CHAPITRE II

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Le tvièdre mobile i83

Dans ce Chapitre, on étudie les propriétés des systèmes triples orthogonaux en les rattachant à la considération du déplacement du trièdre trirectangle (T) formé par les normales aux trois surfaces coordonnées qui se croisent en chaque point de l'espace. — Rappel des résultats déjà obtenus dans nos Leçons relativement aux divers mouvements d'un triédre qui dépend de plusieurs paramètres. — Équations aux dérivées partielles qui relient les rotations et les translations.

— Détermination d'un trièdre dont les rotations et les translations sont données a priori. — Système linéaire dont l'intégration fait connaître les cosinus-directeurs des axes de ce trièdre. — Formules générales qui déterminent le déplacement d'un point défini par ses coordonnées relatives au trièdre mobile. — Application de cette théorie générale aux coordonnées curvilignes orthogonales; on prend pour le trièdre mobile (T) celui dont les arêtes sont les normales aux trois surfaces coordonnées. — Trois des rotalions sont nulles, les autres s'expriment en fonction des coefficients H, H,, H, de l'élément linéaire et de leurs dérivées. — Introduction des quantités p,j. — Double système de relations différentielles auxquelles doivent satisfaire ces six fonctions. — Démonstration nouvelle du théorème de Dupin.

— Expression des rayons de courbure des surfaces coordonnées. — Système linéaire déterminant les cosinus-directeurs des normales aux surfaces coordonnées lorsqu'on connaît les p,j. — Représentation sphérique, lignes asymptotiques de chacune de ces surfaces. — Lois de variation des six courbures principales découvertes par Lamé.

— Définition du paramètre différentiel du premier ordre AU d'une fonction quelconque U; son expression en coordonnées curvilignes; définition et expression de A(U, V). — Formule de Stokes et de C. Neumann ; définition du paramètre différentiel ou invariant linéaire du second ordre; son expression en coordonnées curvilignes. — On peut rattacher l'introduction de cet invariant à l'étude de certaines propriétés des transformations ponctuelles les plus générales. — Pour toutes les transformations de ce genre, il y a en général trois éléments linéaires partant d'un point auquel correspondent des éléments parallèles. Si l'on veut que ces trois éléments linéaires forment toujours un trièdre trirectangle, il sera nécessaire et suffisant que la transformation soit définie par les formules

ôx dy dz

où U désigne une fonction quelconque de x, y, z. Il existe alors une équation du troisième degré faisant connaître les dilatations des éléments dont la direction n'est pas altérée, et les racines de cette équation sont (les invariants. Le paramètre du second ordre de Lamé n'est autre que la somme des racines de cette équation. — Détermination des transformations de la nature précédente pour lesquelles les éléments dont la direction n'est pas changée en chaque point de l'espace sont

Pages, normaux à trois familles, qui détermineront nécessairement un système de coordonnées curvilignes triplement orthogonales. — Il y a une infinité de transformations de ce genre qui correspondent à un système triple orthogonal, donné a priori. — Leur détermination se ramène à l'intégration de trois équations linéaires aux dérivées partielles auxquelles doit satisfaire une même fonction. — On termine le Chapitre en donnant un complément à la théorie du déplacement d'un trièdre mobile. Si l'on considère le système le plus général de coordonnées curvilignes obliques, l'élément linéaire de l'espace prendra la forme

et l'on peut se proposer de trouver toutes les relations différentielles qui existent entre les quantités A,j, relations différentielles analogues à celles que l'on doit à Lamé, pour le cas où les coordonnées sont orthogonales. — On pourrait résoudre cette question en prenant un trièdre (T) occupant une position particulière relativement aux plans tangents des surfaces coordonnées. — Il paraît plus élégant d'employer une méthode toute différente, qui repose sur la considération des différentes décompositions en carrés de la forme

quadratique précédente V \ A,j rfp, rfp,. et qui conduit à six équations à la fois nécessaires et suffisantes. — Retour au trièdre mobile pour établir les équations aux dérivées partielles entre les rotations et les translations.