CHAPITRE I

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Les familles de Lamé. Théorème de Dupin et sa réciproque i

Équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les paramètres a, P, Y de trois familles orthogonales, considérés comme fonctions des coordonnées rectilignes a;, y, z d'un point de l'espace. — Application du théorème de Cauchy; on peut déterminer un système triple orthogonal par la condition que les trois familles de surfaces qui le composent interceptent sur une surface donnée des courbes données assujetties à la condition de ne pas se couper mutuellement à angle droit. — Élimination de deux des trois paramètres. L'élimination de l'un d'eux conduit immédiatement au théorème de Dupin : « Les surfaces qui composent un système triple orthogonal se coupent mutuellement suivant leurs lignes de courbure. » — Réciproque de ce théorème: « Si l'on a deux familles de surfaces se coupant à angle droit, suivant des courbes qui soient lignes de courbure pour les surfaces de l'une des deux familles, il existe une troisième famille complétant le système orthogonal. » — Cette réciproque permet d'établir que le paramètre de toute famille faisant partie d'un système triple doit satisfaire à une équation aux dérivées partielles du troisième ordre, qui est à la fois nécessaire et suffisante, c'est-à-dire dont toute solution conduira à un système triple. — On donne le nom de famille de Lamé à toute famille qui fait partie d'un système triple orthogonal. — Pour former l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre, dont l'existence a été reconnue dès 1866 par l'auteur, mais qui a été obtenue, pour la première fois, sous forme développée, par M Cayley, on définit d'abord une opération différentielle l^v, et l'on établit quelques propriétés de ce symbole. — On établit ensuite, par un raisonnement nouveau, que toute la difficulté du problème des systèmes orthogonaux se ramène à l'intégration de l'équation du troisième ordre, que l'on écrit sous la' forme d'un déterminant très simple du sixième ordre. — Vérification de résultats obtenus antérieui'ement par M. Bouquet, relativement aux familles représentées par une équation de la forme

Page et par M. Puiseux, relativemenl à un système d'axes particulier. — Forme nouvelle et irrationnelle sous laquelle on peut meltre l'équation du troisième ordre, en inti'oduisanL les dérivées de la fonction H, définie par la relation

— Indications sommaires sur les caractéristiques d'une équation aux dérivées partielles ou d'un système d'équations aux dérivées partielles, dans le cas de trois variables indépendantes, et application au problème actuel. On peut toujours déterminer un système triple orthogonal par la condition que les surfaces (A), qui composent une de ses trois familles, coupent une surface (S) suivant des courbes données (G) et aient, suivant ces coui'bes, un contact du second ordre avec certaines surfaces (S), qui contiennent ces courbes, à moins que les courbes (G) ne soient des lignes de courbure des surfaces (S), ou que les surfaces (S) ne soient orthogonales à la surface (S). Dans ces deux cas d'exception, le problème devient impossible ou indéterminé.

GHAPITRE II.

Systèmes triples comprenant une famille de plans ou une famille de

sphères 26

Recherche des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une famille de plans. — On les obtient en traçantdans un plan deux familles de courbes rectangulaires et en faisant rouler ce plan sur une développable quelconque. — On peut aussi éviter toute considération de roulement et construire les systèmes sans aucune inlégration. — Définition des coordonnées curvilignes. — Forme de l'élément linéaire de l'espace dans le système précédent. — Équations qui permettent de définir ce système, débarrassées de tout signe de quadrature. — Si la famille de plans est donnée a priori, la détermination des trajectoires orthogonales et, par suite, celle des systèmes triples correspondants dépendent de trois quadratures. — Systèmes orthogonaux comprenant une famille de sphères. — Définition des familles similaires de sphères; ce sont celles pour lesquelles le problème des trajectoires orthogonales conduit aux mêmes équations différentielles. — Quand on connaît une famille de sphères on peut, sans aucune intégration, contruire les familles similaires. Parmi les familles ainsi déterminées, il y en a une infinité composées de sphères passant par un point fixe; une simple quadrature permet de construire ces familles particulières si l'on connaît une trajectoire orthogonale des sphères primitives — Grâce aux théorèmes précédents on peut, sans aucune intégration, passer des systèmes triples contenant une famille de plans à ceux qui contiennent une famille de sphères. — Propriété particulière des courbes sphériques;

l'intégrale / — peut être explicitement calculée. — Détermination des

trajectoires orthogonales d'une famille donnée de sphères; elle se ramène à l'intégration de deux équations de Riccati dont chaque trajec-

Pages, toire fournit une solution particulière. — Construction des systèmes triples qui comprenneiil une famille de sphères. — Extension des résultats précédents à l'espace à ii dimensions. En donnant une forme convenable aux fonctions a,, Oji • • -i «„ et /•, on peut, sous forme réelle et sans aucun signe de quadrature, assigner les intégrales générales du système

a,,.. . , a„, /• étant des fonctions d'un paramètre t liées à a;,, . .., a;,, par la relation

Rappel des résultats déjà obtenus sur ce sujet par MM. J.-A. Serret et O. Bonnet.