CHAPITRE I
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Systèmes orthogonaux à n variables , 167
On se propose de faire connaître les formules que Lamé a données dans ses Leçons sur les coordonnées curvilignes en appliquant et étendant sa méthode aux systèmes complètement orthogonaux à n variables. — Définition des éléments d'une substiUilion linéaire orthogonale par
la formule X^" = U--—^' — Relations dilTérentielles auxquelles ils
donnent lieu. — Introduction de grandeurs nouvelles p,,. qui doivent vérifier deux systèmes différents d'équations aux dérivées partielles du premier ordre. — Indication sur la méthode de recherche d'un système orthogonal. — Généralisation d'un théorème de M. Combescure : «A tout système orthogonal on peut en rattacher une infinité d'autres qui dépendent de n fonctions arbitraires d'une variable ». — Application de la méthode générale de recherche à la solution d'un problème fondamental : résolution la plus générale de l'équation
dx\ + . . . 4- dx\ = vi ( c?p; + . . . + rfpn )•
Cette solution est toute semblable à celle qui est connue depuis longtemps pour le cas de trois variables, et elle est fournie par une inversion généralisée, suivie ou précédée d'un déplacement. — Cas spécial signalé par M. Cremona. — Indication de différentes méthodes qui permettent de faire dériver de tout système orthogonal à n variables d'autres systèmes orthogonaux contenant le même nombre ou un moindre nombre de variables. — C'est ainsi qu'au système des coordonnées elliptiques on peut faire correspondre une suite illimitée de systhèmes orthogonaux algébriques. — Théorème de Géométrie qui donne une généralisation de la notion, due à Gauss, de représentation sphérique. — Application des résultats précédents à la recherche des surfaces de l'espace à n dimensions dont les lignes de courbure sont coordonnées. — Cette recherche exige en premier lieu la détermination de tous les systèmes complètement orthogonaux dans un espace à n — I dimensions. — Celte détermination une fois effectuée, des méthodes analogues à celles que l'on suit dans la recherche des surfaces ayant une représentation sphérique donnée permettent d'achever la solution du problème. — Quelques propriétés des lignes de courbure des surfaces. — Équations d'Olinde Rodrigues. — Généralisation de la théorie des systèmes cycliques et son extension à l'espace à n dimensions.
