent d'ailleurs sans peine et ont les expressions suivantes :

BX = — 1+ p2.+. X2— a2X2, BXi= f— t(32 4 jX2— ta2X2, BX2=a X(i — aïj,

(5) ; BY= — t-ip2-HjX2+ja2X2^ BYj=— I— [i2 X2 a2X2, BY^^ •>, A(i-ha3). j BZ = ,,.(aX2[3), BZ,= ^^{([i-t-aX^), BZ^ = ■>. À(a -^ 3).

le dénominateur B ayant la valeur suivante

De ces diverses formules on déduit les expressions suivantes :

Xa+iYa . Xa-f-ZV, 1 Z -4- tZ,

de a, [i, X en fonction des neuf cosinus, expressions dont nous aurons à faire usage.

ÉTUDE d'une des MÉTHODES PRÉCÉDENTES. 4'7