ETUDE D UNE DES METHODES PRECEDENTES

et ; s'obtiendra par la quadrature

(35) "id' = u" du'-\- v" dv' -\- ( v' v" - — ) do^.

\ dp2 âpi/ '

!234. La méthode précédente est certainement la plus simple de toutes celles que nous avons appliquées à la recherche des systèmes orthogonaux. Elle a toutefois le défaut d'êtie compliquée d'imaginaires, et il ne paraît pas facile d'en diriger l'application de manière à passer à des systèmes réels. Nous reviendrons plus loin sur ce point; mais nous allons, dès à présent, nous en servir pour traiter deux questions de pure théorie.

Proposons-nous d'abord de former l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre à laquelle satisfait la variable ^ considérée comme fonction de a, ^3, pa (O-

(3n a, d'après la formule (82) et les équations fondamentales,

(') Les variables a, |î, c, constiUient un système particulier de coordonnées tangentielies. Or lorsqu'une famille de surfaces est définie par une équation aux dérivées partielles d'un certain ordre à laquelle doit satisfaire le paramètre p,, considéré comme fonction des coordonnées ponctuelles x, y, z, ou, ce qui revient au même, - considérée comme fonction de œ, y, p^. '' est facile de voir qu'elle sera définie par une équation du même ordre, quand on passera des coordonnées ponctuelles aux coordonnées tangenlielles.

Kcrivons en elTet

dz = p dx + q dy -f- -r- do^

qui donne la différentielle totale <le z. Si l'on pose

u ~ px -^ qy ~ z on aura

du = X dp ->r y dq — -^ rfp.

Donc, M, considérée comme une fonction de p, q, p,, satisfera aux équations

(kl

àz

Ces formules définissent une transformation de contact par laquelle on passera de l'équation en coordonnées ponctuelles à l'équation en coordonnées tangentielies. Ces deux équations seront donc du même ordre.

Si l'on remarque que, pour une famille de Lamé, l'équation ponctuelle est du 3' ordre, on voit qu'il en sera de même en ce qui concerne l'équation tangentielle.

D'autre pari, si l'on suppose )v,/), ^, exprimés en fonction de a, fi, p2 dans les équations (a), («'), elles prendront les formes suivantes :

Op. dp2 ~

losX\ ap, )

dp-^ "^

dp dx d% dp

dp d^p

d^ dp

~dp

dq d'^ \ d^ dp )'

dp dot.

d p d^^ d'6 dpi

d q dy.

d'p dpj

ôp

dot,

+ d^ dp, +

dp dp.

dq dx dx dp.

dgdl d'p dp.

dq dp.

(dx

d} dp.

On peut remplacer -pj -—- par leurs valeurs déduites des équations (a), puis adopter les notations d'Euler et de Monge en posant

(M) r=f^% dx do?-

dxd^y

Alors on aura simplement

ri I •> M- ■ dx d^ , •< I 1

11 ne reste plus qu'a éliminer — 5 -^ entre la première, la dernière des équations (3^) et la dernière des équations (3G), où l'on

r-"- . , . i^ -r- + T^* On obtient ainsi

dp, ^ dx dp, op dp, dp,

l'équation en \ sous la forme élégante

X , dp dp dx

aura remplace ~ par

^X(a dx

dx dp,\x — ^J

û'pop, \a — py

^^Ma-p,

où il faudra remplacer À par sa valeur tirée de l'équation (39).

L'équation aux dérivées partielles précédente est due à M. Adam, qui l'a publiée dans un travail présenté comme Thèse en 1887 à la Faculté des Sciences de Paris.

ÉTUDE d'une des MÉTHODES PRÉCÉDENTES. 4^7

23o. Voici maintenant la seconde application. Nous allons montrer que, lorsqu'on saura intégrer d'une manière générale les équations (a) {a') (6), on pourra en déduire, par voie de récurrence, et à l'aide de simples quadratures, une suite illimitée de systèmes analogues dont on pourra obtenir l'intégrale générale. C'est la généralisation de la propriété des équations à invariants égaux que nous avons étudiée avec tous les détails nécessaires dans la IP Partie de nos Leçons sur la théorie générale des surfaces.

Soient en effet a, ^, /?, ^, ^ un système de solutions des équations (a) {a') et [b). Effectuons la substitution définie par les formules

\ pq p 9

on verra facilement que les nouvelles quantités i', /?', q' ^ V, a', ^' ne cessent pas de vérifier les équations {a) {a') et (6). Dès lors, on voit que le système des trois équations («'), où X sera remplacé

par-^, aura sa solution la plus générale définie par les formules

(4i) où a, [3 formeront la solution générale du système (a). Une seule quadrature sera nécessaire pour avoir la valeur de \ et, par conséquent, celle de ^'.

Ainsi, par une suite de quadratures, on pourra déduire de tout système tel que («) ou («'), dont on connaîtra l'intégrale générale, une suite illimitée de systèmes intégrables dans les mêmes conditions.

Au reste, l'interprétation géométrique de ce résultat analytique est aisée à donner. Les formules (4i) ne sont autres que celles qui définissent, en coordonnées tangentielles, une inversion dont le pôle serait l'origine et dont le module serait — k"^. {Leçons sur la théorie des sur/aces, n" 174). Ainsi nous pouvons énoncer le théorème de géométrie suivant :

Si l'on sait trouver tous les systèmes orthogonaux ayant même représentation sphérique qu'un système donnée on pourra toujours, par une simple quadrature, résoudre le même problème pour tous les systèmes triples qui dérivent par une inversion de tous les systèmes ainsi obtenus.

428 LIVRE m. — CHAPITUi; vil.

Nous avons obtenu plus haut cette proposition par des voies plus simples. Mais la méthode actuelle semble pénétrer plus profondément, bien qu'elle soit embari'assée d'imaginaires.

236. 11 peut paraître au premier abord, que l'on pourrait éviter les imaginaires, ou du moins les introduire sous une forme plus maniable^, en substituant au système (a, [i, ^), le système voiain que nous avons aussi étudié (Leçons sur la théorie des surfaces, n" 16o) et où le plan tangent à la surface de paramètre p2 est défini par l'équation

(42) (a + P)a7 H- i( ^ — a)jK -+-(«? — () 3-4-^ = o.

Dans ce cas en effet, toutes les fois que la surface sera réelle et qu'il s'agira de points réels, a et [3 seront imaginaires conjugués. Le lecteur verra facilement qu'alors le système (a) est remplacé par le suivant :

Mais ce système (<7, ) a perdu les propriétés les plus intéressantes du système («), et nous nous bornerons à le signaler.

dp dp