CHAPITRE V

Les familles de Lamé formées avec des quadriques gS

On cherche d'abord la condition pour que des quadriques à centre unique, ayant les mêmes plans principaux, forment une famille de Lamé, et l'on est conduit, en appliquant la méthode générale du Chapitre précédent, à une relation différenlielle entre les axes, qui a été obtenue dès 1867 par M. Maurice Levy. — On fait aussi connaître la méthode suivie par M. Maurice Levy, ainsi que l'interprétation géométrique qu'il en a donnée: la relation différentielle exprime que l'une quelconque des lignes ombilicales, c'est-à-dire l'une quelconque des lignes décrites par les ombilics, est normale aux surfaces qui composent la famille. — Il résulte de là que les familles de quadriques cherchées sont déterminées dès que l'on se donne a priori une ligne plane quelconque, qui servira de ligne ombilicale. — C'est ce que permettent d'ailleurs d'établir quelques considérations de Géométrie pure relatives aux ombilics des quadriques. — Le cas particulier où l'une des lignes ombilicales se réduit à une droite a été rencontré par M. G. Humbert. Alors les onze autres lignes ombilicales sont des droites, et les surfaces qui composent la famille, tangentes à huit plans isotropes, font aussi partie d'un réseau ponctuel; on peut déterminer les deux autres familles qui complètent le système triple.

— Cas où Tune des lignes ombilicales est un cercle, une conique, etc.

— Revenant au problème général, on remarque qu'on peut encore le résoudre sans employer la ligne ombilicale et par une méthode directe qui peut se rattacher à un principe général. — Applications particulières de cette nouvelle méthode. — La proposition relative aux lignes ombilicales ne s'applique pas seulement aux familles composées de surfaces du second degré ; on peut établir qu'elle est vraie pour des surfaces quelconques formant une famille de Lamé; la démonstration repose sur la considération de la forme des lignes de courbure dans le voisinage d'un ombilic. — Cette proposition générale, une fois établie, conduit à la conséquence suivante: si des quadriqu(?s h axes inégaux forment une famille de Lamé, les plans principaux de ces surfaces coïncident nécessairement; par suite, les recherches précédentes n'ont pas un caractère aussi particulier qu'on aurait pu le supposer, et elles font connaître toutes les familles de Lamé composées de quadriques à axes inégaux. — D'une manière générale, on peut énoncer la proposition suivante: si une famille de Lamé est composée de surfaces ayant chacune des plans de symétrie, les plans de symétrie de ces surfaces doivent coïncider, excepté dans certains cas particuliers qui sont nettement indiqués. — Démonstration de cette proposition générale ; son application aux surfaces du second degré; son interprétalion géométrique. Simple énoncé d'une proposition analogue relative

55o TABLE DES MATIÈRES.

Page aux surfaces anallagmaliques. — Lé Chapitre se termine par l'étude d'un problème qui doit conduii-e encore à des familles de Lamé formées de quadriques : on sait que les surfaces lieux des points tels que la somme ou la différence de leurs distances à deux surfaces fixes (A), (B) soit constante forment un système double orthogonal, c'està-dire se distribuent eu deux familles distinctes de surfaces orthogonales ; on demande dans quel cas on peut compléter le système et adjoindre aux deux familles différentes une troisième famille composée de surfaces coupant les précédentes à angle droit. — Mise en équation du problème ; on démontre par la Géométrie que, si l'on néglige des solutions déjà étudiées, cette troisième famille doit être composée de surfaces du second degré dont les génératrices rectilignes seront les normales aux surfaces (A) et (B). —Les axes de ces quadriques doivent satisfaire à des équations différentielles qui se rencontrent dans la théorie des fonctions elliptiques et qui ont été, pour la première fois, intégrées par Halphen. — Intégration nouvelle de ces équations. — Cas particulier des surfaces dépourvues de rontie, traité par une méthode directe; les fonctions elliptiques sont remplacées par des logarithmes, sauf dans un cas spécial où la solution devient algébrique et a déjà été donnée par M. J.-A. Serret. — Démonstration géométrique simple relative à ce cas spécial. — Indication d'un sujet de recherche relatif aux lignes de courbure de la surface lieu des points pour lesquels la somme ou la différence des dislances a deux droites fixes est constante.