LES SYSTÈMES DE M. GUICHARD

sont identiques aux équations (B'). De là résulte qu'on aura des systèmes orthogonaux de la première série en prenant les valeurs suivantes des H,

(4) H/=aX;--+-6Y:-+-cZ',-,

les rt, b, c désignant des constantes. Portant ces valeurs des H/ dans les équations (C), on trouve

1 a- = «800-+- 6801 + ceo2,

(5) . y = «610+ èen-f- ce,2,

( - = ae.20-1- 6Q21 -1- cOo-,, les 0/A étant définis par les formules

1 rfeoo=2X/X',-rfp/, c?0o, = sX/Y',<fp/, £/e„2 = sX/z;rfp/,

( 6 ) j rfeio = s Y/ x'i dpi, rfe,, = s Y; y;- dpi, dBii=z y, z;- dp,-, { ^020 = 2 Zi x'i dpi, de.2 1 = s z,- y;- rfp,-, de 22=1. z,- z; dp/.

Pour raison de symétrie, il est clair qu'on aura des systèmes orthogonaux de la deuxième série en prenant

!x'= a'B^)^)-+■ b'eu)+ c'&20, y =, a' 601 + b' S II + €021, z' = a'Boî-^ b'6i2-h c'622,

«', b', c désignant des constantes comme «, b, c.

Ainsi, dès qu'on aura les cosinus directeurs pour les deux séries de systèmes orthogonaux, on aura, par de simples quadratures, des systèmes orthogonaux faisant partie de chacune de ces séries.

263. Nous avons indiqué plus haut que M. Guichard avait été conduit au système des équations simultanées (A.), (A'), (A") par l'étude d'un problème particulier. Ce profond et ingénieux géomètre a obtenu, en efTet, ces équations en se proposant de déterminer les systèmes triples pour lesquels on a

(7) lV-+Ul+Uj = o.

Comme l'a remarqué M. Guichard, ces systèmes jouent dans l'espace le même rôle que les systèmes orthogonaux et isothermes tracés sur une surface. Car, si l'élément linéaire de la surface est

ds^=ujdpj+indpi,

462 LIVRE III. — CHAPITRF, X.

la condition d'isothermie peut toujours être ramenée à la forme

tout à fait analogue à la relation (-). Mais cette relation, à laquelle s'est limité M. Guichard, est beaucoup trop particulière, et l'on donnera à la théorie toute l'ampleur dont elle est susceptil)le, en lui substituant une autre relation, beaucoup plus générale, et qui conduira à des résultats plus complets.

Cherchons les systèmes triples pour lesquels on a

(8) H|-+-Hl.+ H7 = a(^»-h7-^ + z2) + ^,

a et ji désignant des constantes quelconques. Lorsqu'elles deviendront nulles, on retrouvera la relation (7); de sorte que notre problème comprend, comme cas très particulier, celui qui a été envisagé par M. Guichard.

Différentions par rapport à 0/ l'équation (8), qu'on pourrait aussi écrire

(8') HJ+ H|.+ h; = a(P? + p;,+ P?) + [i.

Nous aurons

(9) ^■ + Pan/.-Hp,7H/=aP,.

Si nous joignons à ces trois équations les systèmes (B'), (G), (1), nous aurons toutes les dérivées des six fonctions H/ et P,; et les conditions d'intégrabilité nous donneront, il est aisé de le reconnaître, en même temps que les équations (A), (A'), le système (A").

Si, par exemple, on dilïerentie l'équation (9) par rapport à p/;, on obtient

c'est-à-dire la première des équations (A.").

Ainsi, les systèmes orthogonaux pour lesquels la relation (8) est vérifiée doivent rentrer dans la classe que nous étudions.

Réciproquement, si, supposant vérifiées les équations (A), (A'), (A"), on envisage le système complet constitué par les dix-huit équations (9), (B'), (G), (I), il est facile de voir qu'il