CHAPITRE VIII

LES SYSTEAIES TRIPLES ORTHOGONAUX ADMETTANT UN GROUPE CONTINU DE TRANSFORMATIONS DE CoMBESCURE.

Recherche des systèmes triples dans lesquels le trièdre (T) formé parles normales aux surfaces coordonnées conserve la même orientation pour une infinité continue de points de l'espace. On se borne à dire quelques mots des cas dans lesquels ces points rempliraient l'espace, ou décriraient une surface, pour se borner au cas, vraiment intéressant, où ils sont distribués sur une courbe et où, par un choix convenable des notations, on peut rendre égales les rotations P//.. et p/;,. Ces rotations ne dépendent que des différences des coordonnées curvilignes et la solution du problème se ramène à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du 3* ordre à deux variables indépendantes. Propriétés relatives aux rayons de courbure qui caractérisent les systèmes triples précédents. Ces systèmes, que nous appellerons systèmes (E), donnent naissance à une forme remarquable, pour l'élément linéaire de l'espace.

Parmi les systèmes (E), il faut distinguer particulièrement ceux qui sont formés de trois familles engendrées par la translation rectiligne d'une surface invariable. Méthode de récurrence imaginée par M. Egorov et qui permet de déduire d'un système (E), supposé connu, une suite illimitée de nouveaux systèmes (E). Application au cas où l'on prend comme système initial le système dont les trois familles sont engendrées par la translation d'une surface invariable.

Détermination faite par INI. Egorov des systèmes (E)pour lesquels chaque famille est formée de surfaces homothéliques par rapport à un point fixe.

Les systèmes (E) ont été envisagés pour la première fois en 1866 par l'auteui-. Depuis ils ont fait le sujet de nombreuses études dues à A, Ribaucour, à M. Pelot, à M. Fouché, et surtout à M. D,-Th. Egorov.

237. L'étude que nous avons faite dans les Chapitres précédents du mouvement du Irièdre (ï) lié à un système triple nous conduit naturellement à nous proposer la question suivante qui, depuis 1866, a été l'objet des études d'un grand nombre de géomètres.

L'orientation du Irièdre (T) dépendant de trois arbitraires, il y

aura, en général, un nombre limité de systèmes de valeurs de ces arbitraires pour lesquels les axes de ce trièdre auront des directions données. En d'autres termes, il y aura un nom])re limité de points de l'espace pour lesquels les normales aux trois surfaces coordonnées auront des directions assignées à l'avance. Il en sera tout autrement, si les trois arbitraires dont dépend la position du trièdre ne sont pas des fonctions indépendantes de p, pi, po et sont liées par une ou plusieurs relations. Dans ce cas, il y aura une infinité de points de l'espace pour lesquels le trièdre conservera la même orientation. Ces points formeront une courbe, engendreront une surface, ou décriront tout l'espace. En toutes ces hypothèses, il y aura des déplacements du trièdre (T) qui se réduiront à de simples translations. Nous allons chercher tous les systèmes triples qui possèdent cette intéressante propriété.

Les rotations infiniment petites du trièdre (T) ayant pour expressions dans un déplacement quelconque

Pl2f/p2— P2I <^pl, P20 flfp — 1^02 ^p2, ?Oldpi—'^iodp,

il faudra, pour que ce déplacement se réduise à une translation, que l'on ait à la fois

(1) 13l2^p2= P21<0l, P^O^P = |2o2<02, [^oi C?p, = ^10 <0,

pour des valeurs convenables données à dp, dpi, dp2-

Les cas où quelques-unes des quantités [3,/^ seraient nulles sont faciles à traiter. On remarquera d'abord que, si [3/a, par exemple, est nulle, la dérivée par rapport à p/ qui est '^n [3/^ doit l'être aussi. Il faut donc qu'on ait à la fois, soit

Dans la première hypothèse, les rayons de courbure de la surface de paramètre p/ sont infinis. Cette surface est donc un plan. Le système triple s'engendre alors de la manière suivante : on trace dans un plan (P) deux familles quelconques de courbes rectangulaires (G) et (D), puis on fait rouler le plan (P) sur une développable (A), Les différentes positions de (P) constituent la première

LES SYSTEMES TRIPLES ORTHOGONAUX. 43l

famille du système, les deux autres familles sont formées de surfaces-moulures engendrées par les courbes (C) et (D). De tels systèmes donnent évidemment une solution du problème, car si l'on construit, dans chaque position du plan (P), les courbes lieux des points pour lesquels les tangentes aux courbes (G) sont parallèles, il est clair que le trièdre attaché au système triple conservera une orientation fixe quand son sommet décrira une de ces courbes.

Dans la seconde hypothèse correspondante aux formules (3), les rayons de courbure R/a, Rm sont infinis ( n" 107). Les surfaces de paramètres p,- et o/se coupent suivant des droites; et les surfaces de paramètre p^, étant normales à ces droites, sont parallèles. Dans ce cas encore, l'orientation du trièdre demeure fixe quand son sommet décrit une des normales aux surfaces parallèles.

En combinant ces deux hypothèses, on peut en avoir d'autres dans lesquelles le mouvement du trièdre assujetti à conserver son orientation comporte une indétermination plus grande. Parexemple, ce mouvement est quelconque lorsque le système triple est formé par trois familles de plans rectangulaires. Le système triple peut comprendre deux familles de plans ou deux familles de développables. Le lecteur étudiera sans peine tous ces cas particuliers.

238. Revenons au cas général dans lequel aucune des rotations P,A, et par conséquent aucune des dilTérentielles dpi, n'est nulle. On peut dire alors que, dans le mouvement où il conserve la même orientation, le trièdre (T) a son sommet qui décrit une courbe, et que cette courbe rencontre toutes les surfaces d'une même famille. De sorte que toutes ces surfaces ont la même représentation sphérique de leurs lignes de courbure, leurs points correspondants étant ceux où elles sont rencontrées par la trajectoire du sommet du trièdre (T). Inversement, si pour l'une des trois familles, les surfaces ont même représentation sphérique, il en sera de même pour les deux autres familles. Car il y aura une infinité de points de l'espace formant une courbe pour laquelle les axes du trièdre (T) auront la même direction.

Dans le cas qui nous occupe, on peut éliminer les différentielles dpi entre les équations (i), et l'on est conduit à la relation

(4) P«l3i2^20=!3,oP2lPo2,

qui est nécessaii^e et suffisante et devra avoir lieu pour toutes les valeurs de p, p,, pa-

Conservons les notations du n" 192. Nous avons ici

Les formules (lo) et (i i) de ce même numéro nous donnent

^i2=Av/a, !B2o= Aiv/rti", Poi=A2v/rt^,

Ki étant une fonction qui ne contient pas la variable p/ et ne dépend que de p^ et de p/. Comme on doit avoir

les fonctions A^ devront vérifier la condition

AAiA2= I,

ce qui entraîne, on le reconnaîtra aisément, les valeurs suivantes

des A{

A= — , Ai= — , Ao= — :

COi W2 W

(jO/ ne dépendant que de p/. Ainsi l'on pourra poser

et, en général,

Comme on a

on voit qu'en substituant à p^ la nouvelle coordonnée curviligne pj^ définie par la quadrature

on aura, pour la nouvelle valeur de ^^y^ de ,3/;^, la valeur suivante

Donc les 3jVf seront devenues égales aux ^3^/.

^''' MiCO/,