Supposons donc que l'on ait
(21) X = Pi, Y = ^2, Z = Pj.
Alors les équations (20) auxquelles doivent satisfaire les directions des éléments se réduisent à trois et prennent la forme
(22) Vil diX dkx -\- Vii{diX duy -(- d^x diy) h-. . . = o.
Gela donne lieu au théorème suivant :
Appelons, pour chaque point de l'espace, quadrique de déformation la quadrique qui, rapportée à des axes mx' , my' , mz' passant par ce point et parallèles aux axes coordonnés, a pour équation
(23) Viix'^-^. . .+ •i^iix'y' -h. . .= consl.
A trois éléments infinitésimaux dirigés suivant trois diamètres conjugués quelconques de cette quadrique, la transformation fait correspondre trois éléments formant un trièdre supplémentaire {de telle manière que deux éléments m«, M [3 qui ne se correspondent pas soient perpendiculaires).
Gomme il y a une infinité de systèmes de diamètres conjugués, cette propriété caractéristique des transformations sans rotation peut être réalisée d'une infinité de manières différentes. En particulier, quand on prend le système particulier de diamètres conjugués formé par les axes principaux de la quadrique, on retrouve les propriétés, énoncées précédemment, du trièdre principal.
325. Ici on peut généraliser une recherche faite plus haut et chercher si, parmi tous les trièdres conjugués de la quadrique de déformation, il en est pour lesquels le» faces s'ordonnent suivant les plans tangents à trois familles de surfaces. La réponse est affirmative dans tous les cas. Car, pour former les équations aux dérivées partielles relatives à ce problème, il suffit de remplacer, dans les équations de
équations aux dérivées partielles
, ,^ dx dx / dx dy dx dy
où f, k prennent des valeurs différentes comprises dans la suite o, 1,2. Or, ces trois équations admettent évidemment une infinité de systèmes de solutions. Mais il convient de remarquer que, si leur intégration est toujours possible, elle constitue un problème encore plus difficile que celui de la recherche des systèmes triples orthogonaux, auquel il se réduit d'ailleurs si l'on prend pour v la valeur très particulière
Quand nous aurons obtenu des valeurs de x, y, z vérifiant les équations (24), nous dirons que nous avons obtenu un système de coordonnées curvilignes associé à la déformation. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante:
 toute déformation sans rotation on peut associer une infinité de systèmes de coordonnées curvilignes qui s'obtiennent par l'intégration des équations aux dérivées partielles (24). Dans chacun de ces systèmes, les tangentes aux lignes coordonnées qui se croisent en un point de l'espace constituent trois diamètres conjugués de la quadrique de déformation relative à ce point ; à chaque système de cette nature la déformation en fait correspondre un autre tel qu'aux points correspondants dans les deux systèmes, les trièdres formés par les tangentes aux courbes coordonnées soient supplémentaires.
326. Dans l'étude des systèmes conjugués, nous avons déjà obtenu des correspondances entre deux systèmes de coordonnées curvilignes jouissant de la propriété que nous venons de rencontrer et de mentionner. Le lecteur se rappelle que, dans tout système à lignes conjuguées, les coordonnées x, /, z satisfont à trois équations linéaires de la forme
, -^ j, , ^ d^u I dWi du I dWk au
où les H,- sont des fonctions de p, p, , p, vérifiant les conditions
Le lecteur a vu également que, si l'on prend une solution quelconque 9 des trois équations (25), les équations
^?/ àpi âpi âpi
définissent un nouveau système de coordonnées curvilignes que nous avons appelé supplémentaire du premier (n° 195) parce qu'aux points qui se correspondent dans les deux systèmes, les trièdres formés par les tangentes aux courbes coordonnées sont supplémentaires. Or, comme nous l'avons déjà vu plus haut, si l'on suppose 9 exprimée en fonction de x, y, z, les trois équations (26) peuvent être remplacées parles suivantes :
dx Oy dz
équations qui caractérisent une déformation sans rotation.
Gomme la valeur la plus générale de 9 dépend de trois fonctions arbitraires d'une seule variable, on peut énoncer la proposition suivante : A tout système à lignes conjuguées on peut adjoindre toute une classe de déformations sans rotation^ qui dépendront de trois fonctions d' une seule variable et qu'on obtiendra par l'intégration des trois équations (25).
327. Cette proposition, qui apparaît comme une généralisation de celle que nous avons obtenue plus haut au n° 322 pour les systèmes triples orthogonaux, ne donne pas malheureusement les transformations les plus générales dépourvues de rotation. Ces transformations mettent en œuvre une fonction tout à fait arbitraire de trois
SUR UNE CLASSE DE DÉFORMATIONS. SSq
variables. La proposition précédente n'introduit, on le reconnaît aisément (n"* 187 à 189), que six fonctions de deux variables et, par suite, elle ne peut donner toutes les transformations dépourvues de rotation.
On peut établir encore ce résultat de la manière suivante : Les systèmes de coordonnées curvilignes associés à la déformation sans rotation définie par les formules (21) doivent vérifier les trois équations aux. dérivées partielles (24). Cherchons à quelles conditions ces systèmes pourront être à lignes conjuguées.
Pour abréger les écritures, nous introduirons les notations suivantes :
[ik,l]
dx dx âpi Op/c
d^x dx
I dx dy dx à y ^*^\(^p/ dpk dpu dpi
dpidpk dpi
l d'^x dy d^y dx \
'*^ \dpi dp,, 'dp', dpidp/, dp'//
dx dx dx
dp dpi dpi /dx dx dy \d^ dpi dp-i dx dy dz
dp dpi
dpi
dx dx dy dx dx dy dpi dpi dp ~^ dpi dp dpi dx dy dz dx dy dz dpi dpi dp dpi dp dpi dx dy dz dx dy dz dpi dp dp2 dpi Opi dpi dx dy dz dp dpi dpi
les termes non écrits se déduisant, par des permutations des indices, de ceux qui figurent dans le second membre. L'emploi de ces symboles donne lieu à l'identité
d(i.A) dpi
dont nous allons faire usage.
Les trois équations (24) s'écrivent alors sous la forme abrégée
(3o) (<", A-) = o (i :pé k = o, i, ■■>■),
et, en diflférentiant par rapport à p/, nous obtenons le nouveau système
(3o') [il, k]-h[kl,i]-^ lù = o.
54o NOTE IV.
Puisque, par hypothèse, le système est à lignes conjuguées, x. y, z sont des solutions particulières de trois équations de la forme (26). Si l'on tire de ces équations les valeurs des dérivées secondes, on obtient des identités de la forme
de sorte qu'on aura, en vertu même des équations (3o),
[il, k] = o, et, par suite, les équations (3o') se réduiront à la suivante
(3i) to = o,
qui sera du premier ordre par rapport aux dérivées des coordonnées X, y, z. Or, il n'y a aucune raison pour qu'il existe un système de valeurs des x, y\ z vérifiant à la fois les trois équations (3o) et l'équation (3i ).
328. Cette équation (3i) nous apparaît, on le voit, comme la condition nécessaire pour que le système de coordonnées curvilignes associé à la transformation soit à lignes conjuguées. En renversa;it le raisonnement, il est aisé de reconnaître que cette condition sera suffisante.
En effet, en vertu des identités (3o'), elle entraîne immédiatement les relations
[ik,l] = o.
Rapprochons les trois équations
{i,k) = o, (i,l) = o, [kl,i]=o.
En les ordonnant, on peut les mettre respectivement sous les formes suivantes :
^ dx ^ ày r, dz
àpk ÔQk àp/,
dp/ dp/ dp/
dp A- dp/ dp/, dpi àpk dpi
L'élimination de P, Q, R nous conduit à trois relations de la forme
sua UNE CLASSE DE DEFORMATIONS.
5il
suivante
det. - —
âpk dpi ôpkdpi
et ces trois relations expriment évidemment que le système de coordonnées curvilignes est à lignes conjuguées.
329. Les remarques précédentes nous conduisent à un nouveau moyen d'obtenir l'équation du troisième ordre (8) établie au n° 320. Il suffira de substituer dans l'équation (3i ) les valeurs des rapports des
■., . . dx dy dz . , > .,.,,.
dérivées 3— » t^j r~ <!"• correspondent au système particulier de diamètres conjugués formé par les axes principaux de la quadrique de déformation. On trouvera ainsi, pour ç, une équation aux dérivées partielles du troisième ordre. Elle devra, évidemment, être identique à l'équation (8), que nous avons d'ailleurs établie par une méthode plus satisfaisante et plus complète.
330. Revenons aux équations (24). On peut leur faire subir une transformation curieuse, que nous allons indiquer en terminant.
Nous partirons de l'identité
dv
ày
dz
àpi àpi ôpi âpi
Si on la différentie par rapport à pi-, on aura
àpi àpk
Ôpi Ôpk
dpi épk
àpi dp le
d'où il suit que les équations (2^) peuvent prendre la forme sui vante :
àpi dpk
d-x d<pi dpjc
dpi dp,,
d^z dpi dpk
Éliminons entre (^,, «'2, ('3 ces équations et les identités (82); nous aurons évidemment
dv
dv
dv
dpi dpk
dpi
'dfk
àpi
dx
dx
dx
d?i dpu
dpi
dfk
àpi
d?i dp,,
dpi dp,;
Telle est la forme très symétrique que prennent les équations (24) quand on adopte partout p, p^, p.^ comme variables indépendantes.
Or la condition (35) peut évidemment être remplacée par la suivante :
Il faut qu'on puisse trouver des fonctions a/^.,aff^., a'^ telles que les trois équations
obtenues en donnant à t et à k les trois systèmes de valeurs différentes comprises dans la suite o, i, 2, admettent quatre solutions linéairement indépendantes x^ y\ z, v.
Nous sommes ainsi conduits à un problème qui, dans le cas particulier où l'on suppose a-i^^^o, a servi de base à plusieurs des théories géométriques de cet Ouvrage (n° 187).
Dans le cas où l'on suppose les a'^. différents de zéro, sa solution nous entraînerait à de longs développements. Nous nous contenterons des remarques suivantes :
Si l'on prend l'inconnue auxiliaire X
d^id^ic àp/
on verra facilement, en différentiant l'équation (36) par rapport à p/, qu'on peut adjoindre aux équations (36) des équations nouvelles, de la forme
( 38 ) 1-7 = «/i T- + afi h a'ii h h il
dO
-4- a'ii
de
dO
àpl
dp/c
où les coefficients a"l et ht pourraient être aisément calculés en fonction de ceux qui figurent dans les équations (36).
Différentiant à son tour l'équation (38) par rapport à pk ou à O/, on pourra obtenir, et cela de deux manières différentes, chacune des dérivées premières de X, par des expressions de la forme
d\ .d.r ,, dx ,dx
(39) ^ h\- \-b'i- hè-- 1- cA-
dp; 'dpi dp/, dpi
Il ne restera plus qu'à exprimer que les deux valeurs obtenues pour chaque dérivée de X sont égales terme à terme et que l'ensemble des équations (36), (38), (39) forme un système complet. On obtiendra
ainsi toutes les relations différentielles auxquelles doivent satisfaire les fonctions a/^..
Quand ces relations seront vérifiées, le système complet admettra quatre solutions linéairement indépendantes qu'on pourra prendre pour x^ y^ z, c.
