CH.4PITRE III

Recherche d'un système triple particulier 212

Avant de poursuivre la théorie, on veut indiquer des applications des équations fondamentales à la recherche d'un système triple particulier. — Dans ses Leçons sur les coordonnées curvilignes et leurs diverses applications, Lamé a attaché une importance toute particulière aux systèmes composés de trois familles isothermes. — Définition d'une famille isotherme. — Condition d'isothermie ; elle est vérifiée pour le système des ellipsoïdes homofocaux. — Il existe donc au moins un système triple, à la fois orthogonal et isotherme. — Lamé s'est proposé de déterminer tous les systèmes de ce genre. En mettant le problème en équation, on reconnaît que ces systèmes particuliers ont une première propriété signalée par M. J. Bertrand: les surfaces qui les composent sont isothermiques, c'est-à-dire sont divisibles en carrés infiniment petits par leurs lignes de courbure. Mais cette propriété n'est nullement caractéristique ; elle appartient, par exemple, au système des cyclides homofocales, qui n'est pas isotherme. — Par suite, en se proposant la recherche de tous les systèmes triples composés de surfaces isothermiques, on est assuré d'obtenir non seulement tous les systèmes isothermes, comme le désirait Lamé, mais d'autres systèmes plus généraux. — Pour accroître encore l'intérêt qui s'attache à ce problème général, on remarque que l'on

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sera encore conduit à le poser si l'on approfondit une belle découverte de Lamé. — L'illustre géomètre a montré que, si p, p,, p, désignent les coordonnées ellipli(|ues d'un point de l'espace, l'équation de la chaleur admet une infinité de solutions de la forme suivante : /(p)/, (Pi)/2 (pî)- — Si l'on cherche tous les systèmes triples orthogonaux pour lesquels on peut formuler une proposition analogue, on reconnaît encore qu'ils doivent être composés de surfaces isothermiques. — Toutes ces remarques nous conduisent donc à entreprendre l'étude du problème le plus général : détermination des systèmes triples composés de surfaces isothermiques. — Mise en équation ; forme des valeurs de H, H,, H^. — On exprime d'abord que ces valeui's satisfont au système (B), ce qui conduit à préciser leur forme. — On obtient ainsi trois types différents de solutions. — Pour étudier ces trois types et achever la solution, on exprime que les valeurs de H, H,, U^ vérifient le système (B'). — Forme générale des équations qui en résultent. — Conditions pour qu'elles soient compatibles avec celles que l'on a déduites du système (B). — Application aux trois types précédemment obtenus. — Le premier type nous conduit à trois systèmes triples comprenant, soil une famille de plans parallèles et deux familles de cylindres isothermes ; soit une famille de sphères concentriques et deux familles de cônes isothermes ; soit une famille de plans passant par une droite et deux familles de révolution ayant cette droite pour axe, et dont les méridiens forment un système à la fois orthogonal et isotherme. D'une manière générale, il faut joindre à ces systèmes leurs transformés par inversion, qui jouissent évidemment de la môme propriété. — Le second type ne fournit aucune solution du problème et doit être rejeté. — Quant au troisième, il sera étudié dans le Chapitre suivant.