SUR LA CYCLIDE DE DUPIN
perpendiculaire au plan BAB', c'est-à-dire la tangente en A à Tellipse (E). Inversement, si un cône de révolution contient l'hyperbole (H), son sommet sera le centre d'un point-sphère doublement tangent à l'hyperbole et, par conséquent, sera un point de l'ellipse.
En répétant le raisonnement pour le point B, on voit que chacune des deux focales (E) et (H) est le lieu des sommets des cônes de révolution passant par l'autre, et que l'axe de chacun de ces cônes est la tangente menée à la focale, au sommet même du cône.
281. Il résulte immédiatement des propriétés précédentes que, si l'on considère toutes les droites assujetties à rencontrer à la fois les courbes (E) et (H), elles forment une congruence de normales.
Soit, en effet, MP une de ces droites, rencontrant l'ellipse en M et l'hyperbole en P. Les deux plans focaux de cette droite sont évidemment ceux qui passent par la droite et par l'une des tangentes, en M à Tellipse, ou en P à l'hyperbole. Or ces deux plans sont évidemment rectangulaires. Car si l'on considère, par exemple, le cône de sommet M qui passe par l'hyperbole, l'un des deux plans focaux est le plan tangent suivant MP à ce cône; l'autre plan focal est celui qui passe par l'axe du cône et la génératrice MP. Le cône étant de révolution, ces deux plans sont nécessairement orthogonaux, ce qui est la condition nécessaire et suffisante pour que les droites MP engendrent une congruence de normales.
Au reste, cette proposition fondamentale peut être établie par l'analyse de la manière suivante :
282. Un point M de l'ellipse (E) peut toujours être défini par les équations
(8) T = a cos(D, j—bsino, z = o^
où o désigne l'angle d'anomalie; et de même un point Mi de l'hyperbole (H) est défini par les formules
(9) a"=ccos9i, ^ = 0, zz=bisinoi,
qu'on déduit des premières en y changeant c en a, « en c et 6 en bi. A la vérité l'angle cp, n'est pas réel, mais son emploi donne plus de symétrie aux calculs ultérieurs; et il suffira d'ailleurs, pour faire disparaître des formules toute apparence d'imaginarité, de remplacer cp, par if\i^ par exemple, ^j; étant réel.
A l'aide des formules précédentes, on peut obtenir la distance MMi.
Un calcul facile nous donnera
(lo) MMi = (ccosQ — acoscpi)2,
et de là il résulte que la sphère (S) de centre M et de rayon
(if) R = c cos<p -+- /i,
où A' désigne une constante, sera toujours tangente à la sphère (Si) ayant pour centre le point Mj et pour rayon
(12) R] = a costpi-H A-;
car l'identité (10) exprime qu'on a
MM, = R— Ri.
Les deux sphères variables (S) et (Sj), demeurant toujours tangentes l'une à l'autre, auront nécessairement la même enveloppe, qui sera la surface décrite par leur point de contact commun et sera normale aux diverses positions de la droite MMj.
L'équation de la sphère (S), qui s'obtient sans difficulté, se présente sous la forme
(i3) x^ -h y^ -\- z- — i(ax -h ck) cosç. — ^^^ sincp -H 6- — /i- = o.
Celle de la sphère (Si) est de même
(i4) X- -i- j^- -\- z- — 7.(cx -i- ak) coscpi — 7. hi z sinoy — b'^ — k- = o;
de sorte que l'application de la théorie des enveloppes nous fournit l'équation de la cyclide sous les deux formes équivalentes
(i5) i{ax-{- cky--\-^b'^y^ = {x^-^y'--^z^--^b'^~k'^y,
(16) 4(c:P + aA)'^— 4^--^ =(.r2-+-jK2+z2— 62— A2)2.
Lorsque k variera, on aura une famille de cyclides parallèles.
283. Parmi les sphères (S), deux se réduisent à des points, qui sont sur l'ellipse et correspondent aux valeurs de cp pour lesquelles le rayon R est nul. Les deux points A, A' ainsi obtenus ont, d'après cela, pour coordonnées
17) x=-—, y = ±-s/c^-~ kK, 5 = 0
et sont, par suite, symétriques par rapport au plan de Thyperbole (H ).
SLR LA CVCLIOE 1) K I) U P I N . 4*^9
De même, parmi les sphères (S,), deuv se réduisent à des points, qui sont sur l'hyperbole et correspondent aux valeurs de Çi pour lesquelles Ri est nul.
Ces deux points H et B' ont pour coordonnt-es
ck
(i8) x=— — , r = o, z=±—yk^- — a^
et sont placés symétriquement par rapport au plan de l'ellipse (E). Les points-sphères B, B' étant tangents à toutes les sphères (S), leurs centres doivent appartenir à toutes ces sphères. Ainsi, comme il est aisé de le vérifier avec les équations (i3), toutes les sphères (S) passent par les deux points B, B' ; et de même toutes les sphères (S,) passent par les deux points A, A'. Ces quatre points A, A', B, B' sont des points coniques de la cyclide, et l'on peut dire que cette surface est l'enveloppe, soit des sphères (S) dont les centres décrivent l'ellipse (E) et qui passent par un point B de l'hyperbole (H), soit des sphères (Si) qui passent par un point A de (E) et dont les centres décrivent l'hyperbole (H)(').
On peut relier l'un à l'autre ces deux modes de génération. Puisque les points-sphères A, A' sont tangents aux points-sphères B, B', les droites AB, AB', A'B, A'B' sont nécessairement de longueur nulle, comme il est aisé de le vérifier à l'aide des formules (i6), (17); de sorte que le quadrilatère ABA'B' forme par les quatre points coniques est un de ceux dont nous venons d'étudier si complètement les propriétés. Étudions ses relations avec la cyclide.
Le point-sphère A est inscrit, suivant les deux droites AB, AB', à la développable isotrope (A); d'autre part ces deux droites AB, AB' constituent, on s'en assure aisément, le cercle de contact de ce pointsphère A avec la cyclide. On voit donc que la cyclide est inscrite^ suivant les quatre côtés du quadrilatère isotrope ABA'B', à la développable ( A ) .
La considération du quadrilatère ABA'B' et des cercles (K)et(K') qui en dérivent, et que nous appellerons dans la suite cercles focaux de la cyclide, permet d'ailleurs de donner une construction de cette surface, entièrement indépendante de l'ellipse et de l'hyperbole.
(') Comme toutes les sphères passant par 13, B' sont orthogonales au cercle (K) on peut encore indiquer une génération de la cyclide qui n'emploie qu'une des coniques. La cyclide de Dupiii est l'enveloppe des sphères dont les centres décrivent une conique et qui coupent à angle droit un cercle doublement tangent à cette conique.
Cette génération se trouve dans l'Ouvrage de 1878 cité plus haut.
284. Considérons, par exemple, les sphères (S) qui ont leur centre sur l'ellipse et passent en outre par les deux points B, B' de l'hyperbole (H). Comme le point B, par exemple, est le sommet d'un cône de révolution qui contient l'ellipse (E) et admet pour axe la tangente à l'hyperbole en B, les rayons des sphères (S) qui aboutissent en B, rayons qui sont les génératrices du cône, font un angle constant avec la tangente en B à l'hyperbole ou, ce qui est la même chose, avec le cercle (K').
D'après cela, on peut définir complètement la famille de sphères (S) en disant que ces sphères sont assujetties à passer par deux points B et B' d'un cercle (K/) et à couper en outre le cercle (K') sous un angle constant.
La valeur constante de cet angle peut d'ailleurs être obtenue par un calcul facile.
Pour l'une quelconque des sphères (S), les cosinus-directeurs du rayon qui aboutit à l'un des points B, B' sont
a ces es , . ±—\/k- — a^
a ' — b sine
ccostf-h/i- ccoscp + A- ccosœ-i-Â:
Ceux de la tangente en ce point de l'hyperbole sont de même
v/A2 — rt-^ kb
L'angle w' de ces deux droites a son expression définie par la forule
(19) cosw =
et est indépendant de l'angle cp qui caractérise la sphère (S). 11 est donc le même pour toutes les sphères d'une même famille.
L'angle a' de la sphère (S) avec le cercle (K') a pour expression
Il sera donc défini par la formule (21) CCS a' = sin to
Si l'on considérait de même les sphères (Sj) qui ont leur centre sur
SURLACYCLIDEDEUUPIN. 49'
l'hyperbole et passent par les deux points A, A', on verrait qu'elles coupent le cercle (K) sous un angle a défini par les équations
, . . Y k- — c- ib
