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v//:2— rt-' s/k-^—a'^

Ainsi l'on peiit^ de deux manières différentes^ considérer la cyciide comme l'enveloppe d'une sphère variable assujettie à rencontrer un cercle fixe en deux points, réels ou imaginaires, et à couper ce cercle sous un angle constant.

Les deux ntiodes de génération ainsi obtenus peuvent d'ailleurs être très aisément rattachés l'un à l'autre.

Supposons, par exemple, que l'on se donne le premier, ce qui exige la connaissance du cercle (K'), des deux points B, B' et de l'angle a.'. Les deux points-sphères B, B' se couperont suivant le cercle (K). En d'autres termes, le cercle (K) sera défini par la condition d'admettre B, B'pour foyers. De même A, A'seront les foyers du cercle (K'). On connaîtra donc, dans le second mode de génération, le cercle (K), les points A, A'. Il ne restera plus qu'à déterminer l'angle en. Or il suffit de rapprocher les formules (21) et (22) pour en déduire la suivante :

(23 ) sina sina'= i,

qui fera connaître a quand a' sera donné.

285. Les modes de -génération que nous venons de faire connaître peuvent d'ailleurs être légèrement transformés. Quand une sphère (S) coupe un cercle fixe (K') en deux points fixes B, W sous un angle constant, elle touche évidemment son enveloppe suivant un cercle qui fait avec le cercle (K') le même angle que la sphère (S) elle-même. On le reconnaît immédiatement en remarquant que le point B est un point conique de cette enveloppe, pour lequel les plans tangents à l'enveloppe sont ceux des sphères (S) elles-mêmes, et, par suite, enveloppent un cône de révolution admettant pour axe la tangente au cercle (K'). Ainsi l'on peut dire que la cyciide est engendrée, soit par les cercles xmriables qui coupent le cercle focal (K') aux points fixes B, B' et font avec lui l'angle constant oc', soit par les cercles variables qui coupent le cercle focal (k) aux points A, A' et font avec lui l'angle constant a.

286. De ces différents modes de génération résulte une propriété

492 NOTK II.

fondamentale de la cyclide. C'est qu'elle peut être, en général de quatre manières différentes, considérée comme l'inverse d'un cône de révolution. Si l'on emploie, par exemple, le dernier mode de génération, on voit qu'une inversion dont le pôle sera un des points coniques, H par exemple, transformera tous les cercles générateurs passant au point B en droites qui passeront par l'inverse du point B' et feront un angle constant avec la droite fixe, transformée du cercle (K'). Or, de telles droites engendrent évidemment un cône de révolution.

Il est vrai que les inversions par lesquelles la cyclide se ironsforme en un cône de révolution ne peuvent être réelles que si la surface a des points coniques réels. Ceci nous amène à dire un mot relativement à la réalité ou à l'imaginarité des différents éléments géométriques que nous avons introduits.

287. Remarquons d'abord que, dans le cas d'une cyclide réelle, la sphère (2) qui contient les quatre points coniques A, A', B, B', et que nous appellerons dans la suite la sphère principale de la cyclide, a nécessairemen^^t son équation réelle et, par conséquent, son centre réel. Si h est l'abscisse de ce centre, on trouvera facilement que l'équation de cette sphère est

et, par conséquent, le rayon sera réel toutes les fois, et toutes les fois seulement, que ce centre sera extérieur, soit à l'ellipse, soit à l'hyperbole.

Supposons d'abord que le centre se trouve entre les branches de l'hyperbole. Les points B, B' seront réels, ainsi que la sphère (^) et le cercle (K'). Mais le cercle (K) sera imaginaire, car ses points focaux B et B' seront réels. Quant aux points A et A', foyers du cercle (K'), ils seront évidemment imaginaires coi>jugués. Ainsi la cyclide aura deux points coniques réels.

Si le centre de (i) est situé entre le foyer de l'hyperbole et celui de l'ellipse, la cyclide.n'aura plus de point double réel. Le carré du rayon de (D) sera négatif. Seuls les cercles (K) et (Iv') seront réels, leurs foyers étant imaginaires conjugués.

Enfin, si le centre de (2) est hois de l'ellipse, les points A et A' deviendront réels et, par suite, le cercle (K') dont ils sont les foyers deviendra imaginaire. Mais le cercle (K) restera réel, et la sphère (i) redeviendra réelle. La cyclide aura encore deux points coniques réels.

StR LA CYCLIDE DE D L" P 1 X . 49^

288. De celte discussion résulte la démonstration d'une propriété qui a servi de base aux études de M. Mannheim sur la cyclide. Celle surface se transformera en un tore quand on la soumettra à une inversion dont le pôle sera sur Tun des cercles (K) ou (K'). Supposons, par exemple, que le pôle de cette inversion soit sur le cercle (K). Toutes les sphères (S), qui sont nécessairement orthogonales à (K), puisqu'elles passent par B et B', se Iran-formenl en sphères assujetties à avoir leurs rentres en ligne droite et à toucher une sphère fixe, l'une quelconque des transformées des sphères (Si). La cjclide sera donc transformée en un tore, et il en serait de même si le pôle de l'inversion avait été pris sur le cercle (K'). Comme il résulte de la discussion précédente que l'un au moins des cercles (K), (K') est réel quand la cyclide est réelle, on voit qu'il y aura toujours une infinité d'inversions réelles transformant la cyclide en un loie.

•289. Pour l'étude des autres propriétés de la cyclide, et en particulier des inversions qui la transforment en elle-même, nous renverrons à l'article 58 et à la Note VII de l'Ouvrage Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques que nous avons cité plus haut. Nous signalerons cependant deux e>pèces particulières (le cyclides, correspondantes à îles formes particulières dvx quadrilatère isotrope ABA'B'.

Si les points A, A' viennent coïncider avec les sommets de l'ellipse situés sur l'axe non focal, les points B, B' viennent de même coïncider avec les sommets imaginaires de l'iiyperbole (H). La cyclide, qui a toujours pour plans de symétrie les plans de l'ellipse el de l'hyperbole, acquiert un troisième plan de symétrie perpendiculaire aux deux premiers.

On obtient de telles cyclides en prenant l'inverse d'un cône de révùlulion, dans une inversion dont le pôle est situé dans le plan de symétrie du cône qui est perpendiculaire à l'axe de révolution.

On les obtient également en annulant hi conslanle /. dans les formules (il) à ( i8), données plus haut.

Le quadrilatère ABA'B' devient plan et la sphère principale (i) se réduit au plan même de ce quadrilatère.

11 faut signaler un autre cas particulier, celui dans lequel deux sommets opposés du quadrilatère isotrope viennent >e confondre. Supposons, par exemple, que le point conique B vienne se placer à l'un des sommets réels de l'hyperbole. B et B' seront alors confondus, mais A et A' demeureront distincts et seront les points de l'ellipse situés !-ur la directrice relative à son foyer B. La cyclide sera l'enveloppe des sphères (S) dont les centres décrivent

l'ellipse et qui passent par B. En faisant une inversion de pôle B, on verra aisément qu'elle se transforme, non plus en cône, mais en un cylindre de révolution.

Il en sera de même si les sommets A, A' viennent se réunir en un des foyers de l'hyperbole.

. Ces deux cas particuliers s'obtiennent en donnant à k les valeurs d=a ou ±c dans les formules ( 1 1 ) à ( i8). Le quadrilatère AB A'B' se replie alors sur lui-même, et deux de ses sommets opposés viennent se confondre.

290. Revenant à la théorie générale, nous signalerons une conséquence géométrique intéressante des propriétés établies plus haut.

Etant donnée une cyclide quelconque, soumettons-la à une inversion dont le pôle soit un de ses points coniques, A par exemple. Elle se transformera en un cône (G) dont l'axe de révolution {d) sera l'inverse du cercle (K) et dont le sommet S sera l'inverse du point A'. Toutes les sphères (U) passant par (K) se transformeront en plans (P) passant par l'axe {d). Quant aux sphères (U') passant par (K'), elles se transformeront en sphères (Y) ayant pour centre commun le sommet du cône.

Or les plans (P) coupent le cône (G) à angle droit suivant deux génératrices rectilignes, c'est-à-dire suivant deux lignes de courbure. De même les sphères (V) coupent le cône à angle droit suivant deux lignes de courbure circulaires. Revenant à la figure primitive, nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Les sphères passant par un des cercles focaux coupent la cyclide à angle droit suivant deux lignes de courbure circulaires.

Toutes les cyclides admettant les quatre mêmes points coniques A, B, A', ^' , forment une des familles d'un système triple orthogonal; les deux autres familles de ce système sont formées des sphères passant, les unes par le cercle (K), les autres par le cercle (K'); de sorte que les trajectoires orthogonales des cyclides sont les cercles rencontrant deux fois chacun des cercles focaux.

291. L'étude détaillée que nous venons de faire conduit à des conséquences analytiques que nous allons maintenant développer.

Supposons d'abord qu'on employé les coordonnées rectangulaires et que l'on conserve les variables 9, tP] déjà définies. Gherchons le point où la droite qui joint le point M de l'ellipse (E) au point Mj de l'hyperbole ( H ) coupe normalement la cyclide. Si ^r, jk, z désignent les coordonnées de ce point et X, Y, Z les cosinus-directeurs de la nor-