CHAPITRE VI

Systèmes orthogonaux à n variables. Extension des méthodes précédentes I

Système des coordonnées elliptiques générales. — On peut de même généraliser le système des cyclides orthogonales et homofocales et employer, pour le cas de n dimensions, des variables analogues aux coordonnées pentasphériques. — Définition des systèmes complètement orthogonaux à n variables : puisqu'il existe de tels systèmes, l'objet de ce Chapitre sera d'appliquer à leur recherche la méthode déjà employée pour le cas de trois variables. — Problème fondamental : étant données n fonctions formant un système complètement orthogonal, éliminer toutes les fonctions moins une et former les équations aux dérivées partielles, à la fois nécessaires et suffisantes, auxquelles doit satisfaire cette dernière fonction. — Exposé de la méthode : une des fonctions u étant supposée connue, un premier groupe de (n — i)^ équations permet de déterminer les rapports mutuels des dérivées premières des n — i autres fonctions v, w, . . .. — Ce premier groupe d'équations est identique à celui que l'on rencontre lorsqu'on veut réduire ii des sommes composées des mêmes carrés deux formes quadratiques à n variables, ces variables étant d'ailleurs liées par une relation linéaire. — Les équations que l'on obtient ainsi pour chacune des fonctions v, w, ..., étant au nombre de n— I, donnent naissance à des conditions d'intégrabilité qui contiendront évidemment les dérivées de m jusqu'au troisième ordre, — En

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essayant de former de la manière la plus simple ces conditions, on

est conduit à deux groupes bien distincts d'équations du troisième

j . •- I ,(« — i)(« — 2) ordre pour u. — Les premières, au nombre ue -^ — -» sont

analogues à l'équation formée dans le cas de trois variables et jouissent, comme elle, de la propriété de s'écrire sous une forme simple à l'aide des dérivées secondes de la fonction

j 1 .(«—")(« — 2) ( Il — 3) Les secondes, au nombre de -^ — — -, n apparaissent

que lorsque n est supérieur à 3. — Si l'on veut interpréter en langage géométrique les résultats précédents, on pout d'abord généraliser la notion de normale à une surface, ce qui conduit naturellement à l'extension de la définition des directions principales et des lignes de courbure. — Dans un espace à n dimensions, il y a n — i directions principales, et par suite n^\ systèmes de lignes de courbure, pour chaque surface. — Deux directions principales différentes sont à la fois orthogonales et conjuguées. — Cette notion des lignes de courbure une fois introduite, le théorème de Dupin se généralise immédiatement: si une surface fait partie d'un système complètement orthogonal, les surfaces qui appartiennent aux autres familles admettent pour normales en chaque point de la surface considérée les directions principales de cette surface ; par conséquent, prises n — 2 an — 2, elles coupent cette surface suivant une de ses lignes de courbure. — Mais il faut prendre garde ici à une propriété tout à fait nouvelle : une surface quelconque prise dans l'espace à n dimensions, n étant supérieur à 3, ne saurait faire partie d'un système complètement orthogonal ; pour qu'il en soit ainsi, il faut que ses lignes de courbure soient coordonnées. — On dit que les lignes de courbure sont coordonnées lorsqu'on peut choisir n — i fonctions dont une seule varie sur chaque ligne de courbure de la surface. — Lorsque les lignes de courbure d'une surface sont coordonnées, la surface peut faire partie d'un système complètement orthogonal: on le reconnaît en généralisant la théorie des surfaces parallèles. — Application des résultats précédents aux surfaces définies par l'équation Xj-l-X,-»- ...-i-X„= o. — Condition pour que leurs lignes de courbure soient coordonnées. — Systèmes orthogonaux comprenant une famille définie par l'équation u = X, +...+ X„. — Généralisation des propositions de MM. Bouquet et J.-A. Serret. — Systèmes orthogonaux comprenant la famille u = x'"^ . . . a;^". — Détermination simple des autres familles. — Étude de différents systèmes orthogonaux, détermination des lignes de courbure de différentes surfaces, parmi lesquelles on peut signaler les surfaces tétraédrales de Lamé. — Les résultats obtenus dans ce Chapitre donnent notamment les lignes de courbure d'un grand nombre de surfaces du troisième ordre, dans l'espace à trois dimensions.

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