LES SYSTÈMES DE M. GUICHAUD
admettra l'intégrale quadratique
H?+Hl.+ H;-a(I>? + P|+P;) = P,
identique à la relation (8), sous la forme (8') que nous lui avons donnée, en vertu de l'identité
264. Le cas particulier où la constante a est nulle mérite d'être signalé. Alors les équations (9) ne contiennent plus que les H/; et les deux systèmes (9) et (B'), auxquels satisfont les H/, sont identiques, aux notations près, aux systèmes (B,) et (13,) qui déterminent les X'^, Y'^, Z|. On a donc alors, pour les valeurs générales des H/, les expressions suivantes
(11) H, = aX'i-hbY'i-hcZ'i, avec la condition
(12) a'^-h b'^-hc^=^.
Dans le cas particulier envisagé par M. Guichard, la constante p est nulle et l'on doit avoir
de sorte que la détermination des deux séries de cosinus directeurs fournit la solution complète et générale du problème posé par M. Guichard, et même d'un j)roblème plus général.
205. D'autres conséquences peuvent dériver de nos équations fondamentales. On peut en déduire, en particulier, des méthodes de récurrence qui font dériver d'une solution du problème une infinité de solutions nouvelles.
Supposons, par exemple, qu'on connaisse un système orthogonal (S) de la première série, caractérisé par les valeurs H/ et P/. Comme les équations auxquelles satisfont les H/ de l'une des séries sont les mêmes que celles auxquelles satisfont les P, de l'autre, on voit qu'on pourra déduire du système (S) deux systèmes (S') de la seconde série en prenant
soit P;=H/. soit 11; = F/.
Commençons par étudier la première hypothèse
Le système (S') de la seconde série sera alors défini sans quadrature par les équations
(i5) \'ix'-^\'iy'-^Z'iZ'= H/,
qui donnent
(i6) a7'=2X;H/, y=SY;H„ 45'=2Z;H,.
Envisageons maintenant l'autre hypothèse
Alors les formules (C,) nous donneront
(18) x'= Cl^PiX'idpi, y= f LPi^'icipi, z'= C^PiZ'idpi;
il y aura, cette fois, trois quadratures à elï'ectuer pour obtenir le nouveau système (S').
En-tenant compte des expressions des P/ et des formules (6), on pourra écrire
ix'= I (x dQoo-^ .y d&ii)-^ z dS-îo), y' = j'{xdQ,,^yd^u-+-zdQn\ \ z' = j {x dBio^ y d&ii-h z d'an); de sorte que si l'on pose
(20) Qi= j (0oi dx -t- 0)/ dy -h 02, dz),
et si l'on suppose les 0/ exprimés en fonction de x^ y^ 5, on aura
(ai)
dù^ ()Qo (^iîo
dx ■" dy dz
-Ûo,
r}Q, dQ, dV.
-Si,
tJOa dO., ()02
dx -^ dy dz
~ ii2,
M-: s SYSTÈMES DE M. G U I C £1 A R D . 463
266. De la double remarque précédente il résulte qu'on peut toujours, par des calculs algébriques ou des quadratures, déduire du système (S), supposé connu, une suite linéaire de systèmes nouveaux
illimitée dans les deux sens, les systèmes d'indice pair appartenant à la pi'emière série, les systèmes d'indice impair à la seconde, tous ces systèmes étant rattachés les uns aux autres par les formules
(2,1) ^<2*' = SX/Hl-2^'-". j(2/.)=2Y,H</^-", c(2^' = 2Z-Hl-2*-",
où «■'^^,y'^^, z'-^^ désignent les coordonnées du point qui décrit le système (S^).
Si, au lieu de descendre la suite (22), on veut la remonter, on
aura
(26 ) ] jk'-/'' = A:^'-/'-" rfei„-f- j' 2/'-') ^e,i-^ s'-/'-" dkdii), f ^(2^-) = f(x^-ik~i) rfe,o-t-jK'2/'-" de.2i + -5'^^'-'' ^622),
qui devront être appliquées successivement.
En général, si H^'"\ P""" désignent les valeurs des H/ et des P/ pour le système (S,„), on aura
et, par suite,
(p7^-"=h^^' ^^ +p.,pr +P//p^^ (28) I \i i^
et
Telle est la première méthode de récurrence qui fait dériver d'une solution du problème une suite de solutions nouvelles.
Cette suite, il est vrai, n'est pas toujours illimitée. Si, par exemple, on prend pour le système (S) celui que nous avons déterminé plus haut, au n" 262, et qui correspond aux valeurs
le système (S() se réduit au point de coordonnées a, 6, c, et tous les systèmes d'indice positif disparaissent. Il ne reste que ceux d'indice négatif, obtenus par des quadratures.
267. Au lieu de chercher si la suite (22) se termine, nous allons examiner si elle peut être périodique. Le cas le plus simple, auquel d'ailleurs se ramènent tous les autres, est celui où les systèmes dont les indices ont même parité seraient homothétiques. Les formules (27) et (28) nous donnent
Si nous supposons que l'on ait
(30) P<-^'=aP,-,
a étant une constante, le système (S^) sera homothétique au système (S), et la condition imposée se trouvera remplie. On retrouve ainsi les systèmes caractérisés par la relation
(3i) H?-+-H;,+ H; = a(:c2-hjK^H-^2)-+- j3,
et étudiés plus haut, au n" 264. Pour le système (S,) de la seconde série qui leur est adjoint, on a
et, par conséquent, la formule (3i) nous donnera la relation suivante :
entre les coordonnées des points qui se correspondent dans les deux systèmes.
268. Le cas particulier où la constante ^ est nulle dans la rela-
