On peut résoudre ce problème comme il suit: Soient

les équations qui définissent la déformation. On considérera une famille de surfaces (0) définies par l'équation

(4) 0(37, j', ;î) = const.,

et l'on exprimera que la normale à celle des surfaces (0) qui passe en un point quelconque m de l'espace est une des arêtes du trièdre principal en m.

Les arêtes de ce trièdre étant définies par les équations, déjà données au n° 113,

rft^ dvz rf(^ , ^ dx ~~ dy ~ dz ~ ''

il suffira de développer dv^i dv^, dv^ et de remplacer ensuite dx, dy,

, dO d6 (J6 , . , . „ • j-

a^ par — , — , -r^ ou yj , y^, y^, proportionnelles aux cosmus-direc-

teurs de la normale à la surface (0), ce qui donnera les trois équations

(6) Ofjt'i— X0, = G, OQC2— X02=Oj ôôt>3 XG3=0,

00 étant le symbole que nous avons plus d'une fois employé.

L'élimination de X entre les trois équations (6) fournira deux équations aux dérivées partielles du premier ordre qui détermineront les rapports mutuels de 6^, 0^,8^. En exprimant que ces équations sont compatibles, on sera conduit aux relations qui doivent caractériser la fonction v.

Mais, pour obtenir ces relations de la manière la plus élégante, il vaut mieux ne pas éliminera et garder les trois équations aux dérivées partielles (6), à la condition d'y considérer X comme une fonction de X, /, z. Au reste, on pourrait déterminer cette fonction X en éliminant 01, ô,, ^3 entre les trois équations (6), ce qui conduirait à l'équation

(7) ^= Vl\ Vii—\ 1^23

OÙ les indices i, 2, 3 se rapportent toujours à des différentiations

prises respectivement par rapport à x, y, z. Les trois valeurs de X fournies par l'équalion précédente correspondent aux. trois arêtes du trièdre principal.

Gela posé, pour exprimer que les équations (6) sont compatibles, formons le crochet de Jacobi

^ ' ^ ~ dx d^i dx aOi "^ dy d^^ dO^ ày "*" àz dH^ ^63 dz

relatif à deux quelconques de ces équations, par exemple aux deux premières.

Nous aurons, après quelques réductions,

(SqI'I, B^Vî) ■+- 02(OX(^i — XXi) — Oi(oxf2— ^^2) = o.

Multiplions cette équation par O3 et ajoutons-la à celles qu'on en déduit par des permutations circulaires; nous obtiendrons l'équation suivante :

61(86^^2, Se t'a) + ^iih^s, Sôt'i) -+■ 63(09 t'i, O6P2) = o,

qui est débarrassée de 1. Si l'on y remplace les parenthèses par leurs valeur;», on obtiendra le résultat suivant :

(8) Gj(ô,,3P,2— 0^,^13) + Oi02(S„3('22— Si's^'n— Oc, ^23 H- 0^,1^13) -I-. . .= o,

les termes non écrits «'obtenant par des permutations circulaires.

Telle sera la condition pour que les deux équations aux dérivées partielles obtenues en éliminant 1 entre les équations (6) soient compatibles. Comme il fallait s'y attendre, elle est homogène par rapport aux trois dérivées de 0.

Si un seul des systèmes de valeurs des 9,, obtenu en substituant dans les équations (6) une des racines A de l'équation (7), vérifiait la relation (8) que nous venons d'obtenir, une seule des faces du trièdre principal relatif aux différents points de l'espace serait formée des plans tangents à une famille de surfaces. Mais nous allons voir que ce cas ne saurait se présenter. Si un seul des trois systèmes de solutions fourni pour 0i , ô^, 63 par les équations (6) vérifie la condition (8), il en sera de même des deux autres.

Pour établir ce résultat, nous ferons appel à un théorème d'Algèbre bien connu.

Si l'on désigne par A//, le coefficient, dans le déterminant A, de l'élément qui appartient à la i'^""^ ligne et à la â:'«"« colonne, les valeurs de 0i , Q2, 63 correspondantes à chaque valeur de A qui annule

ce déterminant satisferont aux équations très symétriques

(9) li = M=...= M,^

On pourra donc remplacer l'équation (8) par la suivante :

(lO) Aii(0^,t'i2— 8(,,('i3)-1- ^^iiK,Vii—Qç,^Vlx-i- 0,.,»^j3— 0,,,C23) +.••= O,

d'où les dérivées de 9 ont disparu. Il est aisé de s'assurer que X luimême disparaît. Car les coefficients de X* et de X sont identiquement nuls. Et il reste l'unique équation

(il) Dh(8^,1'iî— 8p,('l3)4-...

-1- Dn(8t.,t^22— St-jt'ii-t- 8^4 «^13 — Oi^,f'23) +• ••= 0,

où les Du- sont les mineurs du déterminant (7) dans lequel on aura fait 1 = 0.

^'ous sommes ainsi conduits au curieux théorème suivant :

Si la fonction v satisfait à l'équation aux dérivées partielles (11), les trois faces du trièdre principal seront tangentes à trois familles de surfaces, nécessairement orthogonales. Sinon, aucune des faces du trièdre ne demeurera tangente aux surfaces d'une famille quelconque.

321. L'équation obtenue est du troisième ordre. Elle est homogène, ne contient ni la fonction, ni ses dérivées premières; elle est du troisième degré par rapport aux dérirées secondes, et linéaire par rapport aux dérivées troisièmes. On verra facilement que, si elle admet la solution <p, elle admet la solution plus générale

(p'= /iç -h ki^x"- -\~ y^ -\- z"^) -\- ax -{- by -h cz -h d,

où h, k, a, b, c, d désignent des constantes.

Avec la solution <p', les formules qui définissent la transformation prennent la forme suivante :

\=ih-f--\-ikx-\-a, dx

(12) [Y^h^^-^iky + b,

Z = h-f- -\-7.kz -Ir c.

ôz

On peut exprimer le résultat en disant que toute transformation

satisfaisant à l'équation (ii) conserve celte propriété quand on la compose avec une homolhétie.

Si une transformation satisfaite l'équation (ii), il est clair que la transformation inverse y satisfera aussi. Or la transformation inverse se définit comme il suit. Prenons la fonction

(i3) y = xi^i-hyvi-i- ZV3— V,

et exprimons-la en fonction de X, Y, Z, c'est-à-dire de t'j, ç^, ^s- On aura

d\ dY dV

322. On peut indiquer diverses solutions de l'équation (11), par exemple

p = ax"^y"^zP ou encore

y désignant un polynôme du second degré. Au reste, les propositions générales que nous allons faire connaître nous fourniront un nombre illimité de solutions particulières.

La plus importante de ces propositions, déjà établie au n° 114, est la suivante :

Les systèmes triples orthogonaux que nous venons de rencontrer dans l'étude des déformations finies sont les plus généraux qu'on puisse obtenir. Et même, on peut associer à un système triple quelconque une infinité de transformations dépourvues de rotation et pour lesquelles le trièdre principal en un point quelconque de l'espace coïncidera avec le trièdre formé par lés normales aux trois surfaces coordonnées du système triple qui passent en ce point.

Considérons, en effet, un système triple quelconque (U) et supposons que l'on connaisse les expressions de .r, r, z. H, H,, H2 en fonction des coordonnées curvilignes p, pj , pj. Nous avons vu qu'il existera une infinité de systèmes triples (U'), parallèles au proposé, et que ces systèmes seront définis par les trois équations

/ c \ >dx ,dy , dz df)

où la fonction 0 doit satisfaire aux trois équations

dpidpk H/ ép/c dpi H/t àpi dp/,

SUR UiNE CLASSE DE DÉFORMATIONS. 535

Les coordonnées x' , y', z', au lieu d'être définies en fonction de P-, Pi î Pî» peuvent l'être en fonction de ûc, y, z. Il est d'ailleurs aisé d'obtenir leurs expressions; car si l'on suppose d exprimée en fonction

de X, /, z, il faudra, dans les équations (i5), remplacer— par

d^ dx d^dy dO dz Ox dpi dy Opi dz dp,

Alors les équations ( i5) prendront la forme

dO \dx / , ô%\dy ( , dB\ dz

et elles n'auront d'autre solution que la suivante :

, àO , d6 , dO

(17) X—--, y = --, js = —, ' ' dx -^ dy dz

qui définit bien une transformation sans rotation.

Ainsi à chaque système triple orthogonal on peut faire correspondre une infinité de déformations sans rotation^ dépendant de trois fonctions arbitraires d'une variable.

Si nous savions effectuer l'intégration de l'équation aux. dérivées partielles (ii)i nous aurions donc tous les systèmes triples orthogonaux, et même chacun d'eux d'une Infinité de manières différentes.

323. Nous venons de définir une classe particulière de transformations sans rotation, liées à l'existence de systèmes triples orthogonaux. Si nous envisageons maintenant les transformations sans rotation les plus générales, nous pourrons en faire connaître une propriété géométrique qui les distinguera nettement des transformations finies quelconques.

Conservant toutes les notations précédentes, considérons la transformation définie par les formules les plus générales

et proposons-nous de rechercher si l'on peut trouver trois éléments linéaires partant du point m{x., y, z) auxquels correspondent, dans la seconde figure, trois éléments partant de M et formant, non plus un trièdre parallèle au premier, mais un trièdre supplémentaire. Si rf, c^j, rfj désignent les différentielles relatives aux trois déplacements du point /n, il faudra qu'on ait

(19) djX d/^X ^ d/y d/cY -+- diZ d/cZ = o,

pour tous les systèmes de valeurs différentes de i et de A prises dans la suite o, 1,2. Si l'on développe l'équation précédente en remplaçant les différentielles de X, Y, Z par leurs expressions, il viendra

( 20 ) /, diX dkX -h fi diX dicY -\- /j dix d^z

-+-(fid/cX dijr -H cp2 dky diy -H . . . = o,

où //, par exemple, désigne la dérivée de /par rapport à la variable qui occupe le rang i dans la suite x^ y, z. Échangeant l et A, puis retranchant l'une de l'autre les équations ainsi obtenues, on aura

(/2 — ?i ) ( di^ dky — dty dkX) + ( <P3 — <1^2 ) ( dty du z — diZ d,,y) -f- ( 4*1 — /g ) ( diz d^x — dix dkz) = o.

Les binômes diX d^y — diy d^x, ... représentent les paramètres directeurs de la normale commune aux deux éléments définis par les caractéristiques o?/, d^. Les trois normales ainsi obtenues forment évidemment un Irièdre; et, par conséquent, les trois équations qu'on obtient en donnant, dans l'équation précédente, à / et à k leurs trois systèmes de valeurs ne peuvent être vérifiées que si l'on a

?l=/2, 'l'2=?3, fi = ^i,

c'est-à-dire si la transformation est dépourvue de rotation.