LES SYSTÈMES DE M. GLICIIARD

tion (3i) va nous fournir la seconde des méthodes de récurrence que nous voulions signaler. On a alors

(32) Hj+lll+Uj = oL(x'^-^yi+z^).

Soumettons le système (S) à une inversion dont le pôle sera l'origine des coordonnées. Il faudra alors remplacer partout

H/, H/,, H/, x'^^y^-^z^, par

.7/2 ^ ^2 ^ 32 a-2 -i- jK- -H 2^ x''-^y-—z- a---~j^-i-z-

Cetle substitution ne change pas la forme de la relation (32); elle transforme donc le système (S) en un système de même nature et pour lequel, par conséquent, les |i/A satisfont aux relalions (A), (A'), (A").

Cette nouvelle méthode, à la différence de la première, change les valeurs des |3//f; car, si l'on désigne par [i//t les nouvelles valeurs des ^3/^, on obtiendra aisément la formule

Si l'on supposait a = o, on retrouverait une méthode de récurrence déjà signalée par M. Guichard.

269. Nous terminerons en présentant la remarque suivante : Si, dans les équations (A) et (A'), on suppose

les équations (A") sont vérifiées d'elles-mêmes, et l'on retrouve les systèmes orthogonaux étudiés dans les Chapitres précédents. Les méthodes de récurrence que nous avons développées ici apparaissent donc comme la généralisation de celles qui ont été découvertes par M. Egorov qui ont été étudiées plus haut au Chapitre MIL

270. Nous laisserons au lecteur le soin d'interpréter géométriquement toutes les équations que nous avons obtenues. Il verra

468 uvaii m. — ciiapiïrk x. — les systèmes de m. guicharo. aisément que tous les sjslèmcs obtenus dans ce Clia[)itre sont caractérisés par la propriété suivante :

Etant donné un tel système, il en existe un autre pour lequel les P,- sont égaux aux H, du premier, ou pour lequel les H/ sont égaux aux P/ du premier.

Etant donnés les systèmes triples, plus particuliers, caractérisés par la relation

il existe une congruence de courbes dans l'espace qui jouissent de cette curieuse ])ropriété que les arcs de ces courbes compris entre deux surfaces coordonnées de la même famille soient tous etc.