TT

f{u) désignant le polynôme à racines constantes

(i5) /(a) = {u — a^){u — a^). . .(u — an+î),

les quantités /;■. satisferont à la relation identique

et pourront être considérées, par conséquent, comme les coordonnées sphériques d'un point dans l'espace à n dimensions.

Les quantités pj, p^, ..., pn seront les n racines de l'équation en 1

Par un calcul analogue à celui de Jacobi, on trouvera

cp(«) désignant, pour abréger, le polynôme

(l8) Cp(M) = ( M — Pi)(k — p2)...( M — p,l).

SUR L API'LICATIOX DU THÉORÈME d'aBEL. 4y5

On aura donc, pour l'élément de l'espace à n dimensions, l'expression suivante, déduite des formules (i3) et (17),

où M aura pour expression (•20) M = — — -

Hv/-

On voit ainsi que, dans un espace quelconque, les n variables p,- définies par l'équation (16) forment un système de coordonnées curvilignes orthogonales.

Ce système est plus général que celui de Lamé et de Jacobi, puisque les surfaces qui le composent, et pour lesquelles une des coordonnées est constante, sont définies par l'équation (16) ; et l'expression (7) des coordonnées j^yt montre que ces surfaces sont du quatrième ordre et qu'elles admettent pour ligne double le cercle de l'infini.

274. Des calculs qui viennent d'être développés il résulte que, dans tout espace à n dimensions, on peut définir deux systèmes orthogonaux algébriques pour lesquels l'élément linéaire est compris dans la forme générale

où l'on a

(9.2) cp(«) = (if — p,)...(M — p„)

et oùy'(«) désigne un polynôme algébrique à coefficients constants. Pour l'un de ces systèmes, formé des surfaces homofocales du second degré, M se réduit à une constante et lepol3'nome/(M) est du degré n. Pour l'autre, formé de surfaces du quatrième ordre analogues aux cyclides, f{u) est un polynôme du degré « + 2. Nous allons voir comment l'application du théorème fondamental d'Abel permet de rattacher à ces systèmes une suite illimitée de nouveaux systèmes orthogonaux algébricjues.

0 et ©1 désignant des fonctions quelconques des variables p,-, dési-

gnons par A0, A(0, 0,), les symboles opératoires suivants

L'équatioi

est évidemment la condition nécessaire est suffisante pour que les surfaces appartenant aux deuv familles

e = const., Bi=const.

se coupent mutuellement à angle droit.

Gela posé, introduisons la fonction 0 définie par la formule

où l'on a

(25) ^{u) = {u — 1^) {u — aa). . .(« — a,j),

a,, ..., (Xji désignant n constantes arbitraires.

Il est facile de voir que la fonction 0, considérée comme dépendante des quantités a,, satisfait identiquement aux équations aux dérivées partielles suivantes :

, , n ( n — I ) qui sont au nombre de

Considérée comme fonction des variables p/, elle satisfera également à une équation aux dérivées partielles que nous allons former. On a

La somme qui figure dans le second membre est précisément une de celles qu'Abel nous a appris à évaluer. C'est le coefficient de— dans

le développement de -^ — - suivant les puissances descendantes de //.

s LU l'a l'P M CATION DU T 11 K 0 R È M E d'aBKL. 477

On a donc généralement

(28) Ae=2(?'— '^'>-

Ce point étant admis, reprenons la formule générale

et difTérenlions par rapport à une des constantes a. On sera évidemment conduit à l'identité

, , I (?Ae / ù<d\

-2, dli \ ÔT-iJ

En faisant usage de cette relation, on voit que, si l'on différeutie \^î^v ra])port à a, l'équation (28), on aura

Difréreiilions à son lour Téquation (3i)par rapport à une autre des constantes a,; nous auions

Or, d'apiès les équations (26) auxquelles satisfait 0, on a idenliquem eut

ce qui donne, en tenant compte de l'équation (3i),

(3^) Afe, ^^)=o.

On aura donc, dans tous les cas, en vertu de l'identité (82),

Le lecteui- pourra d'ailleurs calculer directement -— •> - — et vérifier

sans peine la relation, fondamentale pour notre objet, que nous venons d'(d)tenir.

478 NOTK I.

275. Ces formules préliminaires une fois établies, considérons une fonction F des seules variables a/, assujettie à vérifier les équations aux dérivées partielles

et écrivons les n équations

Ô7.i àoL/; Ôt-i à'Xk

qui déterminent a,, ..., a„ en fonction de pi, ..., p„. Nous allons montrer que les fonctions a, ainsi définies forment un système complètement orthogonal.

Remarquons à cet effet qu'en vertu des équations (26) et (36), on a identiquement

. / ^^e ^'^F \ ç)e ^;f dfd <w

\00L,d0i/,- (JOLiÔX/^J àoLi (J7.( ÔT-k OO-k ~

Par conséquent toutes les équations

ô'J.i doLk On-i àxtc

OÙ i est différent de A", s'obtiennent par la combinaison linéaire des équations (87), dont elles sont de simples conséquences.

D'après cela, si nous diflerentions totalement les équations (87), nous aurons, en tenant compte des formules (38),

(3.,) yj?!^.,„,(^:^)<,,,

Si donc l'on pose, pour abréger,

on voit qu'on aura

PiPk \Oxi diu)

Donc les fonctions aj, ..., a„ forment un système orthogonal.

On peut démontrer ce résultat d'une autre manière. La relation (40

SUR L APPLICATION DU THÉORÈME d'aBEL. 479

montre que les n'^ éléments définis par la fornnule

V ?'(Pa) / / (m\

sont ceux d'une substitution linéaire orthogonale. Car, en vertu de l'équation (4i)> i'^ satisfont identiquement à la relation

/ , Cil Ckl = O l = \

et, d'après la définition du symbole A, on a évidemment

Or on trouvera aisément qu'on a

^^ d0\ I cT'(a,-)

ce qui donne, pour l'expression des coefficients Cn^,

y o'(p/,-)y rs'(oLi) (JoLiàp/^-

En tenant compte de cette expression, l'équation (89) peut se mettre sous la forme

V* i Z^'^pA-) , , /—©(a,-)

Si l'on élève les deux membres au carré et si l'on ajoute toutes les équations obtenues en donnant à i toutes les valeurs possibles, on aura

lisant l'équalion (21), (43) <,„ = 4M=2|^ />,"",'■

ou encore, en utilisant l'équalion (21)

48o NOTE I.

Cette expression de réiémeiit linéaire de l'espace à n dimensions, étant débarrassée des rectangles, met en évidence que les fonctions a,- forment un système complètement orlliogonal.

27G. Des propositions précédentes lésulte l'existence d'une infinité de systèmes orthogonaux nouveaux. II est aisé en effet de démontrer que les équations aux dérivées partielles (36), quoique en nombre surabondant, admettent des solutions, algébriques ou transcendantes, en nombre illimité, et que leur intégrale générale contient dans son expression n fonctions arbitraires d'une variable. Les systèmes orthogonaux définis par les formules (3-)

ont donc un degré assez grand de généralité.

Les équations précédentes se |)i'ésenlent sous forme transcendante, puisque 0 a pour expression

'rfp,

mais nous allons voir qu'en s'appuyant sur la découverte fondamentale d'A.beI relative aux intégrales algébriques, on pourra, dans un nombre illimité de cas, les lemplacer par des relations entièrement algébriques.

Considérons en eflél l'équation

(44) P^-QV(^)^(^) = o

où P et Q désignent deux polynômes algébriques en x, dont nous regnrdons les coefficients comme variables. Le théorème d'Abel nous apprend que, si Ton désigne par j?,, j^g» ••• l^s racines de cette équation et si l'on suppose, pour chacune d'elles, le signe du radical défini par l'équation

(45) sjj\x)m{x)^ ^,

on aura, en faisant varier les polynômes F et Q de ôP et de ôQ et en désignant par bxi la variation correspondante de .r,,

Y R(:r,)o.r/ ^ . 2R(^) (P 5Q - Q SP ) .

SUR l'application du tiikorèmk dabkl. 481

R (^) désignant un polynôme quelconque et iK étant le signe qui exprime le coefficient de - dans le développement de l'expression soumise à ce signe suivant les puissances descendantes de a:.

Supposons maintenant que les coefficients des polynômes P et Q varient d'un système de valeurs désigné par l'indice o à un autre système désigné par l'indice i. Chacune des racines jCi passera d'une valeur jt" à une valeur a;} ; l'équation précédente, intégrée entre ces deux états, nous donnera la suivante

qui est due également à Abel,

277. Nous allons l'appliquer successivement à nos deux systèmes orthogonaux en prenant pour nT(^) le polynôme défini par l'équation (25) et pour/(^) le polynôme qui figure dans l'expression de Télément linéaire.

Pour le premier des deux systèmes orthogonaux, ce polynôme est du degré n. Choisissons P du degré /? H- «, Q du degré p — i et prenons pour système de valeurs initiales celui pour lequel P se réduit à son premier terme, tous les coefficients de Q étant nuls. Alors toutes les valeurs initiales a-f seront nulles et il en sera de même de la voleur initiale de

P-Q//(^)Tn(:r)*

(Choisissons maintenantpour l'état final celui dans lequel n des 2p-\-2n racines J7, sont égales à pi, p2, . . . , Pn, les 2/? + n autres se réduisant toutes à des constantes /i,, Aj, ... , liip+n- En exprimant que l'équation (44) admet toutes ces racines, nous aurons 2p-\-2n équations qui, par l'élimination des ?./?-l-/i coefficients de P et de Q, donneiont n relations algébriques entre les quantités p,, a^;, ht. Ces relations algébriques donneront naissance, d'après la formule (47)» ^^^ relations transcendantes comprises dans la formule générale

s/f{h,)-^{hi)

él^o v//(P')'^(?') éi Jo

^f(x)Tn{x) "" P ~q^/{x)m{x)'

P et Q ayant les valeurs qui correspondent à l'état final, parce que, pour l'état initial, le logarithme qui figure dans la formule (47) se réduit à zéro. Ainsi les coefficients de P et Q sont déterminés par les conditions

(49) P(9i)-Q(Pi)VApô^(Pi) = o,

(50) P(hi)-q(hi}^Ahi)m{hi) = o,

qui permettraient évidemment d'écrire les expressions développées de ces polynômes.

Dans la formule (48)) 'e second membre sera nul toutes les fois que R(^) sera de degré inférieur à n. On aura donc

>/f{hi)w(Jli)'

pour tout polynôme R(.27) de degré inférieur ou égal An — i.

D'après cela, prenons pour R {x) successivement les différents quotients '— que l'on obtient en supprimant un des facteurs deGj(^).

On aura les n équations

y /* v/7n(p/) doj __ ICI r \/m(hi)

auxquelles on peut donner la fornîe suivante Posons

Les équations (5i) pourront s'écrire sous la forme abrégée

La fonction F satisfait aux équations aux dérivées partielles (36), on le reconnaît par un calcul des plus faciles. Nous voyons donc que les équations (54) rentrent dans le type (87) donné plus haut et que les variables a,, «2, ... , oi-,i déterminées par ces équations en fonction de pi, P2, ..., p„ sont les paramètres d'un système orthogonal. Comme

SUR l'application du théorème d'abel. 483

les relations transcendantes (54) peuvent être remplacées par les équations algébriques que Ton obtient en éliminant, entre les équations (49) et (5o), les coefficients de P et de Q, on reconnaît que tous les systèmes orthogonaux ainsi définis sont algébriques.

278. Les raisonnements précédents se rattachent au premier des deux systèmes orthogonaux définis aux n°* 271 à 273. Si nous envisageons le second, pour lequel f{x) est du degré /i -h î?, on pourra constituer une théorie analogue.

On prendra l'équation algébrique

(55) P2— Q2/(^)TO(a;) = 0,

où P sera maintenant un polynôme de degré « +/> + i et Q un polynôme de degré p. On exprimera qu'elle admet pour racines p,, , . ., p„ et /i + 2/> + 2 constantes A,. L'élimination des « + 2/) -+- 2 coefficients de P et de Q entre les 2/1 + 2/74-2 équations ainsi obtenues laissera n relations entre les variables p/ et les variables a^ qui définiront également un système orthogonal. Le raisonnement est le même que pour le cas précédent.