CHAPITRE ni

Étude d'une intégrale particulière de l'équation du troisième ordre 5i

L'équation aux dérivées partielles du troisième oi-dre qui détermine les familles de Lamé admet les solutions particulières définies par l'équation du premier ordre

(a) H := tp„(u)(a;^+jK'-t-2') + tp, («)^ + tp2(w)r + »3(")2 + ?4(")-

Le Chapitre actuel est consacré à l'étude de ces solutions. — L'équation précédente comprend d'abord, comme cas particuliers, celle qui caractérise les surfaces parallèles et aussi celle qui caractérise les familles dérivées par inversion d'une famille de surfaces parallèles. — Les trajectoires orthogonales des surfaces sont, dans le premier cas, des droites, et, dans le second cas, des cercles passant par un point fixe. — Pour éclairer la discussion du cas général, on commence par étudier celui où les rapports mutuels des cinq fonctions tp, ( m ) se réduisent à des constantes. — Les familles de Lamé correspondantes sont alors définies par la construction suivante : on construit les cercles normaux à une surface quelconque { S) et à une sphère fixe (S); tous ces cercles sont normaux à des surfaces (S') qui composent la famille cherchée. — On construit par points chaque surface (S'), en déterminant sur chaque cercle le point où il est normal à (2), les deux points où il est normal à (S), et en construisant le quatrième point qui forme, avec les précédents, pris toujours dans le même ordre, un rapport anharmonique constant. — Les deux autres familles qui complètent le système sont évidemment formées de surfaces à lignes de courbure circulaires dans un système. — En appliquant cette construction à une cyclide de Dupin, on ohùenl un système triple exclusivement composé de cycUdes. — Étude géométrique du cas particulier signalé par M. W. Roberts, où les cyclides sont toutes du troisième degré. — La construction générale précédente donne une transformation de contact des surfaces avec conservation des lignes de courbure, Détermination de toutes les transformations de ce genre; analyli-

Pages, qucment elles équivalent à une substitution linéaire orthogonale effectuée sur les six coordonnées d'une sphère. — Retour à l'étude de l'équation (a) dans le cas le plus général. — On peut en donner l'intégrale générale sans introduire aucun signe de quadrature. — Pour interpréter géométriquement la solution, on donne quelques propriétés fondamentales de la fonction H qui, multipliée par du, représente la plus courte distance de deux surfaces infiniment voisines, dans une famille quelconque. Il revient au même de se donner H en chaque point d'une surface, ou de se donner en ces points les cercles osculateurs des courbes trajectoires orthogonales de la famille. — Relation entre H et les cercles osculateurs. — Propriété caractéristique des familles étudiées dans ce Chapitre: les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales aux points où elles rencontrent une des surfaces sont orthogonaux à une même sphère, qui varie d'ailleurs avec la surface. — Énoncé de la génération de ces familles à l'aide de transformations infinitésimales.