CHAPITRE IV

Formes diverses de l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre. ^4 On peut obtenir l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre en exprimant que la plus courte distance d'une surface de la famille à la surface infiniment voisine est une solution particulière de l'équation ponctuelle relative au système conjugué formé par les lignes de courbure. — Théorème de Ribaucour : les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales aux points où elles rencontrent une surface déterminée de la famille forment un système cyclique. — Démonstration de la proposition réciproque. — Rappel des études antérieures sur les systèmes cycliques et étude de deux problèmes nouveaux : i° détermination des familles de Lamé pour lesquelles les plans osculateurs des ti-ajectoires orthogonales aux points où elles rencontrent l'une des surfaces de la famille concourent en un même point ; 2° détermination des systèmes cycliques formés de cercles dont les plans enveloppent une développable. — Forme remarquable de l'équation du troisième ordre donnée par M. Maurice Levy; on prend comme variables indépendantes le paramètre u de la famille et deux des coordonnées rectangiiiaii'es. — Application de cette équation à la détermination des surfaces invariables de forme qui peuvent, en se déplaçant, engendrer une famille de Lamé. — Quand le mouvement de la surface est unique et déterminé, il est nécessairement hélicoïdal. — Applications particulières. — Étude du cas où la surface peut, dans plusieurs mouvements différents, engendrer une famille de Lamé. — Indication de divers résultats. — M. J. Bertrand a montré, par la Géométrie, que, si ces mouvements comprennent toutes les translations, la surface est une sphère ou un cylindre. — M. Adam a établi, par l'analyse, que le résultat subsiste si les mouvements se réduisent à deux translations distinctes. — Interprétation géométrique élégante due à M. Petot. L'équation aux dérivées partielles qui caractérise la surface cherchée exprime la propriété suivante : la droite du plan tangent qui joint les centres de courbure géodésique des deux lignes de courbure ap-

Pages, partient à un complexe linéaire. — Théorème de M. Cosserat. — Retour à l'équation générale du troisième ordre. — Formation de cette équation quand la famille est déterminée par une équation implicite <p {x, y, z, u) = 0. Développement de l'équation en vue des applications ultérieures.