LES SYSTEMES DE M. GUICHARD

Les rotations ^th relatives à un système triple satisfont à deux systèmes distincts d'équations aux dérivées partielles. Le premier ne change pas lorsqu'on échange les premiers et les seconds indices des fonctions ^tk. Le second, qui se compose de trois équations, change; mais, si l'on joint les équations obtenues par cet échange des indices à celles qui définissent généralement les ^n,-, on a un système de douze équations, qui a été considéré en premier lieu par M. Guichard. On démontre d'abord, par l'application du théorème de Gauchy et d'un raisonnement fréquemment employé dans cet Ouvrage, que la solution générale de ce système dépend de six fonctions arbitraires d'une variable.

Quand on a obtenu un système de valeurs des ^ik, satisfaisant à ces douze équations, il leur correspond deux séries distinctes de systèmes orthogonaux, tous les systèmes d'une même série ayant même représentation sphérique. On donne les équations qui déterminent ces deux séries, et la comparaison de ces équations conduit à un grand nombre de conséquances intéressantes.

D'abord, si l'on connaît pour chacun d'eux la représentation sphérique, c'est-à-dire les expressions des cosinus directeurs des normales en fonction des coordonnées curvilignes, on peut déterminer, par de simples quadratures, des systèmes de l'une et de l'autre série.

On peut aussi, par l'intégration d'un système complet, obtenir tous les systèmes orthogonaux pour lesquels on a

H2H-Hf-1-H|= a(a;2 + j'2-l-i«)4- ^,

a et 3 désignant deux constantes. M. Guichard avait déjà considéré le cas spécial où ces constantes sont nulles.

Enfin, on peut constituer deux méthodes de récurrence permettant de déduire, d'un système appartenant à la catégorie précédente, une suite, en général illimitée, de systèmes nouveaux, de même définition.

259. En exposant, au Chapitre IV, la méthode générale de recherche des systèmes triples orthogonaux, nous avons vu que la principale difficulté du problème réside dans l'intégration simultanée des deux systèmes

(A) ff = P"P«.

auxquels doivent satisfaire les rotations '^Hf.

Le système (A) possède une propriété que nous avons déjà signalée à différentes reprises; il ne change pas quand on échange les premiers et les seconds indices des quantités |3//f. Il n'en est plus de même du système (A'), qui se change alors dans le système

Mais si l'on joint ces trois équations nouvelles aux équations (A) et (A'), on aura constitué un système de douze équations dont toutes les solutions iront par couples : à toute solution formée par un système de valeurs des [3,7f en correspondra une autre, formée en échangeant les premiers et les seconds indices de ces quantités.

260. Le système des équations (A), (A'), (A") a été considéré par M. Guichard (') dans un problème sur lequel nous reviendrons. M. Guichard a fixé de la manière la plus simple le degré de généralité de leur solution. Si l'on isole dans ces équations celles qui contiennent une dérivée par rapport à p/, on aura d'abord les six équations

U^ = M>>. ^ =- ^ ~ P'-^PM-, -§^=-^- P;.-P./, f -Z — == ? kl Pli, -f— =— "X ^A-zP//, -T— = f p/A-P/7,

(') Guichard, Sur les systèmes triplement indéterminés et sur les systèmes triple-ortliogonaux, p. 8i et suiv. Paris, igoS.

LES SYSTÈMKS DK M. U U I C II A R D . 4^9

!t il ne restera plus que le sjslème des six équations

ôpi "^ "^ dp.

Or, d'après le théorème de Cauchj, les six équations (i), résolues par rapport aux dérivées des fonctions inconnues, admettent une solution pour laquelle les '^hh' se réduisent à des fonctious arbitraire [ii/V de p, et de o/t pour p/= p". D'autre part, ces fonctions (3"/,. devront évidemment satisfaire au système (2), où l'on aura fait p/= p^. Cela est toujours possible, puisque ce système (2) ne comprend que six inconnues pour six équations; il fournira donc pour les ^/'/,, des valeurs qui dépendront de six fonctions arbitraires d'une variable. Ainsi, nous pouvons toujours, avec le degré de généralité que nous venons de fixer, obtenir pour les ^ik des valeurs vérifiant absolument le système (i), c'est-à-dire le vérifiant pour toutes les valeurs de p/, p^, p/, et vérifiant le système (2), au moins pour p/= p", quels que soient p/ et p^. En répétant un raisonnement que nous avons fait à diverses reprises, nous allons voir que le système (2) sera, lui aussi, absolument vérifié.

En admettant, eu efiet, que les fonctions '^hh' vérifient le système (i) pour toutes les valeurs de p,-, oa, p/, on reconnaîtra aisément que les premiers membres des équations (2) vérifient les idenLités

?i/Uf — fi /a M/,,

D'après le théorème de Cauchy, le système précédent, considéré comme propre à déterminer les inconnues u/i, ii\, admet une solution, et une seule, pour laquelle ces inconnues se réduisent à zéro lorsqu'on y fait p/ = p". Or celte solution est évidente : elle s'obtient en donnant des valeurs nulles aux Uh et aux u'/^. Il est donc

^=li,„.,,„„.

du'i dui

dp, ~ dp,,

dp, ~ dp.

4Go LIVRE m. — CHAPITRK \.

ainsi démonU'é que le système (2) sera vérifié, dans les conditions que nous avons indiquées, de même que le système (i), c'est-à-dire pour tontes les valeurs données à p,, Off, p/.

t261. Ce point, qui a été établi par M. Guichard, étant rappelé, nous savons que, dans le cas actuel, comme dans tout autre, il y aura des systèmes orthogonaux correspondants aux rotations ^/a et pour lesquels les X/, les P/ et les H,-, les x seront reliés ou déterminés par les systèmes suivants, donnés au Chapitre IV :

(B) ^=^aUk, (D) ^=P;,-U,-?/,U/.

(F) P,= X,;!- + V,-^ + 7.,z. (G) îj£i = %iP„.

Mais, puisqu'on peut échanger les premiers et les seconds indices des rotations^ il y aura une seconde série de systèmes orthogonaux qui correspondront^ après cet échange des indices.^ aux mêmes rotations. Si nous désignons par des lettres accentuées tout ce qui se rapporte à celte nouvelle série, elle sera définie par les équations /

(B;) ff = P^^H^, (G.) g = HiU^.

(F,) V\=x[x+\'iy+Z'iZ, (GO g = îi„,p:,. ( I, ) " '^ = ^ + ?^A- n + ^ii P/ = :^.^,^ P'-' + P/^ ^ P/' ^'

analogues à celles que nous avons obtenues pour les systèmes de la première série.

262. De ces remarques si simples, on peut faire découler de nombreuses conséquences.

Remarquons d'abord qu'aux notations près, les équations (B,)