COS
Ri
-s.no
Ri
bi K
sin 0
a ces 9 — c coscpi ~ R-R,
b sin cp R— R,' — 6t sino, R - R,
Il suffira de remplacer K et R, par leurs expressions (11) et (12) pour obtenir des formules ne contenant plus que cp et cpj.
D'ailleurs, la differentiation des formules (25) nous donne immédiatement les relations
dx j^ ù\
d.r dX
dcpi (>cp,'
dr.=~''^-d^
dcpi do,
do do
dz j^ dZ
dz j^ dZ
(>Oi ~ (^cp/
do ' dcp
et, d'après la méthode d'Olinde Rodrigues, ces formules montrent immédiatement que 9 et cp, sont les paramètres des lignes de courbure, R et R, étant les rayons de courbure principaux de la surface.
A l'aide des formules (27), il est très aisé de former l'élément
linéaire de la représentnlion sphérique. On trouve ainsi
^ •'' (K — R,)-^' ' ' '^ (ccoscp — acos(pi)^
Une fois obtenue cette formule, qui donne l'élément linéaire de la sphère rapporté à deux, familles de cercles orthogonaux, l'application des relations (28) nous fournit immédiatement les suivantes :
(3o) ds^-=dx^--^dr^+dz-^ ^' ^ l^-M)
hi
L(ccosç-|-/:j2 («coscpi-i-/i:j2j
\ccoscp-i-/c acos<pi-i- A/ et
(30 dxdy.^dydX^dzdZ = --^^^i-^î^ ^^iL^
( li — Hi)- \ccoscp-i- A- aco«cp,-H/r
La formule (3o) donne l'élément linéaire de la surface, et la formule (3i ) moiUre qu'on pourra obtenir^ par de simples quadratures, les lignes asymptotiques de la surface. Les formules (29) et (3o) sont bien d'accord avec ce qu'on sait de la forme de l'élément linéaire d'une surface rapportée à deux, séries de cercles géodésiques orthogonaux.
Nois avons vu qu'on forme un système triple avec la famille des cyclides parallèles qui correspondent aux diverses valeurs de /. et les deux familles de cônes de révolution qui passent par les courbes (E) et (H). Dans ce système, l'élément linéaire de l'espace sera tlonné par la formule
ûf5- = dk- -f- — \{a cosoi -1- ky- rfcp- — (c coso -t- k)"^ d'Sj'W
(a COSCp, — C COSO)^ *- ' 'TV . / .IJ
qui convient bien à une famille de surfaces parallèles.
292. Au lieu des coordonnées rectilignes, on peut aussi employer les coordonnées penlasphériques ; mais celte méthode laisse de côté les cyclides réciproques de cylindres.
Considérons un cône de révolution. Son équation pourra être mise sous la forme
^^ -f- JK^ -4- /i -s^ = o.
Prenons un système de coordonnées p'^ntasphériques formé avec
SUR LA cyCLIDE DE DUPIN. 497
les cinq sphères
X = O, y = O, Z = O, a72-j-^2| -2 Rî o^ ^2| j2 4 ^2| f\2 o^
qui sont deux à deux orthogonales (*). L'équation du cône deviendra (3a) x]-{- xl-h hxl = o.
Soumettons le cône à une inversion. Il se transformera en une cyclide générale dont l'équation sera toujours l'équation {^2)^ pourvu que les coordonnées se rapportent aux transformées des sphères priniitivemen t choisies.
Ainsi, en laissant de côté le cas exceptionnel indiqué plus haut, toute cyclide peut être définie par l'équation (82).
En faisant usage de l'identité qui relie les coordonnées pantasphériques
S\xJ = o,
on peut encore donner à l'équation de la cyclide la forme
(33) xl-hx\-^ii — h)xl = o,
tout aussi simple que la première.
Remarquons que ces deux formes subsisteront avec une double infinité de systèmes coordonnés. Car on peut soumettre à une substitution orthogonale, soit les deux variables x^, x^, soit les deux variables Xi, .rj.
D'après la manière même dont on a obtenu l'équation (82), on peut dire que les deux équations
Xi=^ o, Xi= o
représentent l'un des cercles focaux; l'autre étant représenté de même par les équations
Xi= o, Xs = o.
L'équation
représente la sphère principale (i) de la cyclide ; de sorte que le système de coordonnées pentasphériques orthogonales avec lequel on obtient les formes réduites (82), (33) est constitué comme il suit : deux sphères orthogonales (Sj), (S2) passant par l'un des cercles
(') Pour tout ce qui concerne les coordonnée pentasphériques, voir les Leçons sur la théorie générale des surfaces (Livre II, Chap. VI).
