ÉTUDE DUXE DES MÉTHODES PRÉCÉDENTES

c'est-à-dire avec la normale à la surface du paramètre p2, [x devra satisfaire à V équation (12).

Cette proposition générale conduit à une remarquable propriété de l'équation (12).

D'après la manière dont on l'a obtenue, il est évident qu'on peut j elTectuer une substitution circulaire sur les variables p, p,, po à la condition d'y remplacer |jl par la valeur qui correspond, non plus au plan des xj , mais au plan des yz^ du trièdre mobile (T), c'est-à-dire de prendre au lieu de ]x la variable [i.' définie par l'équation

, . . , Z,-i- iZ, \x

ce qui donne

(16) sin!JL= :, cosu = — ttansu', tansfJi=-^ ;•

^ ' ' cos[jL ' ®' ° sin[x

Si l'on effectue en efi'et cette substitution, l'équation se transforme en une autre dans laquelle u. est remplacée par [jl', une permutation circulaire ayant été faite sur p, p,, po.

Si l'on effectue encore une substitution circulaire, et si l'on remplace \K par la variable 'j." qui est définie par les relations

(17) cosa = — f lanfî'jL, siniJL = ,

^ ' ' ' ° ' • ' cos \x

tj." satisfera à l'équation (12), où l'on aurait remplacé p, p,, po respectivement par po, p, p,.

230. Les remarques que nous venons de faire relativement aux deux substitutions qui conservent à l'équation (12) sa forme trinome nous amènent à signaler une propriété singulière de cette équation.

Envisageons d'une manière générale toutes les équations aux dérivées partielles qui rentrent dans le type suivant:

<^'8) 3 — ; — :: "^"-rr-, — ^ nai -— . ^ ■

£^p doj c>p2 dr^ dpi ooï o»pi dp dp2

d^ d^e , de dO de

dp2 dp dpi dp dpi dp2

OÙ a, «4, «j, b^ désignent des fonctions quelconques de G, Toutes ces équations conservent évidemment leur forme générale quand on y remplace 9 par une fonction arbitraire /(a-) d'une nouvelle inconnue. En faisant une telle substitution on peut évidemment réduire à zéro l'un des coefficients «, a,, «o, b. Nous allons chercher, s'il est possible, en choisissant convenablement la fonction /(a-), de se débarrasser à la fois du dernier lerme et de l'un quelconque des termes intermédiaires.

S'il en est ainsi l'équation pourra être ramenée à la forme

(}3 0 ùii (^2 0 ai) d'-O

^ ^^ dp dpi àp2 ^^ dp dp, dp2~ ^dpi dp dp^ "~ '

que nous prendrons comme point de départ. Remplaçons y 8 par /(t); elle deviendra

(J3<T /" fàc d'-rs ^ dn ()=cr dz d^a

dpdpidpi f \dp dpi dp2 dpi dpop^ dp^ dpdpi

•' dp dpidpi -^ dpi dpdpi [y ^ ^"^ j dp dpi dp^

Pour faire disparaître, par exemple, le dernier terme et celui il faudra poser à la fois

àpiàpi

f" -+- «/'■'' = o, /'" + ( a -^ ai )/'/" = o.

L'élimination de /' entre ces deux relations conduit, par un calcul facile, à la relation

En exprimant de même qu'on peut faire disparaître le troisième el le dernier terme, on aurait évidemment

Cette relation, jointe à la précédente, peut être aisément intégrée.

On a d'abord

««1 = const = — /i2,

puis on trouve,

a = /?lang(/i0 + /O, en— —h cot(/iO -1- /i).

ÉTUDE d'une des MÉTHODES PRÉCÉDENTES. 4^1

Il suffit alors de remplacer AO -h k par [jl pour retrouver notre équation (12). La proprié lé que nous venons d'indiqué/- est donc caractéristique de cette équation.

231. Cette équation prête encore à une autre remarque. Elle est évidemment comprise comme cas très particulier dans la forme suivante

^^0 / d^ dO dn (j-^O c)^Q d^e \

^^^^ (Jpâpiâp,^ ~ ^\ 'âp' ôpl' ofi' âpi dpi' dp dp,' dpdpl' ^' '^'' ''v'

et il est aisé, en imitant le raisonnement donné au n" 183, de démontrer que toute équation de la forme (20) admet une solution, et une seule, pour laquelle 0 se réduit à une fonction donnée fi{^k, p/) pour pi=:Q°^. En appliquant ce théorème à l'équation particulière (12) des systèmes orthogonaux, on peut déduire une démonstration nouvelle du théorème fondamental de cette théorie.

Si nous voulons en effet déterminer un système orthogonal dont fassent partie trois surfaces se coupant mutuellement à angle droit suivant leurs lignes de courhure, il est clair que nous connaîtrons l'orientation du trièdre (T) en chaque point de l'une quelconque de ces trois surfaces. Nous pourrons donc calculer a, p, )^, ou u, v, |JL, en chaque point de l'une quelconque de ces trois surfaces. Supposons qu'on les fasse correspondre à des valeurs nulles de chacune des coordonnées. Nous voyons que nous aurons à déterminer une solution [j. de l'équation (12) sous la condition que, pour p/ = o, elle se réduise à une fonction connue/', (p^, p/) des deux autres variables. D'après le théorème énoncé olus haut, la solution existera et sera unique.

Après avoir déterminé [jl, on aura à déterminer u par les équations (11); mais maintenant la difficulté principale est levée, et le lecteur pourra poursuivre jusqu'au bout le raisonnement que nous avons commencé.

232. Ceci nous amène à indiquer comment on achèvera la détermination du système orthogonal, quand on connaîtra a, j3 et X. Pour cela, nous remarquerons qu'on peut écrire l'équation du

plan tangent à la surface de paramètre p2 sous la forme suivante :

(21) (I - ap)^ + i(' + «? )r + (2C + ?)^ -+- ^ = o,

en sorte que a, [3, ^ constituent, pour cette surface de paramètre pa, ce système spécial de coordonnées tangentielles que nous avons étudié dans nos Leçons sur la théorie générale des surfaces (n"* 164 à 166, etc.). Si l'on suppose que \ soit exprimée en fonction de a, p, Oo, on pourra écrire sa différentielle sous la forme

(•11) d\ = p dt-\- q d'i -+■ r dp^.

11 faudra joindre à l'équation (21) ses deux dérivées par rapport à a et à |3.

(23) \ ï^y JJ 7 '

( —(x{x — iy)^z + g = 0.

Nous savons d'autre part que l'équation différentielle des lignes

sera

^ dp do: — dq d'^ = o,

de sorte qu'en tenant compte des équations (2), on pourra poser

(^? àp ôpi dpi

Différentions, d'autre part, l'équation (21) par rapport à po. En tenant compte des équations (28), il viendra

Si nous nous rappelons qu'on a

Op2 wp2 Op2

il viendra

(26) lU(x~^)-hr^o,

de sorte que la différentielle totale de E aura pour expression

(27) dz — p d%-h q d^-hUii'^ — oc) dpi. Différentions de même les équations (aS) par rapport à po. En

ÉTUDE d'uNK des MÉTHODES PRÉCÉDENTES. 4'^^

tenant compte des équations (20), nous aurons

Eliminons Ha par addition et remplaçons x — iy par sa valeur déduite des équations (28)

(29) a:-iy= j~-^,

il viendra

(io) -i- H '-=(p — n) '^—.

Pour avoir la différentielle d^, il faudrait ^connaître Ho. On le déduira des équations (28), ce qui donnera

(3.) .AU = (o^-^)-^(^^),

et par suite

233. En résumé on aura à déterminer a, |3, )., par le système

d lojïX

ép

dp,

puis p ei q par le

système

( àp ] ^? ~

dp,

o'pî

dIofïX

qui est, aux notations pj-ès^ identique au précédent. Et enfin \ sera défini par la quadrature

1 (>p2 \ a — li / '

424 MVRE m. — CHAPITRE VII.

a?, y, z seront alors données par les équations

I (i — ap)ar-i- i(i + ^f>)y ■+- (a -+- 1^)^ -(- $ = o, (c) ' —<^{x — iy)^z + p = o,

\ — CL^x ~ iy) -k- z -\- q — o,

qui les feront connaître en fonction de p, p,, po.

Pour être complet, on peut joindre à ces systèmes les expressions suivantes de H, H,, Ha, qui se déduisent de la difierenliation de la formule ( 29) et des expressions des neuf cosinus

■i sin [x âp \a — jii / 1 1 cos|ji âpi \ a — p /

2 âpi \ a — [i /

Le fait essentiel dans celte méthode, c'est que toute la recherche se ramène à l'intégration d^in seul système, présenté sous les formes (a) et («'), équivalentes aux notations près.

Nous avons vu (n" 224) qu'à toute valeur de ij. qui vérifie l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre, correspondent pour u et (' des solutions qu'on obtient par l'intégration des trois équations (11) et par l'emploi de la troisième équation (10), solutions qui dépendent de trois fonctions arbitraires d'une variable. En prenant deux de ces solutions

du'

dp2

djx àpi

on aura pour a, [3, /?, q les valeurs suivantes (34)

-+- iv

u -+- IV