Nous avons vu que si l'on pose

u -^ iv „ a — iv

(8) a= , B= , A = e'tA,

ce qui entraîne d'ailleurs la formule

(9) d\l + d\\ + clZl='''' y ,

le système (2) prend la forme plus simple

du Oi> Ou âv du ô'tX

(10) -r- = — cotu— -> = taniru-- — , — = (;-!.

^ ^ dp ^ dp Opi ^dpi dpi ()p2

L'élimination de v conduit au système des trois équations :

d'^u dp\dpi du d\i. du

dpidpz Cfx Op dp2 dpi '

Op-z

diix

^ ^ \ d- [Jt (^0 d?o du dix du «

I — — ^ h tanËT iJL— !- ^ = o,

1 dp dp2 (fiJL dpo ^ ^ Op2 dp

à- u dix du du. du

\ - — ; — -i- tanga— !- — — cot a -i- - — = o,

' dp dpi dpi dp ' dp dpi

à l'aide desquelles on déterminera u et ]j.. L'élimination de u conduit à l'unique équation

d^ a dix d- ij. du d- u

(12) - — — -^— cota-! ■ i-tan£ra— ! ; — i- = o,

Opdpidp-2 ^ Op OpiOp2 dpi dpdp.2 '

dont l'intégration surmonterait la principale difficulté du problème pi'oposé.

2^9. Cette équation trinôme, que nous avons déjà rencontrée dans l'étude des systèmes de M. Bianclii (n" 172), est infiniment plus simple que toutes celles auxquelles on a réduit, par les méthodes les plus diverses, la recherche des systèmes triples orthogonaux. Son intérêt s'accroîtra encore si l'on donne l'interprétation géométrique de la variable [Ji.

Il résulte des formules (7) et (8) que, si l'on donne les cosinusdirecteurs Z, Z,, Za, qui définissent l'axe des z du trièdre fixe

D. nn

4l8 LIVRE 111. — CIlAPlTilE VII.

formé par les axes coordonnés relativement au trièdre mobile (T), jx leur sera relié par la formule

Or le premier membre de cette relation est l'affixe, au sens de Riemann, relativement au trièdre mobile (T), du point où la parallèle à l'axe des z du trièdre fixe formé par les axes coordonnés, menée par le sommet du trièdre (T), perce la sphère de rajon i décrite de ce sommet comme centre. Comme cet axe des z a une direction invariable, d'ailleurs quelconque, nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Laffixe^ relative au trièdre mobile (T), du point où une droite de direction invariable menée par le sommet de ce trièdre perce la sphère de rayon i qui est décrite de ce sommet comme centre^ satisfait à V équation (12), où ]x désigne le logarithme de cette afjixe^ multiplié par i.

On peut encore remarquer que cette aflixe demeure la même en tous les points d'une même génératrice rectiiigne de la sphère; de sorte que, si l'on prend le point où cette génératrice coupe par exemple le plan des xy du trièdre mobile, on aura, pour ce

point, 6= -; et cp prendra une certaine valeur cp' telle qu'on ait,

d'après la formule (3)

On déduit de là »

Ainsi pi '- est l'angle que fera avec l'axe des x du trièdre

mobile la trace sur le plan des ^j^ du trièdre (T) d'un plan isotrope passant par une droite de direction invariable, c'est-à-dire un plan isotrope qui sera lui-même de direction invariable. Ainsi si l'on mène par le sommet du trièdre (T) un plan isotrope de direction invariable dans l'espace et si l'on désigne par [jl — - l'angle de sa trace su/- le plan des xy avec l'axe desx du trièdre mobile,