AM2=M

L'identité

va nous peniieltre de transformer les formules (92).

Supposons d'abord a, par exemple, difl'érent de l'une quelconque des quantités a/. On aura alors

et la première formule (92) nous donnera

/ '^ ^ (;3-a)(a-Y) 1 4ra-^)(a-Y) \2dK,) (94) Am = M — -T- — ; ■ — = j: — : ï — •

^ a — a,- ^mÀ a — a,

(') Annales de l'École Normale, 1" série, t III.

Or, si Ton se reporte à la théorie des coordonnées penlaspliériques, on sait qu'en désignant par S/,. la puissance d'un point par rapport à la sphère coordonnée (S^), on a

, .s Sa- ~-'xoc,, (9^) 1^ = -

ZdWt

Appliquant celte formule à la relation (94), on aura

Si, au contraire, a est égal à une des quantités a,, à «/, par exemple, la première formule (92), combinée avec la relation (85), nous donnera

ou, en tenant compte de la formule (gS),

Il résulte, de cette équation aux dérivées partielles et de la proposition générale que nous avons établie au n° 33, que, dans ce cas, les trajectoires orthogonales des surfaces de paramètre a seront des cercles orthogonaux à la sphère (S/..). De sorte que les deux autres familles qui complètent le système seront formées nécessairement d'enveloppes de sphères.

Si donc la constante a est égale à a,, par exemple, et la constante [3 égale à a/,., les surfaces de la troisième famille seront, de deux manières différentes, des enveloppes de sphères. Ce seront donc des cyclides de Dupin. On démontrera, comme précédenriment, qu'elles sont inscrites dans la cyclide homofocale de paramètre y. Leur équation générale sera

(99) y r ^'^' = const.,

'^^J V ( ?li —^i){?h— <-U » ( p/i — ttm ) K ?A — an )

/, m, n désignant les trois indices différents de i et de k. D'après les propriétés des fonctions elliptiques, celte équation pourra se mettre, comme il fallait s'y attendre, sous une forme entièrement algébrique.

Comme il y a dix combinaisons deu\ à deux des indices i, 2, 3, 4, 5, on voit qu'il y aura dix séries distinctes de cyclides de Dupin inscrites à une même cyclide générale.

315. Ces résultats peuvent d'ailleurs être rattachés à la proposition suivante, qui a été donnée à la page 333 de mon Ouvrage, Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires :

Toutes les cyclides de Dupin inscrites à une cyclide générale, ou passant par une cyclique, ont leurs cercles focaux sur une des sphères contenant les focales. Ces cercles sont doublement tangents à la focale et leurs points de contact sont deux des points doubles de la cyclide.

Comme une cyclide générale a cinq focales, on voit bien qu'on peut choisir dix couples différents, composés de deux focales et, par conséquent, il y aura dix séries distinctes de cyclides de Dupin inscrites dans une cyclide générale.

Il nous paraît inutile de reproduire ici les raisonnements que nous avons développés, dans le cas des quadriques, au n" 312. Ils s'appliquent sans modification aux cyclides générales et conduisent à la proposition suivante :

Les cyclides de Dupin qui ont leurs points doubles sur les deux mêmes focales, d'ailleurs arbitrairement choisies, d'une cyclide générale (C) sont inscrites suivant une courbe sphérique, soit à (C), soit à une cyclide homofocale à (C). Elles dépendent de deux paramètres entre lesquels on peut établir une relation (juelconque de manière à obtenir une infinité de familles composées avec ces cyclides. Toutes ces familles sont des familles de Lamé, et l'on peut, dans chaque cas, déterminer par de simples quadratures les deux autres familles qui complètent le système triple ortho-

316. On le voit, dans tous les exemples que nous venons d'étudier, se retrouve une propriété de la solution générale dont nous avions dit quelques mots, plus haut, au n°312. Nous avons vu que, pour que des cyclides de Dupin forment une famille de Lamé, il faut et il sufllt, par exemple, que l'un des cercles focaux de ces cyclides ait une enveloppe à deux branches qu'il touche en deux points distincts a et a' , qui seront deux points doubles de la cyclide. Mais comme une cyclide n'est nullement déterminée par un de ses cercles focaux et les

deux points doubles que contientce cercle, qu'elle dépend encore d'un paramètre variable, il suit de là que toute courbe à deux branches susceptible d'être doublement enveloppée par un cercle donnera, non pas une famille de Lamé, mais une infinité de familles de Lamé formées avec des cjciides de Dupin. En d'autres termes, cette courbe nous donnera des cyclides qui dépendront de deux paramétres et formeront une famille de Lamé dès qu'on établira une relation quelconque entre ces deux paramètres.

Il serait intéressant de cliercher tous les cas dans lesquels on retrouve cette propriété singulière, et de déterminer tous les systèmes doublement infinis de surfaces tels que toutes les familles qu'on peut détacher de leur ensemble, en établissant une relation quelconque entre les deux paramètres dont elles dépendent, soient des familles de Lamé.

317. Je terminerai celle Note en montrant comment les valeurs de H, H,, H2 données par les formules (5i) permettent de déterminer tous les systèmes triples parallèles à ceux que nous avons déterminés.

Nous savons que cette détermination dépend de l'intégration complète et simultanés des trois équations

àpiào/c lli dp/, dpi H/, ôpi dpi- "

Pour les simplifier, nous poserons (ici) H,M = L,,

M étant défini par la formule (00), et nous ferons la substitution (102) OM = a.

On aura

(io3) L = v/=^^, Li=/A^rT^,

00 o>pi

t un calcul facile donnera

(io4) L2 = — i s/— h \/h — ' ^ 'og j-^-

Les équations en a prendront la forme

^ ^ dpi dp,, U Op/, dpi L/, dpi dp,,

el la fonction «/^ se déterminera aisément si l'on se rappelle cette propriété de l'équation ( loo) d'après laquelle elle doit admettre la solution 5 =: H/ (n° 187). Par conséquent, l'équation ( io5) en adevra admettre la solution ct := L/.

On est ainsi conduit aux. trois équations

dp âpi

dp âpi L Op2 dp Li dp \dpi dp^

d^T I ()L| Oc i dljo / ôa â\o^\j \

dpidp-2 Li dp.2 dpi Lj dpi \dpi dp^ / '

dont la première s'intègre à vue et nous donne

i ne dépetidanl que de p, p^ et i, que de p, , pj.

Substituons celle valeur de a dans les deux autres équations et posons

dpi " Cp2 ' ' opi ' dp2 ■"

on trouvera, en tenant compte des formules (5i) et (io4),

do do ^ '"

On intègre aisément ces équations. Elles montrent d'abord que

— ne peut dépendre ni de p, ni de p,. et doit, par suile, se réduire

à une fonction de p^. On pourra donc poser

P-p, = ?,A,„„Ii

j32 dépendant uniquement de p^. L'intégration s'achève sans difficulté et donne

dpi o.-'î

«2 étant également une fonction arbitraire de p^. Une nouvelle inléa;ralion donnera i et Z, . On aura

a ne dépendant que de p et a, ne dépendant que de p^. En sorte que la valeur générale de Q sera donnée par la formule

(109) MO = l/ 15rfp2-haL — Li / p-rfp^— a,L,

— = <j?p2-4- aL — Li / Le problème que nous nous étions proposé est donc résolu.

318. Celle des trois familles du système ainsi obtenu qui correspond à la famille de cyclides sera évidemment formée de surfaces à lignes de courbure planes dans les deux, systèmes. Il est intéressant de remarquer que nous avons ainsi les systèmes triples les plus généraux jouissant de cette propriété.

Soit en effet ( U) un tel système, ayant une des familles composée de surfaces (S) dont toutes les lignes de courbure sont planes. Soient (Sq) une de ces surfaces et Mq un de ses points par lequel passent deux lignes de courbure planes (Cq) et (Dq). Soit M un point quelconque de l'espace. Menons par ce point deux cercles (G) et (D) dont les plans soient parallèles respectivement à ceux de (Cq), (Dq) et dont les tangentes en M soient également parallèles à celles de (Cq), (Dq) en M„. D'après une proposition générale établie au n° 190, il existe une infinité de systèmes triples parallèles au système proposé et comprenant les cercles (C) et(D) au nombre de leurs trajectoires orthogonales. Soit (U') l'un d'eux. Toutes les surfaces (S') de ce système qui sont parallèles aux surfaces (S) auront leurs lignes de courbure planes. Nous allons montrer que ces lignes de courbure seront circulaires et, par suite, que les surfaces (S') seront des cyclides.

En effet, celle des surfaces (S') qui correspond à (Sq), surface que nous désignerons par (S„ ), a deux de ses lignes de courbure circulaires, (C) et (D). Donc, d'après un théorème connu, toutes ses lignes de courbure sont circulaires. C'est donc une cyclide de Dupin. Considérons maintenant l'une quelconque des surfaces du système triple (U') qui coupent (S^) à angle droit. Cette surface a ses lignes de courbure planes dans un système, et l'une de ces lignes de cour-

bure, celle qu'elle a en commun avec (Sg), est circulaire. Donc, d'après le théorème que nous rappelions tout à l'heure, toutes ses lignes de courbure seront circulaires. Ainsi toutes les trajectoires planes du système (U') sont circulaires et, par suite, toutes les surfaces (S') sont des cyclides.

U est ainsi démontré qu'on obtiendra tous les systèmes triples comprenant une famille de surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes en suivant la méthode que nous avons indiquée. D'après le raisonnement précédent, ces systèmes paraissent dépendre de six fonctions arbitraires d'une variable.

Nous nous bornerons aux indications précédentes, renvoyant le lecteur, pour plus de détails sur différents points, aux deux Mémoires insérés dans le Tome LI des Mémoires de l' Académie des Sciences, et rappelant que, dans nos Leçons sur la théorie générale des surfaces^ nous avons déterminé, par deux voies différentes, les systèmes triples pour lesquels une seule des trois familles de trajectoires orthogonales est composée de courbes planes.

SUR UNE CLASSE PARTICULIERE DE DEFORMATIONS FINIES ET SUR LES SYSTÈMES TRIPLES DE SURFACES ORTHOGONALES.

319. Aux n°* 112 et suivants de cet Ouv rage nous avons considéré, parnfîi l'ensemble des transformations définies par les formules

(.) \=f{x,y,z), \^Mx,y,z), Z^f,{x,y,z),

celles pour lesquelles/, fi,f% sont les dérivées d'une même fonction et pour lesquelles on a, par conséquent,

ox dy dz

U étant une fonction de jr, y^ z choisie arbitrairement. Nous avons vu que ces dernières transformations se distinguent des transformations générales par le caractère suivant :

Soit m le point de coordonnées x^ j, z auquel la transformation fait correspondre le point M de coordonnées X, Y, Z. A tout élément de courbe qui part de m, la transformation fait correspondre un élément linéaire partant de M, la relation entre ces deux éléments étant évidemment de nature homographique. Si l'on veut qu'il existe trois éléments partant de m, et deux à deux rectangulaires, auxquels correspondent trois éléments parallèles, parlant de M, la transformation considérée devra être définie par les formules (2).

Pour rappeler une proposition démontrée à l'article 112, nous dirons que les déformations de cette nature sont dépourvues de rotation. Nous allons nous proposer à leur égard la question suivante :

Parmi les déformations dépourvues de rotation, en existe-t-il pour lesquelles les faces du trièdre principal relatif à chaque point de l'espace, c'est-à-dire du trièdre trirectangle formé par les trois éléments linéaires auxquels correspondent des éléments parallèles, s'ordonnent suivant les plans tangents à trois familles de surfaces, qui seront nécessairement rectangulaires deux à deux?

SUR UNE CLASSE DE DÉ KO H M ATI O NS . 53l