Considérons une ellipse (E) définie par les équalions

Elle admet, comme on sait, une focale réelle, qui est une hyperbole (H) définie par les équations

c étant liée à 6 et à a par la relation

de sorte que l'axe focal e>l le même pour les deux coniques et que chacune d'elles a pour sommets les foyers de l'autre.

Si l'on considère un plan (|uelconque défini par l'équation

(4) ux -\- vy -+- (V z -i- p = o,

la condition pour qu'il soit tangent à la fois à l'ellipse et à l'hyperbole s'exprime par les deux relations

qui entraînent comme conséquence la suivante

Il résulte de là que les coniques (E) el (II) sont les lignes doubles d'une développable isotrope (A), qui admet, du reste, deux aulres lignes doubles à savoir : le cercle imaginaire de l'infini et aussi une

SUR LA rVCLIDE DE DUPIN. 483

autre conique imaginaire, située dans le plan des y^, et dont les équations pourront s'écrire

Toutes ces propriétés générales sont bien connues. Nous allons, au contraire, insister sur les suivantes, dont nous aurons à faire usage, et que nous avons signalées, il y a déjà longtemps, dans notre Ouvrage : Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces et sur ta théorie des imaginaires^ publié en 1873.

280. Etant donnée une développable isotrope (A), traçons sur elle une courbe ^[uelconque (G). Soient M un point de (G), M^ la tangente à la courbe en ce point et {d) la génératrice recliligne de (A) qui passe en M. Le plan langent en M à (A) contiendra à la fois Mt et {d) ; et, comme il est isotrope, il contiendra sa propre normale, qui sera la génératrice rectiligne {d). En sorte que {d) sera une droite isotrope normale en M à la tangente M^. De là résulte la proposition suivante :

Si l'on connaît une courbe (G) d'une développable isotrope (A), on construira cette développable isotrope en menant en chaque point M rfe (G) une des deux droites isotropes qui sont normales en ce point à (G). De sorte que 5/ (G) est une courbe double f/e ( A), il suffira, pour obtenir les deux nappes de (A) qui se croisent en (G), de construire en chaque point de cette courbe les deux droites isotropes situées dans le plan normale la courbe.

Appliquons cette proposition générale au cas particulier que nous avons en vue. Soit A, par exemple, un point particuliei'de l'ellipse (E); les deux autres droites isotropes normales en A à (E) sont évidemment symétriques par rapport au plan des xy et vont couper l'hyperbole en deux points B, B', placés symétriquetnenl par rapport au même plan des xy. Les deux droites isotropes AB, AB' sont normales respectivement en Bel B' à l'hyperbole (H), il en est de même, pour raison de symétrie, des droites A' B, A' B' qui joignent à B, B' le point A' de ( E), symétrique de A par rapport au plan des xz. On a donc constitué un quadrilatère ABA'B' ((ui jouit des nombreuses propriétés suivantes :

1° Tous ses côtés appartiennest à la développable (A) et, par conséquent, ils sont isotropes ;

9.° Deux de ses sommets opposés sont sur une des coniques focales : A, A' sont sur (E); B, B' sur (H);

3° Les côtés qui se croisent en un de ses sommets sont normaux à la conique qui contient ce sommet. Par exemple AB, AB' sont normaux en A à (E), BA, BA' sont normaux en B à (H) ;

4° Les tangentes en A, A' à l'ellipse, en B, B' à l'hyperbole vont concourir en un même point de l'axe des x, qui sera le centre d'une sphère {1) contenant les quatre côtés du quadrilatère.

Considérons en effet le côté AB du quadrilatère, qui est une génératrice de (A). Le plan tangent de la développable suivant AB contient évidemment la tangente en A à l'ellipse et la tangente en Bà l'hyperbole. Ces deux droites vont donc concourir au point où ce plan tangent coupe l'axe des œ] et il en est de même, pour raison de symétrie, des tangentes en A' et en B'. Soit D le point de concours des quatre droites. La sphère (2) de centre D et de rayon DA contiendra évidemment les droites isotropes AB', AB normales en A au rayon DA et, pour raison de symétrie, elle contiendra de même les côtés A'B, A'B'. Elle sera évidemment normale en A, A' à l'ellipse et en B, B' à l'hyperbole.

5° Les points-sphères qui ont pour centre A ou A' coupent le plan de l'hyperbole suivant un cercle (K') qui est tangent en B, B' à l'hyperbole, et les points-sphères qui ont pour centre B ou B' coupent le plan de l'ellipse suivant un cercle (K) qui est tangent en A et A' à l'ellipse.

En effet, le point-sphère qui a pour centre A, par exemple, est évidemment tangent à la développable (A) suivant les deux droites isotropes AB, AB'. Il coupe donc le plan de l'hyperbole (H) suivant un cercle (K') qui est tangent à la développable (A) et, par suite, à l'hyperbole, en B et B'.

On raisonnera de même pour le cercle (K).

Il est clair que les deux cercles (K) et (K') sont, l'un et l'autre, normaux à la sphère (2).

6" Appelons /o/er^ d'un cercle les deux points-sphères passant par ce cercle. Quand une sphère est orthogonale à un cercle, elle est orthogonale à toutes les sphères passant par ce cercle; en particulier elle contient ses foyers, et réciproquement. Donc ici toutes les sphères qui passeront par A, A', foyers du cercle (K'), seront orthogonales au cercle ( K') ; et de même toutes les sphères passant par B, B' seront orthogonales au cercle (K).

Toute sphère passant par l'un des cercles, (K) par exemple, contiendra les foyers de (K') et sera, par suite, orthogonale à (K').

7° Considérons le cône de sommet A circonscrit à l'hyperbole (H). Il sera évidemment tangent suivant les droites AB, AB' au pointsphère A. Ce sera donc un cône de révolution ayant pour axe la droite