d{xi dio

Pi ~ y dp/, dp/ '

[/ d^M y- \dpkàp/) ^ d^io dui dto dp/,- dp/

dp/, dp/ .

Or, quand on a une relation de la forme

dpi -dp/, dp/' il existe évidemment une fonction ^ telle que l'on puisse poser

dp/c dp/ dpi

Appliquant cette remarque à l'équation ( 7 ), on voit qu'on pourra trouver une fonction V telle qu'on ait

\ àp/, dp/ )

, dtà doi d^y dp/, dp/ dp/, dp/

ou, en éliminant w,

d^V 0, '^ dor-da,

^^' da.-àoi.d

dû,- do, do.doir

C'est l'équation à laquelle nous avons été conduits plus haut

dp,- dp a' dp/dp/'

d^ V d^\ (n" 238), et l'on voit de plus que les dérivées , . > . > égales

à -T— > -T— ' ne dépendront que des différences ot — p/, pi ~ o,. Tl en

sera donc de même de leur dérivée commune -; — ^ — et par suite,

dpi dpu àpi ^^

d'après l'équation (q), de la troisième dérivée seconde -r — — • Donc les expressions correspondantes de toutes les quantités ^ih

satisferont bien à toutes les conditions du problème.

Ces systèmes (E) dont nous venons de démontrer l'existence s'obtiennent sans difficulté. Comme on connaît la représentation sphérique d'une des familles qui les composent, on aura par cela même les expressions des neuf cosinus qui déterminent l'orientation du trièdre (T). Cela résulte d'ailleurs aussi des formules

qui donnent les X^ quand on connaît les ^ik et les cosinus X/ de la normale à la sphère.

On peut déduire des résultats que nous venons d'obtenir le corollaire suivant: Quand on aura mis l'élément linéaire de la sphère sous la forme (4), on pourra obtenir deux autres réductions de cet élément linéaire à la même forme. Ces réductions sont celles qui correspondenl aux deux autres familles du système (E) rattaché par notre théorie à la forme (4)- On les obtient évidemment sans aucune quadrature, et 11 résulte des équations (8) et (lo) qu'elles seront données par les formules

'* âp/, ôpi

àpk dpi

2i8. Ainsi la première et la principale difficulté de la recherche des systèmes (E) se réduit à la solution du problème suivant:

446 LIVRK m. — CHAPITRE IX.

Ramener L'élément linéaire de la sphère à la forme

^ ' Ou dui '

Sous cjette forme géomélrique, on aperçoit aisément un assez grand nombre de solutions.

Supposons qu'on ait mis l'élément linéaire de la sphère sous la forme suivante

où A, A, sont des fonctions de a et 13, B, des fonctions de [i. Prenons pour a une fonction de a et pour ^ une fonction de w,. On aura

En écrivant que les coefficients de du- du] sont les dérivées partielles d'une même fonction, on sera conduit à la relation

B' dy. __ M d^ Aj du Bi du\

OU encore

I d% I d^ A' Al dTi ~ B'Bi du^'

Comme les deux membres dépendent de variables différentes, il faudra les égaler à une même constante, qu'on pourra évidemment prendre égale à i ; ce qui donnera

drj.

On aura alors

co= r/(A-

Il ne restera plus qu'à remplacer u et u^ par p — p^ et p, — p2 respectivement et à appliquer la méthode précédemment indiquée.

Toute la difficulté de la méthode se réduit donc à trouver des systèmes de coordonnées curvilignes donnant à l'élément linéaire de la sphère la forme (i4)- Ce problème, dont on con-

MÉTHODE DK UECIIERCUK DES SYSTÈMES (E). 447

naissait déjà plusieurs solutions et qui se rencontre dans d'autres recherches, a été complètement résolu par M. Haag ('). Voici les résultats obtenus.

249. Prenons d'abord l'élémenl linéaire de la sphère, rapportée aux méridiens et aux parallèles,

(17) da'- =

Si nous y remplaçons A et jjl par les valeui-s

X = a cos/i — j3 sin /i, [x = x sin h -h ^ cos/i,

l'élément linéaire deviendra (18) f/j2 —

cos2î(a cosA — [i sin/t)

Nous obtenons ainsi un cas particulier de la forme (i4)- En appli- (juant la méthode générale, nous devons poser

a=:«cos/j, J3 = — Misin/i,

et nous avons la forme définitive

, , co^^ h du'^^ ?<'\n- h du}

(10) dl^— : ; : ^- .

cos- i(M cos''/t H- «, sin-/t)

La fonction to aura ici pour valeur

(20) w = — i tang i{u co^- h -+- iti s'\\\- h).

La représentation sphérique est formée de deux familles de loxodromes décrites autour du pôle et se coupant mutuellement. à angle droit.

2o0. La forme de l'élément linéaire qui corresj)ond à deux familles de cercles rectangulaires nous fournira encore une nouvelle application. Car si les cercles qui appartiennent à une même famille sont tangents les uns aux autres, l'élément correspondant

(') J. Il WG, Sur f/uel(/ues nouvelles familles de Lamé {Comptes rendus, t. 150, il mars 1910, p. 7(17 ).

4|8 LIVRE III. — ClIAPITRi: IX

de la sphère est donné par la formule

qui est un cas particulier de la forme (i4)- Il faudra poser ici

e^'^ diû-^ e'h du]

et l'on aura

(22) da- On trouvera ici

(23) Cl

Si, au contraire, les deux familles orthogonales sont formées de cercles passant par deux points distincts, on sait que l'élément correspondant de la sphère est de la forme

(«•■' — c2)(rfa2— 6/32)

(24) da'^

On aura à poser ici

(c cosa — a cos(B)'^

(25) du = — ^ — , dui= — i-Y^, ■■ ~

c cosa — a cosp

Les deux hypothèses précédentes correspondent évidemment à des systèmes (E) pour lesquels les surfaces d'une des trois familles ont tontes leurs lignes de courbures planes.

251. La formule (21) est d'une forme qui semble pouvoir être généralisée, et l'on peut se demander toutes les manières de réduire l'élément linéaire de la sphère à l'expression plus générale

Posons

(27) oi = pcosv, ^ = psinç, l'expi^ession (26) prendra la forme

d<j'- = /( p2 j ( r/p2 + p2 dv^ )

qui convient évidemment à une surface de révolution. Si donc on compare l'élément précédent à celui de la sphère rapportée à ses méridiens et à ses parallèles

on devra avoir

/( p2 ) rfp2 = rf02, /( p2 ) pî rfç.2 = sin2 6 rftp^,

ce qui donne, m désignant une constante

cp = mv, tang - = p'", Les valeurs de a, [iJ et de co seront

= tane - cos-^-?

P = tang

En projection stéréographique, les courbes de paramètres a et p se déduisent de droites parallèles aux axes coordonnés par une transformation de Lambert.

2o2. Considérons enfin le système sphérique composé de deux familles d'ellipses homofocales. Si le point de la sphère est défini parles formules

V/(rt — b){a — c)

l'élément linéaire aura pour expression

/ (t) étant définie par l'équation

D. on

45o LIVUE III. — CllAPlTIUC IX.

Nos formules générales donnent ici

puis

^33^ i p,o=Po2 = v/(a-P)/(a),

. ( [52,-P„=v/-(a-p)/([i), d'où l'on déduira

(34) Poi-ho- ^(a-p)

Quant aux cosinus directeurs, ils s'exprimeront sans difficulté en fonction de a et de [i. On aura par exemple

et les expressions analogues en Y, Y, , Z, Z, .

2o3. Ce cas particulier nous conduit à quelques remarques générales. Supposons que, sur la sphère, on connaisse un système orthogonal, formé de deux familles de courbes (G) et (D), qui donnent à l'élément linéaire la forme (3 ), étudiée dans ce chapitre. Nous avons déjà remarqué qu'on peut en déduire deux autres réductions de l'élément sphérique à la même forme. On peut caractériser géomé- "triquement ces nouvelles réductions. Supposons que les courbes (G) et (D) servent de représentation sphérique aux surfaces de paramètre p/ et que les lignes (G) soient les images des lignes de courbure (F) qui sont à l'intersection des surfaces de paramètre i et de paramètre k. Si l'on cherche la représentation sphérique des surfaces de paramètre k, il est clair que l'image sphérique des courbes (Y) sera donnée par les courbes supplémentaires des courbes (G). Ainsi les deux nouveaux réseaux sphériques qu'on fait dériver du premier, comme nous l'avons indiqué, sont formés, l'un des courbes supplémentaires des courbes (G) et de leurs trajectoires orthogonales, l'autre, des courbes supplémentaires des courbes (D) et de leurs trajectoires orthogonales.

De là résulte qu'on pourra, par de simples quadratures, déterminer les trajectoires orthogonales des courbes supplémentaires, soit des courbes (G), soit des courbes (D).

MÉTIIODK DE RKCIIERCHK DES SYSTÈMES (E). 45 1

En particulier, on pourra déterminer par des quadratures les trajectoires orthogonales des coniques homocjcliques, qui sont les supplémentaires des coniques homofocales. Nous laisserons au lecteur le soin de vérifier ce résultat.

2oi. Parmi les systèmes (E) qui se déduisent du système sphérique formé par les ellipses homofocales, on doit signaler particulièrement celui qui a été découvert par M. Humbert, et que nous avons déjà étudié au n° 58. L'une des trois familles qui le composent est formée de quadriques ayant les mêmes plans principaux, et dont les lignes ombilicales sont des droites, nécessairement normales à toutes les quadriques. Nous savons que la représentation sphérique d'une quadrique est formée d'ellipses homofocales, et il est évident par la géométrie que les foyers de ces ellipses servent de représentation aux ombilics de la quadrique. Par suite, les représentations sphériques de toutes les quadriques qui forment la famille de Lamé signalée par M. Humbert sont formées d'ellipses ayant les mêmes foyers. En d'autres termes, toutes les quadriques de la famille auront même représentation sphérique.

Nous avons vu qu'on peut déterminer les deux autres familles du système (E) ainsi obtenu.

2oo. Dans le Mémoire cité plus haut (n"24o), Ribaucour a considéré d'une manière générale les propriétés de toutes les surfaces qui admettent une représentation sphérique de la forme même que nous venons d'étudier. Nous allons voir qu'en elFet, il y a intérêt à les envisager indépendamment de tout système orthogonal. Mais, pour éviter les changements de notations, nous pouvons remarquer de nouveau que toute surface appartient à une infinité de systèmes triples et que, pour obtenir les relations entre une surface rapportée à ses lignes de courbure et sa représentation sphérique, on peut conserver toutes les formules relatives aux systèmes orthogonaux, à condition, bien entendu, de ne considérer que des déplacements s'effectuant sur la surface elle-même.

Par exemple si, dans les formules relatives à un système triple^ on isole toutes celles qui contiennent seulement les dérivées relatives à pyt et à p/, elles se rapportent à la surface de paramètre o/,. rapportée à ses lignes de courbure, mais considérée indépendam-

ment de tout système triple orthogonal. X/, Y/, Z/sontles cosinus directeurs de la normale, X/f, Y^, Z^ et X/, Y/, Z/ ceux des tangentes principales. Les quantités que nous avons désignées parP,, Pa, P/ seront les dislances de l'origine au plan tangent et aux plans principaux. Les translations et les rotations du trièdre sont encore définies par les Tableaux (E) et (E') du n" 201, où l'on prendra seulement les lignes relatives aux indices k et /, etc. L'élément linéaire de la surface étant donné par la formule

(36) ds^ = Ul dpl-h \if dpf ,

et celui de sa représentation sphérique par la suivante

(37) d,.J=pf,dpl-i-^J,dpf,

on aura, pour les relations entre H/v, H^, [3/^, (3,7, le Tableau suivant :

-T— = P//. H/, ôpt

àU/

dp,

= pA/H/...

àpu

= h/^iU,

àp/c dpi

OÙ les quantités (5)^/, '^ik sont définies j)ar deux des premières équations.

Ces formules permettent en particulier de résoudre le problème de la représentation sphérique, c'est-à-dire de déterminer toutes les surfaces admettant une représentation sphérique donnée.' Si l'on connaît en effet |3,Vf, [3//, les relations (89) fourniront ^ki^ ^ik-, puis l'intégration des deux équations (38) nous permettra de déterminer Ha, H/. Les coordonnées rectangulaires seront ensuite définies par les quadratures

/ dx — H^ Xa- o?p/. -t- H/ X/ dpi,

(40 dy^ ,

( dz =

On peut aussi, au lieu de H/f, H^, prendre les inconnues P,, P;t,

MÉTHODE DE RECHERCHE DES SYSTÈMES (E). \5'i

P/. Ces dislances, liées aux coordonnées par les formules

(42) j Xkcc -4- Y A- y H- Za-z = P/,,

salisferonl (n" 203) aux relations

et seront liées aux H/;, H/ par les relations

Fi ^P'^'^ P . ft P ' ^ /p? + p|+p;\

Alors le système (44)? analogue aux équations (38), fera connaître P^ et P/. Les formules (43) permettront de déterminer P,par la quadrature

et ensuite les relations (42) et (4^) feront connaître, et les coordonnées du point de la surface, et les valeurs correspondantes de Ha et de H/.

256. Ainsi, dans les deux méthodes, la partie la plus difficile de la recherche est ramenée à l'intégration d'un système linéaire du premier ordre et à deux inconnues, le système (38) dans la première méthode, le système (44) dans la seconde.

Ces deux systèmes sont tout semblables, et l'un se change dans l'autre quand on échange [i/(i et ^/a- Jls seront donc identiques si ^hi est égal à |3m.

Or pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit qu'une solution quelconque du premier système, par exemple, soit telle qu'on ait

-i ^ - JL f^ Ha dok ~ H^ dQi

454 LIVKE m. — CHAPITRE IX,

OU encore que

dH, „ OU/,

c'est-à-dire que

soit une différentielle exacte.

Comme jS/a et ^,7 constituent une solution de ce système, il suffira que

'i^iA-dp/c-^ ^'hdp/

soit une différentielle exacte. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Toutes les fois que V élément linéaire de la représentation sphérique d' une surface peut être mis sous la forme

d(ji ^ dut ^

l'élément linéaire de la surface, rapportée à des lignes de courbure, peut se mettre sous la forme analogue

ds^ = — - dpl^ — - dpf do/,- ' dp/ '

et vice versa

i2o7. Supposons donc maintenant qu'on ait

Les deux systèmes (38) et (44) deviendront identiques et nous démojitrerons, comme dans le cas des systèmes triples, que si U^, U/ et Va, V/ en désignent deux solutions diflerentes, l'expression

sera une différentielle exacte.

D'ailleurs, puisque ces systèmes sont identiques, ils admettront la solution

\ Hyi-= aX/,-h6Y/,H-cZ/,, / H/ = aX/ -I- 6 Y/ -I- cZ/.

Nous n'insisterons pas sur cette première solution qui donne é

evi-

demment les surfaces déjà considérées au n° 240 et dont la translation rectiligne engendre une famille de Lamé- Mais ici encore, comme pour les systèmes (E), on peut imaginer une méthode de récurrence qui, d'une surface admettant la représentation sphérique donnée, en fasse dériver une infinité d'autres. Soit en effet (S) une des surfaces trouvées. On peut, ou bien prendre pour les quantités P^, P/ relatives à une nouvelle surface (S, ) les Ha et les lii de (S), ou bien prendre pour les H/t et les H/ d'une nouvelle surface (S,) les P^ et les Pi de (S).

Dans le premier cas, les coordonnées a?), jKi> ^i ^e (S,) seront définies par les formules

..g. ) X/a7,-i- Y/jKi-+-Z/^, = H/,

X, X, -i- Y, j-i 4- Z, G, = f(U Ha ^Pa-4- ?// H, dpi

Dans le second cas, on aura à effectuer les quadratures

/ dx-i= (X/,a7-t- YA-j'-f-Z/tz)XA</pA4-(X/a7-f-Y/x-(-Z/z)X/rfp/,

(49) ) df-, = { )Ya- d?k+ ( ) Y/ dp/,

{ dz-i =( )Zkdpk-^{ )Z, dp,

qui détermineront (S,).

258. Ces méthodes peuvent être appliquées ici à une première solution, toujours connue. On peut, enefiet, prendre comme surface initiale (S) la sphère, qui est à elle-même sa propre représentation sphérique.

Alors le passage à la surface (S,) ne donne qu'un point, en vertu des relations

XA3--r-YAjKH-ZA5 = o, \ix-^Yiy-^Ziz = o; Mais, dans le passage à la surface (S)), il faut prendre

et les formules (48) nous donnent alors

/ Xa- Xi -I- Ya- 71 + Za 2i = 3,7,, (5i) X,a:,-+- = ^,7,

X; Xi

11 est inutile d'ajouter une constante à oj. La surface (S, ) est donc l'enveloppe du plan

Nous avons ainsi une représentation géométrique de la fonction 0).

Les valeurs de H^, H, relatives à (S,) seront données par l'application des formules (45). Nous trouverons ainsi

En les portant dans les formules (48), on verra facilement que la surface (Sa) est l'enveloppe du plan

(54) X,^ + Y,^4-Z,z=^ + i^ + i£ii.

2 1 dp/c 1 dpi