LES SYSTÈMES TRIPLES ORTHOGONAUX

Ainsi l'équation (4), si l'on choisit convenablement les coordonnées curvilignes, conduit aux trois relations

Si l'on conserve encore toutes les notations du n" 192, on aura

la fonction V^ étant assujettie à satisfaire à l'équation

6' — \aaxai = o ou

d^\ / ô-'\ 1F\ <P V dpiâpkûp/ ~ y àp/,ôp/ àpiâpt dpidp//

déjà donnée à ce numéro.

Les équations du groupe (A) (n" 192) sont ainsi vérifiées. Quant à celles du second groupe (A'), elles prennent la forme

\àpi àpic OpiJ'

Par conséquent, toutes les rotations ^//f seront des fonctions des différences p — p) , p — po. On peut évidemment supposer qu'il en sera de même de la fonction V.

On voit, dès maintenant, quelles sont les courbes pour lesquelles l'orientation du trièdre demeurera invariable. Ce seront celles pour lesquelles les différences des coordonnées curvilignes demeureront constantes.

Quant à la détermination des systèmes cherchés, elle se réduira en dernière analyse à l'intégration de l'équation (7), où l'on supposera V fonction des seules différences p — po, pi — p2. Cette équation se ramènera donc, en éliminant les dérivées par rapport à pa, à la forme suivante

^^' \OpOp\'^ ûpiOpy - ^ dp dpi V dp=! '^ dpdpj \âp\ '^ âpdpj'

qu'il faudra traiter comme une équation à deux variables indépendantes, sauf à remplacer, après l'intégration, p, pi par p — p2, p» — pa respectivement.

Supposons qu'on ait obtenu une solution V et, par suite, que l'on connaisse les rotations ^,a- Les neuf cosinus seront déterminés ; et comme le système (D) se ramène à la forme

(lo) §(Xi) = o,

ils seront eux aussi, comme il fallait s'y attendre, des fonctions des seules différences p — p^, pi — po.

239. Les systèmes que nous venons de déterminer, et que nous appellerons dans la suite les systèmes (E), ont été caractérisés par une définition cinématique. On peut en faire connaître différentes propriétés géométriques.

Si l'on introduit les rayons de courbure principaux, l'équation (4), caractéristique des systèmes (E), prend la forme

(il) Roi Ri2 R20 = R10R2I l'^OÎi

et cette équation peut recevoir diverses interprétations.

Par exemple, les plans osculateurs des lignes coordonnées qui se croisent en un point ont, relativement au trièdre (T), les équations suivantes :

Rioj = R-ioZ, R'iiz = Hoix, Ro2a7 = RiajK-

La relation (11) est la condition nécessaire et suffisante pour que ces trois plans osculateurs se coupent suivant une même droite.

Re\enons à ce qui concerne la détermination des systèmes (E). Quand nous aurons les pik et les cosinus-directeurs U; il faudra déterminer les H/ par les équations

ri)

Blés donnent lieu à plusieurs remarques.

D'abord, de l'égalité

'^ik=hh

on déduit qu'on aura

I àU,, 1 iii Opi ~ 11/,

ou -

^ar conséquent, rex[)ression

U^dp^Uldpi-^Uldpi

LES SYSTÈMES TRIPLKS 0 RT H OCiON A U X . 4^5

sera une différentielle exacte. On pourra poser

Celte propriété est évidemment caractéristique des systèmes (E), car elle entraîne les relations (5). Remarquons même à ce sujet qu'une seule des relations (5) est caractéristique de ces systèmes; car, si elle a lieu, les formules (A) du n" 192 permettent d'en déduire la relation

qui caractérise les systèmes (E).

240. Puisqu'on peut exprimer les H/ à l'aide des dérivées d'une seule fonction W, il semblerait qu'on va simplifier la recherche en s'attachant à déterminer cette fonction. En opérant de cette manière, on obtient des équations

, . 0^2 \V ,, MV o\N

qui ont perdu la précieuse propriété d'être linéaires et, par suite, ne paraissent pas pouvoir être préférées; au contraire, les équations du type précédent peuvent être ramenées à la forme linéaire. C'est sous ce point de vue qu'elles ont été considérées par M, Goursat ( ' ). Il résulte précisément de la forme linéaire des équations (12) que, si l'on en connaît deux systèmes diff"érents de solutions H/, H'^, on en aura un nouveau, aH/H-[ïJH'^, en combinant linéairement les deux premiers. Comme l'expression

doit être, quelles que soient les constantes a et [3, une diff'érentielle exacte, on voit qu'il en sera de même de

HH'rfp + H,H; f/piH-HaH; dp^.

Ces remarques trouvent immédiitement leur application. Comme,

(') E. Goursat, Sur une équation aux dérivées partielles {Bulletin de la Société mathématique, t. XXV, 1897, p. 36 à 48); Sur une transformation de l'équation s-= '|X {x, y) pq {même, Bulletin, t. XXXVIII, lyoo, p. i).

436 LIVRE m. — CHAPITRE VIII.

en vertu des égalités (5), le système qui détermine les U/est identique à celui qui détermine les H/, on voit que l'on connaîtra toujours trois systèmes de solutions des équations (ia):X,X,, Xo; Y, Y,

, Zo. On pourra donc poser

x^dp + x\ dpi -h XI dp.^ = de,o,

Y2 dp + Y? dpi + Yi dpi = dSu,

( Z^ dp + Z\ dpi + Z| dp2 = dQ,2,

l YZ rfp + Y, Zi dpi + Y2 Z2 dp2 = den.,

)zxdp-h Zi X, dpi -H Z2 X2 dpi r= de,o,

( XY^p + X,Y, ^p,-t-X2Y,^p2=rfeoi.

En prenant comme variables p^ par exemple et p — pa? ?i — ?a> on reconnaît immédiatement que 0//, 0/^ présenteront les formes suivantes

On peut se demander quelles sont les surfaces qui correspondent à ces valeurs particulières de H, H, , Ho ou, plus exactement,

à la

solution

générale

= aX

-hbY

+ cZ,

= aX,

+ cZ„

= aX,

!-cZ„

où a, b, c désignent trois constantes.

Les valeurs de .r, y, :■ relatives à ce système, valeurs déterminées par les quadratures (C ) [n° 202], se présentent ici sous la forme

(19) ) r = «©01+ 6©ii-Hc0i2,

On voit immédiatement, en introduisant les variables pa, p — pa? p, — pa, qu'on aura

/ a7 = ap2-H /(p — p2, pi— P2), j JK = 6p2 + /i(p — P2, pi— P2),

' s = c p2-\-fz{p — P2, pl — ?2)-

D'après cela, considérons toules les surfaces de paramètre pa, par