LES SYSTÈMES TRIPLES ORTHOGONAUX

exemple. Elles se déduisent de la surface définie par les équations

^ = /(p — P2, Pl— P2), r =/l(p— p-2. pl— P2)> ^ =/2(P — P2. pl— P2)

par une translation dont les composantes sont apa, èpa, co^.

Ainsi chacune des familles qui composent le système triple est engendrée par la translation rectiligne et continue d'une surface invariable de forme, translation dont les paramètres directeurs sont a, 6, c. Nous avons déjà étudié au n° 50 les familles de Lamé qui sont engendrées par la translation d'une surface. Nous devions évidemment les retrouver ici; car, dans toutes les positions que lui fait acquérir une translation, une surface invariable conserve une représentation sphérique de ses lignes de courbure, qui est toujours la même en grandeur et en position. Ajoutons que nous retrouvons ces familles de Lamé sous leur forme la plus générale. Car, pour les systèmes orthogonaux qu'elles engendrent, les H, H,, Ha doivent rester les mêmes quand l'orientation du trièdre ne change pas et, par conséquent, ne doivent dépendre que des différences p — P25 Pl — p-2- Or, si l'on introduit cette hypothèse dans les équations (12), elles constituent précisément le système complet auquel doivent satisfaire les cosinus-directeurs et leur intégrale générale est donnée par les formules (i8).

124L Revenons à la théorie générale, et rappelons la méthode que nous avons donnée au n" 203 pour achever la détermination d'un système dont on connaît la représentation sphérique. Nous avons vu que, si l'on introduit les distances de l'origine au% plans tangents des surfaces coordonnées

(20) Pi^XiX-hYijr^Z/z,

les Pi doivent satisfaire aux mêmes équations que les X,

et que l'on a, pour le système correspondant,

(22) H,= ^-f-PA,PA-f-P/,P/.

{38 LIVBE III. — CHAPITRE Vlll.

Or ici, le système (20) auquel satisfont les P/ est identique à celui (12) auquel satisfont les H/. Donc :

Quand on aura obtenu par une voie quelconque un système {E) particulier, on pourra en déduire deux autres de même représentation sphérique, en prenant pour les P,- du nouveau système les Hide l'ancien, ou inversement, en prenant pour les H/ du nouveau système les P, de l'ancien.

Telle est la remarque fondamentale faite par M. Egorov, d'où cet habile géomètre a déduit une méthode de récurrence, qui mérite d'être développée.

242. Remarquons d'abord que, en vertu des relations entre les ^ifi, les formules (22) peuvent s'écrire

"pi "p/t- "p/

Si donc on dérive d'un système (E) un système (E|), en prenant pour les P/ du nouveau système les H/ de l'ancien, on aura, pour les H/ du nouveau système, les valeurs suivantes

Par suite, si l'on fait subir l'opération S à une des coordonnées rectilignes, u par exemple, qui satisfait à l'équation

(.5) ^^=U,S(H,) = U,Hh

ce qui permet de conclure qu'on peut prendre pour les coordonnées rectilignes du système E,) les expressions suivantes

(26) Xi = S{x), y^ = è{y), z, = §{z).

Ainsi le système (E,) se déduit du système (E) par de simples différentiations.

243. Si, au contraire, on remonte du système (E) à un système

, = X r/Hoo-HjK dSo\ -+- -s «^Qo2i

, = xd^Qi-^y d%ix^ z ddi-i,

dz ,

1 = xde.2^,-^jde.n-^zde.n,

l.FS SVSTKMES ÏKII»LKS O UT II OGO N A U X . 4^9

(E, ) en prenant pour les H/ du nouveau sysU'nie les P, de l'ancien, on aura cette fois

et, par suite, on trouvera les coordonnées x,,y f, ^, relatives au nouveau système par les quadratures

où les fonctions S/k ont les valeurs définies plus haut.

Si nous désignons par la notation (2, ) la première opération, et par (S,) la seconde, qui est évidemment inverse de la première, nous voyons que l'opération (S,), appliquée au système engendré par la translation de trois surfaces et défini par les formules (19), conduit à un point fixe de coordonnées «, 6, c. L'opération (i^)), au contraire, pourra être répétée indéfiniment et conduira à des systèmes dans lesquels les expressions de x^y^ z seront des polynômes d'un degré de plus en plus élevé en 02? dont les coefficients seront des fonctions de p — pa» pi — pa-

t244. Pour que les méthodes de récurrence précédentes soient applicables, il faut connaître d'abord des solutions particulières du problème. Nous venons de voir ce que l'on peut faire delà solution définie par les formules ( 19). M. Egorov a su en trouver d'autres, que nous allons indiquer.

Cherchons les systèmes (E) tels que l'opération (S,), leur étant appliquée, ne donne rien d'essentiellement nouveau et les transforme en des systèmes homothétiques. Cela aura lieu si les coordonnées X, y, z satisfont aux équations suivantes

(29) ${x)=z(xx, S(jK)=ajK, é{z) = CLZ,

OÙ a désigne une constante quelconque.

Ces équations s'intègrent aisément et nous montrent que x^ y, z devront être de la forme suivante

44o LIVRE III. — CllAl>rrRE VIII.

^oîjKoi-^o étanl de simples fonctions des diilérences

(3l) U = p — Ç,2, «l=pl— p2.

En écrivant que les valeurs (3o) satisfont aux équations fondamentales

opi dp,- ôpi

on trouvera, par exemple, les trois équations suivantes

dro ()^\

du àuj "' ^'

(3.) e»P.^=HX, e-P^:-^ = M,X,.

aa:-e='f

et de là, on déduira

/ aa7 = IlX-f-H,X, (33) aj = HY + HiY,

( az = HZ -+-HiZ,

En résolvant par rapport à H, H|, H2 ces dernières équations, il vient

[ H =ae*P'(X .ro-+- Y j^o+Z ^o),

(34) ' Hi=ae"P^(X,.r„-^ Y.j^o-^Z.^o),

I H2=ae«P'(X23'o+Y,jKoH-Z,So),

et alors les deux premières équations (32) nous fourniront le système linéaire complet

I ^ = aX(X^o+Y^o+Z.-o), 1 ^ = aX,(X,:ro + Y,7o + Z,^o),

(35) /^ = aY(Xa:-o+Yj.fl-^Z2o), ' ^ - a Yi(X,a.o+ Y.^o + Z, z,),

' ou I OUi

^ =aZ(Xa.o+Y^o-t-Z.-o), ' ^=.aZ,(X,^o+Y,j'oH-Z,^o),

ou 0U\

dont l'intégration fera connaître les coordonnées x^, y^^^ z^. Quand on les aura déterminées, les équations (34) détermineront H, H,, Ha- On peut, encore, remarquer [que, si l'on voulait obtenir directement ces coefficients de l'élément linéaire, on pourrait remplacer, dans le système (12) qui les détermine, H/ par e^'PsK/, où K,- ne dépendrait que des variables m, c/i.

L'interprétation géométrique des formules (3o) est évidente. Elles expriment que chacune des trois familles composant le système triple est formée de surfaces homothétiques, les unes aux autres, par rapport à l'origine des coordonnées.

LES SVSTÈMES TRIPLES O RÏIIOG ON A L' X . 44'

Ce résultat pouvait être prévu; si une famille de Lamé est formée de surfaces homothétiques par rapport à un point fixe, toutes ces surfaces admettront évidemment la même représentation sphérique de leurs lignes de courbure. Les systèmes triples qui sont formés avec une telle famille devaient donc être compris comme cas particulier dans les systèmes généraux (E). Le lecteur s'assurera aisément qu'on les obtient tous parla méthode que nous avons suivie.

245. Les systèmes (E) ont été envisagés pour la première fois dans un travail de l'auteur (thèse inaugurale) publié en 1866 ('). Ribaucour y est revenu en 1876, dans un Mémoire qui a obtenu à Académie des Sciences le prix Dalmont (-). M. A. Petot en a donné plusieurs propriétés nouvelles dans une note insérée en 1891 aux Comptes rend as ( '). M. Fouché les a étudiés à son tour dans deux Notes parues en 1898 et 1900 {''). Mais c'est surtout à M. D.-Th. Egorov qu'est dû le perfectionnement de cette théorie. Dans deux Notes insérées en 1900 et 1901 aux Comptes rendus C^), il a fait connaître notamment la méthode de récurrence que nous avons exposée et la détermination des systèmes formés des surfaces homothétiques.

Dans ce Chapitre, nous avons donné les propriétés générales des systèmes (E). Dans le suivant, nous nous attacherons surtout à leur détermination et aux propriétés spéciales des surfaces qui les composent.

(') Gaston Dahboux, Sur tes surfaces orthogonales {Annales de l'École normale, i' série, i. III, 1866, p. 97).

(^) A. Ribaucour, Mémoire sur la théorie générale des surfaces courbes {Journal de Liouville, t. VII, 4° série, 1891 ).

(^) A. Petot, 5m/- certains systèmes de coordonnées spliériques et sur les systèmes triples correspondants {Comptes rendus, t. CXII, 20 juin 1891, p. 1426).

(^) M. Fouché, Sur les systèmes de surfaces triplement orthogonales où les surfaces d'une même famille admettent la même représentation sphérique de leurs lignes de courbure {Comptes rendus, t. CXXVI, janvier 1898, p. 210). Sur les systèmes orthogonaux admettant un groupe continu de transformations de Combescure {Comptes rendus, t. CXXXI, 20 novembre 1901, p. 872).

(') D.-Tli. Egorov, Sur les systèmes orthogonaux admettant un groupe continu de transformations de Combescure {Comptes rendus, t. CXXXI, 24 octobre 1900, p. 668; t. CXXXII, i^ janvier 1901, p. 174)-

CHAPITRK tX.

La reclierche des systèmes (E) se ramène à un problème de géométrie sphérique qu'on peut énoncer ainsi: mettre l'élément linéaire de la

sphère sous la forme da^ = — - du^ -+- -—dv'^. Démonstration complète de ou ôv '

ce résultat. — Solution de ce problème quand l'élément linéaire de la sphère

est déjà mis sous la forme

/ di^ //'2.2 \

OÙ A, A] désignent des fonctions de a et B, B, des fonctions de j3. On connaît beaucoup de réductions de l'élément linéaire à la forme précédente et M. Haag a appris à les déterminer toutes. On les passe successivement en revue.

Cas particulier du système sphérique formé par les coniques liomofocales. Parmi les systèmes (E) qui lui correspondent, l'un d'eux, le plus élégant, a été étudié au début de cet Ouvrage. Une des familles qui le composent est formée de quadriques ayant les mêmes plans principaux et dont les ombilics décrivent des droites auxquelles sont normales toutes les quadriques.

On termine ce Chapitre en étufiiant avec Ribaucour toutes les surfuces qui admettent les systèmes sphériques précédents comme représentation sphérique de leurs lignes de courbure. On constitue ainsi une théorie ayant beaucoup d'analogie avec celle des systèmes ( E); ce qu'il était facile de^irévoir, puisque les surfaces recherchées font partie de certains systèmes (E). Il y a, en particulier, une méthode de récurrence qui permet de déduire d'une solution donnée une suite illimitée de solutions nouvelles. Cette méthode est appliquée au cas où l'on prend comme surface initiale la sphère qui porte la représentation sphérique.

2i6. Dans le Chapitre précédent, nous avons montré ({ue la détermination des systèmes (E) se ramène à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du 3® ordre à deux variables indépendantes. Nous allons reprendre ce résultai et en donner une

interprélalion géométrique très simple, grâce à laquelle nous pourrons indiquer différentes solutions du problème proposé.

Nous avons déjà remarqué que, pour tout système (E), les surfaces qui appartiennent à une même famille ont la même représentation sphérique. Il faut ajouter ici que cette représentation spliérique commune ne saurait être choisie arbitrairement; car, pour la surface de paramètre o/, l'élément linéaire de la représentation sphérique est donné (n" 108) par la formule générale

"^( — Vik '^\-'k^ VU "?/ •

Si l'on remplace ^/;t, [3// par leurs valeurs déjà données au Chapiire précédent, on trouve

dp, dou '' àoi âp/ ' '

on sait que les [3,7f ne dépendent que des différences de p, p,, pa- Si donc on pose

l'élément linéaire de la représentation sphérique commune à toutes les surfaces de paramètre p/ sera donné par la formule

247. Nous allons montrer, réciproquement, que si l'on a pu mettre l'élément linéaire de la sphère sous la forme

^^ ' du/, * du/ "

il existera un système (E) pour lequel la représentation sphérique de l'une des familles sera donnée par l'équation (4).

En effet, si nous exprimons que la courbure totale de la sphère dont l'élément linéaire est défini par la formule (4) est constante et égale à i , nous serons conduits à l'équation

, . ^ dr dr / c'w àuj

du/i du/ y du/, Ou,

OÙ l'on a posé, pour abréger

diii; diii

0) devra donc satisfaire à une équation du troisième ordre dont l'intégration ferait connaître toutes les manières de ramener l'élément linéaire de la sphère à la forme (4)- Posons maintenant

(6) M/,= pk— p/, "/ = ?/— P/-

L'équation (5) prendra la forme

ou encore