CHAPITRE IV

Les systèmes triples orthogonaux 878

Après avoir envisagé les systèmes à lignes conjuguées les plus généraux, on considère plus particulièrement les systèmes triples orthogonaux, qui en sont le cas particulier le plus intéressant. Il faut alors joindre aux quatre systèmes d'équations aux dérivées partielles, déjà obtenus pour les systèmes à lignes conjuguées, deux syslèuies nouveaux. On rappelle d'ailleurs qu'on peut aussi envisager à un point de vue cinématique la théorie des systèmes triples orthogonaux, en liant leur étude à celle du mouvement d'un trièdre dont on connaît les rotations et les translations. Dans l'un et l'autre point de vue, la détermination des systèmes triples peut se ramener aux opérations suivantes : i" Intégration des neuf équations (A), (A') auxquelles satisfont les six rotations p,j. ; 2* Intégration d'un système complet qui fait connaître l'orientation du trièdre (T) formé par les normales aux trois surfaces coordonnées; 3" Intégration simultanée des six équations (B) auxquelles satisfont les coefficients de l'élément linéaire H, H,, H,; 4° Détermination par des quadratures des expressions des coordonnées rectilignes en fonction de 0, p,, p^. Modification qu'on peut apporter à cette méthode par l'introduction des quantités P„ distances de l'origine au plan tangent. Équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont ces quantités P,. Dans l'une ou l'autre de ces méthodes, le premier problème qui se présente, et le plus difficile, réside dans l'intégration des équations (A), (A')auxP;j. On démontre à ce sujet un théorème fondamental pour la suite. Si les fonctions p,j vérifient le système (A), il suffira, pour qu'elles vérifient les équations ( A'), qu'elles vérifient chacune de ces trois équations u- = 0 pour une valeur particulière donnée à la variable p,. On a vu plus haut qu'un système à lignes conjuguées est pleinement défini si l'on donne une surface appartenant à chacune des familles coordonnées et le réseau conjugué tracé sur cette surface. On étend cette propriété aux systèmes triples orthogonaux en montrant qu'un tel système est pleinement défini en général si l'on connaît une des surfaces de chacune des trois familles. Un tel ensemble doit évidemment, d'après le théorème de Dupin, être composé de trois surfaces (£), (S,), (£3), se coupant D. 36 •

56a TABLE DES MATIÈRES.

Pages, tniituellement à angle droit et suivant une ligne de couriiure commune. On montre d'abord comment on peut géométriquement construire cet ensemble de trois surfaces, et quel est son degré de généralité. On fait la remarque essentielle que, si les irois surfaces sont données a priori par une construction géométrique quelconque, il n'y aura plus qu'à tracer sur chacune d'elles le réseau des lignes de courbure; mais si quelqu'une des surfaces se réduit à une sphère ou à un plan, il y aura une infinité de systèmes de courbes orthogonales, tracés sur cette surface, qui pourront jouer le rôle des lignes de courbure. On est ainsi conduit au théorème cénéral suivant : Il existe un système triple orthogonal, et un seul, assujetti à comprendre trois surfaces appartenant respectivement aux trois familles qui doivent composer le système, se coupant par suite mutuellement à angle droit et suivant une ligne de courbure commune. Ce théorème ne peut s'appliquer au cas où quelqu'une des surfaces se réduit à une sphère ou à un plan que si l'on a tracé arbitrairement et a priori, sur celte surface, le réseau orthogonal qui doit jouer le rôle des lignes de courbure. Dans le cas, par exemple, où les trois surfaces données seraient les faces d'un trièdre trirectangle, il faudrait, pour rendre le problème déterminé, tracer arbitrairement, sur chaque face du trièdre, un système de courbes orthogonales comprenant les deux arêtes du trièdre situées dans cette face. A raison des applications étendues que peut avoir celte proposilion générale, soil en Physique mathématique, soil en Géométrie, on croit utile d'en donner une seconde démonstration, directe et reposant sur des considérations de Cinématique.